Wert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
ich soll den Wert der folgenden Reihe berechnen
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} d_k 10^{-k} [/mm] mit [mm] d_k =\begin{cases} 0, falls k \not\in m\IZ \\ 1, falls k \in m\IZ \end{cases} [/mm] und m [mm] \in \IN, [/mm] m >1
Leider komm ich mit der Aufgabe nicht so ganz klar.
Ich hatte zunächst überlegt den Wert der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 0* [mm] 10^{-k} [/mm] (=0) und den der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 1* [mm] 10^{-k} (=\bruch{1}{9}) [/mm] zu berechnen. Aber nachdem ich eine ähnliche Aufgabe gesehen habe, bin ich davon überzeugt, dass diese Lösung falsch ist ...Denn ich betrachte die einzelnen Reihen ja jeweils für alle k und das ist ja nicht die Aufgabe...
Ich kann allerdings auch nicht so viel mit der Aussage k [mm] \not\in [/mm] m [mm] \IZ [/mm] bzw. k [mm] \in [/mm] m [mm] \IZ [/mm] anfangen... Wäre an dieser Stelle k gerade bzw. ungerade, so wüsste ich, dass ich k dann als 2n bzw 2n-1 schreiben könnte, aber nun?
Ich habe die Aufgabe wie folgt angefangen, allerdings komme ich dann (aus oben genannten Schwierigkeiten) nicht weiter:
[mm] d_k^0 :=\begin{cases} d_k, k \not\in m \IZ \\ 0, k \in m \IZ \end{cases} [/mm] und [mm] d_k^1 :=\begin{cases} d_k, k \in m \IZ \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
Dann gilt [mm] d_k^0 [/mm] + [mm] d_k^1 [/mm] = [mm] d_k \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
Da die geom. Reihe absolut konvergiert, konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty} d_n^0 10^{-n} [/mm] =?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Für k [mm] \ge [/mm] 1 und m>1 (k,m [mm] \in \IN) [/mm] gilt:
$k [mm] \in m\IZ [/mm] $ [mm] \gdw [/mm] es gibt ein j [mm] \in \IN [/mm] mit k=jm.
Berechnen sollst Du also den Wert der Reihe
[mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{10^{jm}}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Danke erstmal für die schnelle Hilfe!
Also könnte ich die Aufgabe wie folgt lösen, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe?!
[mm] d_k^0 :=\begin{cases} d_k, k \not\in m \IZ \\ 0, k \in m \IZ \end{cases} [/mm] und [mm] d_k^1 :=\begin{cases} d_k, k \in m \IZ \\ 0, sonst \end{cases} [/mm]
Dann gilt [mm] d_k^0 [/mm] + [mm] d_k^1 [/mm] = [mm] d_k \forall [/mm] k [mm] \in \IN. [/mm] Da der Wert der Reihe für [mm] d_k^0 [/mm] für alle k 0 beträgt, reicht es [mm] d_k^1 [/mm] zu betrachten.
Für k [mm] \ge [/mm] 1 und m > 1 (k,m [mm] \in \IN) [/mm] gilt:
k [mm] \in [/mm] m [mm] \IZ \gdw [/mm] es gibt ein j [mm] \in \IN [/mm] mit k=jm
Wir betrachten also [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{1}{10^{jm}}= \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{1}{(10^m)^j}= \summe_{j=1}^{\infty} (\bruch{1}{10^{m}})^j= \summe_{j=0}^{\infty} (\bruch{1}{10^{m}})^j [/mm] - 1
mit der geom. Reihe = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{10^m}} [/mm] - 1 = [mm] \bruch{1}{10^m-1} [/mm]
Wäre das so richtig?
Ich könnte jetzt noch sagen, dass der Wert der Reihe immer < [mm] \bruch{1}{9} [/mm] ist, da m>1, wäre das für die Aufgabe noch wichtig?
LG Pia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die schnelle Hilfe!
> Also könnte ich die Aufgabe wie folgt lösen, wenn ich
> das jetzt richtig verstanden habe?!
