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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Mathe0 |
| Aufgabe | Funktion: [mm] f_t(x)=t*x^4*e^x
[/mm]
1. Bestimmen Sie den Wertebereich von [mm] f_1'(x)
[/mm]
2 Bestimmen Sie für [mm] u\le [/mm] 0 die Tangentengleichung in [mm] P(u/f_1(u))
[/mm]
3. Gibt es einen größten bzw. kleinsten y-Achsenabschnitt |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe bei der ich ziemliche Probleme habe. Ich poste mal meine Lösungansätze und hoffe mir kann wieder jemand helfen.
1. Also den Wertebereich habe ich so bestimmt, dass ich mir die erste Ableitung mit dem Taschenrechner anzeigen ließ. Dort sieht man ja das der niedrigste y-Wert beim Tiefpunkt der bei x=-2 liegt ist. Nach oben geht es ja in Richtung unendlich.
Also W= [mm] [-16*e^{-2};\infty]
[/mm]
Reicht das als Lösung oder kann man hier irgendwie rechnerisch beweisen, dass es keine kleineren Werte für y gibt oder das der Wertebereich nach oben ins unendliche geht?
2. Also die Tangengleichung habe ich versucht anhand der Gleichung y=mx+b zu bestimmen. So wie ich das verstanden habe soll ich doch eine Tangentengleichung in Abhängigkeit von u berechnen die je nach dem Punkt auf der Funktion mir sofort die passende Tangengleichung für diesen Punkt liefert.
Ich habe also eingesetzt: [mm] m=f_1'(u); y=f_1(u) [/mm] und b folglich [mm] \bruch{f_1(u)}{f_1'(u)*x}
[/mm]
Wenn ich das jetzt aber ausrechne komme ich auf eine Gleichung die so nicht stimmen kann. Nämlich [mm] y=x(u^4+4u^3)*e^u+ \bruch{u}{x*(u+4)}
[/mm]
Weiß vielleicht jemand wo mein Fehler liegt?
3. Wegen dem y-Achsenabschnitt kapier ich nicht so richtig was man machen soll. Ich weiß, dass man hier x irgendwie =0 setzen soll, aber hab keine Ahnung was ich hier überhaupt mache. Kann mir vielleicht jemand in einfachen Worten erklären was es mit diesem y-Achsenabschnitt auf sich hat?
Schonmal vielen Dank
Mfg
Mathe0
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Board gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mo 13.02.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Zur Übersicht:
Gegeben ist die Funktion [mm] f(t,x)=t*x^{4}*e^{x}.
[/mm]
Die erste Ableitung [mm] f'(t,x)=t*x^{4}*e^{x}+4*t*x^{3}*e^{x} [/mm] (mit Produktregel!)
Nun ist 1. nach dem Wertebereich von f'(1,x) gefragt.
Dazu betrachten wir [mm] f'(1,x)=x^{4}*e^{x}+4*x^{3}*e{x} [/mm] und ihr Verhalten im Unendlichen.
Lässt du x gegen [mm] \infty [/mm] gehen, so siehst du leicht, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f'(1,x)=\infty [/mm] ist.
Lässt du x gegen [mm] -\infty [/mm] gehen, so ist [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}f'(1,x)=0. [/mm] Warum denn das? Nun, die Begründung liegt darin, dass [mm] e^{x} [/mm] schneller wächst als jede Potenz von x, d.h. dass [mm] e^{x} [/mm] schneller gegen 0 geht wie [mm] x^{konstant}. [/mm] Daraus folgt eben dass die beiden Produkte in f'(1,x) gegen 0 gehen. (Ich denke dass diese Tatsache im Unterricht einmal angesprochen (wenn auch nicht bewiesen) wurde!)
D.h. also wenn die Funktion einerseits gegen 0 geht und andererseits gegen [mm] \infty, [/mm] dann "begrenzt" ein evtl. vorhandener Tiefpunkt den Wertebereich. Und da dieser bei -2 liegt, ist der Wertebereich wie du richtig erkannt hast [mm] W=[-16*e^{-2},\infty).
[/mm]
Zweitens war gefragt nach der Tangente im Punkt P(u|f(1,u)).
Allgemein errechnet sich ja die Tangente zu f'(1,u)*(x-u)+f(1,u) (das ist die hoffentlich bekannte Tangentengleichung!  ).
Setze ich da meine Funktion nun ein, so erhalte ich als Tangente [mm] -u^{3}*(u^{2}-u*(x-3)-4*x)*e^{u} \forall{u}.
[/mm]
Nun nehme ich eben noch die Einschränkung vor und verbiete Werte die größer 0 sind für u.
Da der Punkt P selbst eine Varibale darstellt, lässt sich meiner Meinung nach keine explizite Darstellung einer Tangenten aufstellen. Aus diesem Grund ist diese Aufgabenstellung in meinen Augen nicht ganz klar.
Nun noch zu drittens. Es war gefragt, ob es einen maximalen und einen minimalen Achsenabschnitt von f(t,x) gibt. Diese Frage ist leicht beantwortet. Der Achsenabschnitt errechnet sich über die Bedingung x=0. [mm] \Rightarrow [/mm] f(t,x)=0 [mm] \Leftrightarrow t*0^{4}*e^{0} [/mm] = y [mm] \Leftrightarrow [/mm] y = 0 [mm] \forall [/mm] t. Das heißt egal wie ich mein t wähle, der Achsenabschnitt ist immer bei y=0. Somit gibt es keinen maximalen oder minimalen Achsenabschnitt.
Alles klar soweit? Ich hoffe das alles ist nachvollziehbar! (Wenn nicht, ein paar mal scharf anschauen! )
Viel Spaß noch beim Rechnen
Lg, Kübi
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