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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Fr 14.10.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Von der Funktion f kennt man die erste Ableitung [mm] f'(x)=\bruch{3}{4}x^2-3x [/mm] und die Nullstelle x=2.
Stellen Sie aus den Eigenschaften den Funktionsterm auf und berechnen Sie die Extremwerte, Wendepunkte und weitere Nullstellen dieser Funktion! |
Hallo,
komischerweise klappt das mit den Nullstellen nicht.
Ich habe bis jetzt gerechnet:
[mm] f'(x)=\bruch{3}{4}x^2-3x \gdw f(x)=\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+c
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{3}{2}x-3
[/mm]
Integrationskonstante:
[mm] f''(x)=\bruch{3}{2}x-3=0 \Rightarrow [/mm] x=2 [mm] \to f(2)=\bruch{1}{4}2^3-\bruch{3}{2}2^2+c=-4 \Rightarrow [/mm] c = 4 [mm] \Rightarrow f(x)=\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+4
[/mm]
Nullstellen:
[mm] (\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+0x+4):(x-2)=\bruch{1}{4}x^2+2x-4
[/mm]
Das ergibt jedoch in der Lösungsformel völlig unpassende Nullstellen.
[mm] \bruch{-2\pm\wurzel{2^2-4*\bruch{1}{4}*-(4)}}{2*\bruch{1}{4}}
[/mm]
x1= 1,6568
x2=-9,6568
Woran liegt das?
Danke und beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Von der Funktion f kennt man die erste Ableitung
> [mm]f'(x)=\bruch{3}{4}x^2-3x[/mm] und die Nullstelle x=2.
>
> Stellen Sie aus den Eigenschaften den Funktionsterm auf und
> berechnen Sie die Extremwerte, Wendepunkte und weitere
> Nullstellen dieser Funktion!
> Hallo,
>
> komischerweise klappt das mit den Nullstellen nicht.
> Ich habe bis jetzt gerechnet:
>
> [mm]f'(x)=\bruch{3}{4}x^2-3x \gdw f(x)=\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+c[/mm]
Korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]f''(x)=\bruch{3}{2}x-3[/mm]
> Integrationskonstante:
>
> [mm]f''(x)=\bruch{3}{2}x-3=0 \Rightarrow[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was macht das hier? Du bist doch gerade gar nicht bei den Wendepunkten. Für die Nullstellen der Funktion hat diese Gleichung keine Bedeutung, und erst recht folgt nicht das daraus, was Du mit einem Doppelpfeil anschließt.
> x=2 [mm]\to f(2)=\bruch{1}{4}2^3-\bruch{3}{2}2^2+c=-4 \Rightarrow[/mm]
Das stimmt nicht. Da sind zwei Zahlenwerte aus- und zusammenzurechnen, und auf der rechten Seite müsste also dieses Ergebnis +c stehen. Das fehlt aber.
> c = 4
Genau das würdest Du dann herausbekommen.
[mm]\Rightarrow f(x)=\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+4[/mm]
>
> Nullstellen:
>
> [mm](\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+0x+4):(x-2)=\bruch{1}{4}x^2+2x-4[/mm]
>
> Das ergibt jedoch in der Lösungsformel völlig unpassende
> Nullstellen.
>
> [mm]\bruch{-2\pm\wurzel{2^2-4*\bruch{1}{4}*-(4)}}{2*\bruch{1}{4}}[/mm]
Das wundert mich nicht. Deine Polynomdivision stimmt nicht. Der erste Term ist noch richtig, danach gehts schief.
[mm] \left(\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2+4\right):(x-2)=\bruch{1}{4}x^2-\bruch{x^2-4}{x-2}
[/mm]
Jetzt Du.
> x1= 1,6568
> x2=-9,6568
>
> Woran liegt das?
Rechenfehler bei der Polynomdivision, siehe oben.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Fr 14.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort.
Gut, ggf. mache ich eine grundsätzlichen Denkfehler.
Ich dachte, man rechnet die fehlende Konstante c in einer Funktion der Gestalt [mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2 [/mm] immer über die zweite Ableitung aus.
Das letzte Glied (ist das dann auch "c" in diesem Fall?) erhalte ich aber hier über Einsetzen der NST in den Funktionsterm?
Ich habe nun erneut eine Polynomdivision durchgeführt, war vorher offenbar ein Fehler beim Subtrahieren. Nun erhalte ich [mm] \bruch{1}{4}x^2-x-2 [/mm] und auch die korrekten Nullstellen. So weit passt das anscheinend.