>
> [mm]d_k^0 :=\begin{cases} d_k, k \not\in m \IZ \\ 0, k \in m \IZ \end{cases}[/mm]
> und [mm]d_k^1 :=\begin{cases} d_k, k \in m \IZ \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
> Dann gilt [mm]d_k^0[/mm] + [mm]d_k^1[/mm] = [mm]d_k \forall[/mm] k [mm]\in \IN.[/mm] Da der
> Wert der Reihe für [mm]d_k^0[/mm] für alle k 0 beträgt, reicht es
> [mm]d_k^1[/mm] zu betrachten.
>
Das da oben kannst Du Dir sparen.
> Für k [mm]\ge[/mm] 1 und m > 1 (k,m [mm]\in \IN)[/mm] gilt:
> k [mm]\in[/mm] m [mm]\IZ \gdw[/mm] es gibt ein j [mm]\in \IN[/mm] mit k=jm
>
> Wir betrachten also [mm]\summe_{j=1}^{\infty} \bruch{1}{10^{jm}}= \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{1}{(10^m)^j}= \summe_{j=1}^{\infty} (\bruch{1}{10^{m}})^j= \summe_{j=0}^{\infty} (\bruch{1}{10^{m}})^j[/mm]
> - 1
> mit der geom. Reihe = [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{10^m}}[/mm] - 1 =
> [mm]\bruch{1}{10^m-1}[/mm]
>
> Wäre das so richtig?
Ja
> Ich könnte jetzt noch sagen, dass der Wert der Reihe
> immer < [mm]\bruch{1}{9}[/mm] ist, da m>1
Stimmt.
> , wäre das für die
> Aufgabe noch wichtig?
Keine Ahnung. Geht die Aufgabe noch weiter ?
FRED
>
> LG Pia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
> > Danke erstmal für die schnelle Hilfe!
> > Also könnte ich die Aufgabe wie folgt lösen, wenn ich
> > das jetzt richtig verstanden habe?!
> >
> > [mm]d_k^0 :=\begin{cases} d_k, k \not\in m \IZ \\ 0, k \in m \IZ \end{cases}[/mm]
> > und [mm]d_k^1 :=\begin{cases} d_k, k \in m \IZ \\ 0, sonst \end{cases}[/mm]
> > Dann gilt [mm]d_k^0[/mm] + [mm]d_k^1[/mm] = [mm]d_k \forall[/mm] k [mm]\in \IN.[/mm] Da der
> > Wert der Reihe für [mm]d_k^0[/mm] für alle k 0 beträgt, reicht es
> > [mm]d_k^1[/mm] zu betrachten.
> >
>
>
> Das da oben kannst Du Dir sparen.
>
>
> > Für k [mm]\ge[/mm] 1 und m > 1 (k,m [mm]\in \IN)[/mm] gilt:
> > k [mm]\in[/mm] m [mm]\IZ \gdw[/mm] es gibt ein j [mm]\in \IN[/mm] mit k=jm
> >
> > Wir betrachten also [mm]\summe_{j=1}^{\infty} \bruch{1}{10^{jm}}= \summe_{j=1}^{\infty} \bruch{1}{(10^m)^j}= \summe_{j=1}^{\infty} (\bruch{1}{10^{m}})^j= \summe_{j=0}^{\infty} (\bruch{1}{10^{m}})^j[/mm]
> > - 1
> > mit der geom. Reihe = [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{10^m}}[/mm] - 1
> =
> > [mm]\bruch{1}{10^m-1}[/mm]
> >
> > Wäre das so richtig?
>
> Ja
>
>
> > Ich könnte jetzt noch sagen, dass der Wert der Reihe
> > immer < [mm]\bruch{1}{9}[/mm] ist, da m>1
>
>
> Stimmt.
>
> > , wäre das für die
> > Aufgabe noch wichtig?
>
> Keine Ahnung. Geht die Aufgabe noch weiter ?
>
> FRED
Vielen, vielen Dank nochmal!
Nein, Aufgabe ist es den Wert der Reihe zu berechnen, mehr nicht...
LG Pia
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