Wert einer Summe ermitteln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie den Wert der Summe [mm] \summe_{n=3}^{100} (1/10)^n [/mm] |
Moin :)!
Ich komme bei der oben genannten Aufgabe nicht weiter. Theoretisch müsste ich das erste Glied ( [mm](1/10)^3 = 1/1000[/mm] )und dann natürlich auch die Folgeglieder berechnen.
Danach dachte ich, dass ich einfach die nächsten Glieder aufaddieren kann und sehe, dass das erste Glied genau so groß ist, wie n seiner addierten Nachfolger [mm]a_1 = a_2 + a_3 + a_4 +...[/mm]
Aber [mm]1/1000 \ne 1/10000 + 1/10000 + 1/100000... [/mm]
Wie soll ich da denn nun vorgehen? :(
Ich wäre sehr dankbar, falls mir jemand helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ja das dachte ich auch. Aber wenn ich die folgende Formel benutze
[mm] (1/1000*(1-(1/10))^{101})/(1-(1/10)) [/mm]
Dann komme ich irgendwann auf eine Zeile in der ich [mm] 10^{101} - 9 [/mm] rechnen muss.
Ich muss diese Aufgabe aber ohne Taschenrechner oder sonstige Hilfsmittel lösen. Und es rechnet / schreibt sich mit solchen Zahlen irgendwie nicht so toll.
Gibt es da vll einen Trick?
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Hallo,
> Ja das dachte ich auch. Aber wenn ich die folgende Formel
> benutze
> [mm](1/1000*(1-(1/10))^{101})/(1-(1/10))[/mm]
>
> Dann komme ich irgendwann auf eine Zeile in der ich
> [mm]10^{101} - 9[/mm] rechnen muss.
>
> Ich muss diese Aufgabe aber ohne Taschenrechner oder
> sonstige Hilfsmittel lösen. Und es rechnet / schreibt sich
> mit solchen Zahlen irgendwie nicht so toll.
>
> Gibt es da vll einen Trick?
Hm, ich denke ja, und viel einfacher als irgendwelche Summenformeln.
Es ist [mm] 1/10^3=0.001, 1/10^4=0.0001, [/mm] usw. usf.
Addiere das mal in Gedanken auf und schreib es irgendwie mit Auslassungen geeignet hin. Mehr kann man da nicht IMO machen, zumindest wenn man das Ergebnis als Zahl und nicht als Term hinschreiben möchte.
Gruß, Diophant
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Dann schreib ich, falls solch eine Aufgabe in die Klausur Einzug findet, 0,00111......1 mit 97 einsen...
Trotzdem vielen Dank ! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Dann schreib ich, falls solch eine Aufgabe in die Klausur
> Einzug findet, 0,00111......1 mit 97 einsen...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
DieAcht
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 15:27 Mi 22.01.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo DieAcht,
> > Dann schreib ich, falls solch eine Aufgabe in die Klausur
> > Einzug findet, 0,00111......1 mit 97 einsen...
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ne, da bist du ebenso in die diskrete Denk-Falle getappt wie der Fragesteller...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 15:30 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Ja, ich habe es auch nach ein paar Sekunden überarbeitet 
Gruß
DieAcht
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Hallo,
> Dann schreib ich, falls solch eine Aufgabe in die Klausur
> Einzug findet, 0,00111......1 mit 97 einsen...
>
Falsch. Es müssen 98 Einsen sein, überlegde dir, weshalb!
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mi 22.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann schreib ich, falls solch eine Aufgabe in die Klausur
> Einzug findet, 0,00111......1 mit 97 einsen...
Das würde ich nicht machen.
Nimm das Resultat von der Acht
$ [mm] \frac{1-(\frac{1}{10})^{101}}{1-\frac{1}{10}}-(\frac{1}{10})^2-(\frac{1}{10})^1-1 [/mm] $
und vereinfache das noch etwas.
FRED
>
> Trotzdem vielen Dank ! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mi 22.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
> Ja das dachte ich auch. Aber wenn ich die folgende Formel
> benutze
> [mm](1/1000*(1-(1/10))^{101})/(1-(1/10))[/mm]
Wie kommst du auf den Anfang?
Die Lösung nach der geometrischen Summenformel lautet:
[mm] \frac{1-(\frac{1}{10})^{101}}{1-\frac{1}{10}}-(\frac{1}{10})^2-(\frac{1}{10})^1-1
[/mm]
- Alternativ:
Es gilt für [mm] $a=\frac{1}{10}$:
[/mm]
[mm] a^3+a^4+a^5+\ldots+a^{100}=a^3(1+a+a^2+\ldots+a^{97})
[/mm]
Mit der geometrischen Summenformel gilt:
[mm] \sum_{n=3}^{100}a^n=a^3*\sum_{n=0}^{97}a^n=a^3*(\frac{1-a^{98}}{1-a})
[/mm]
> Dann komme ich irgendwann auf eine Zeile in der ich
> [mm]10^{101} - 9[/mm] rechnen muss.
Nein. Das wäre viel zu groß.
> Ich muss diese Aufgabe aber ohne Taschenrechner oder
> sonstige Hilfsmittel lösen. Und es rechnet / schreibt sich
> mit solchen Zahlen irgendwie nicht so toll.
>
> Gibt es da vll einen Trick?
Die Idee von Diophant gefällt mir.
DieAcht
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Hallöle,
also selbst ohne geometrische Reihe kommt man hier doch recht einfach voran.
Du hast ja schon richtig gesehen, wie es los geht. Schreiben wir das mal in Dezimalzahlen:
[mm] \sum\ldots=0,001+0,0001+0,00001+\ldots=0,00111\ldots
[/mm]
Man erkennt doch ein Muster. Die Frage ist also nur, wie viele Einsen noch folgen.
Auch so könnte man sich das also überlegen.
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![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
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![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]"){kind=small}