Die Extremwerte rechne ich nun mit der ersten Ableitung [mm] f'(x)=\bruch{3}{4}x^2-3x [/mm] aus.
[mm] x*(\bruch{3}{4}-3)=0
[/mm]
x1=0
x2=4
Und wo setze ich das nun für die y-Werte ein? Eigentlich doch in die zweite Ableitung, oder? Das bringt mir aber auch wieder merkwürdige Zahlen (-3/+3). Die Extremwerte müssten bei +/-4y liegen.
Edit.: Bzw. erhalte ich damit, wie ich gerade sehe, das lokale Maximum/Minimum. In die Ausgangsgleichung eingesetzt, ergeben die Werte, aber dennoch etwas falsches.
Schöne Grüße
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Hallo drahmas,
> Hallo,
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>
> vielen Dank für die Antwort.
>
> Gut, ggf. mache ich eine grundsätzlichen Denkfehler.
> Ich dachte, man rechnet die fehlende Konstante c in einer
> Funktion der Gestalt [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2[/mm]
> immer über die zweite Ableitung aus.
> Das letzte Glied (ist das dann auch "c" in diesem Fall?)
> erhalte ich aber hier über Einsetzen der NST in den
> Funktionsterm?
>
Der Funktionsterm lautet zunächst
[mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2\blue{+c}[/mm]
Über die Bedingung [mm]f\left(2\right)=0[/mm] erhältst Du das "c".
> Ich habe nun erneut eine Polynomdivision durchgeführt, war
> vorher offenbar ein Fehler beim Subtrahieren. Nun erhalte
> ich [mm]\bruch{1}{4}x^2-x-2[/mm] und auch die korrekten Nullstellen.
> So weit passt das anscheinend.
>
> Die Extremwerte rechne ich nun mit der ersten Ableitung
> [mm]f'(x)=\bruch{3}{4}x^2-3x[/mm] aus.
>
> [mm]x*(\bruch{3}{4}-3)=0[/mm]
> x1=0
> x2=4
>
> Und wo setze ich das nun für die y-Werte ein? Eigentlich
> doch in die zweite Ableitung, oder? Das bringt mir aber
> auch wieder merkwürdige Zahlen (-3/+3). Die Extremwerte
> müssten bei +/-4y liegen.
>
Die "merkwürdigen Zahlen" charakterisieren die Art des Extremums.
> Edit.: Bzw. erhalte ich damit, wie ich gerade sehe, das
> lokale Maximum/Minimum. In die Ausgangsgleichung
> eingesetzt, ergeben die Werte, aber dennoch etwas
> falsches.
>
> Schöne Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Fr 14.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Okay, ich habe mittels Einsetzen der x-Koordinaten der Extremwerte
[mm] f'(x)=\bruch{3}{4}x^2-3x [/mm] aus.
[mm] x*(\bruch{3}{4}-3)=0
[/mm]
x1=0
x2=4
in die zweite Ableitung [mm] f''(0)=\bruch{3}{2}*0-3=-3 [/mm] und [mm] f''(4)=\bruch{3}{2}*4-3=3 [/mm] das lokale Maximum und Minimum. Mir fehlen aber immer noch die y-Koordinaten zu den beiden Extremwerten.
In welche Gleichung muss ich nun x1 und x2 einsetzen, damit ich die y-Koordinaten erhalte?
Beste Grüße
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Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
>
> Okay, ich habe mittels Einsetzen der x-Koordinaten der
> Extremwerte
>
> [mm]f'(x)=\bruch{3}{4}x^2-3x[/mm] aus.
>
> [mm]x*(\bruch{3}{4}-3)=0[/mm]
> x1=0
> x2=4
>
> in die zweite Ableitung [mm]f''(0)=\bruch{3}{2}*0-3=-3[/mm] und
> [mm]f''(4)=\bruch{3}{2}*4-3=3[/mm] das lokale Maximum und Minimum.
> Mir fehlen aber immer noch die y-Koordinaten zu den beiden
> Extremwerten.
> In welche Gleichung muss ich nun x1 und x2 einsetzen,
> damit ich die y-Koordinaten erhalte?
>
Die erhaltenen x-Werte setzt Du in
[mm]\bruch{1}{4}x^3-\bruch{3}{2}x^2\blue{+c}[/mm]
ein.
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Fr 14.10.2011 | | Autor: | drahmas |
Jetzt hats funktioniert, danke!
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