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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 Mi 31.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo...
ich soll den Wertebereich von den Funktionen bestimmen, [mm] f:\IR \to \IR
[/mm]
1. [mm] f(x)=x^{2}+2+\bruch {1}{x^2} [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0
2. f(x)=sin(x)+cos(x)
3. [mm] f(x)=\bruch{|x|}{1+|x|}
[/mm]
Wie gehe ich da am besten vor? Ich habe noch nie den Wertebereich bestimmt?
Irgendwelche Tipps?
Ich habe auch schon ein paar Gedanken darüber gemacht...
zu 1. ich habe mir überlegt, ich bestimme einfach den Hoch-und Tiefpunkt.
Und davon kann ich dann den Wertebereich ableiten...
[mm] f'(x)=2x-\bruch{2}{x^{3}}
[/mm]
Hoch-und Tiefpunkt ist [mm] (\pm [/mm] 1), d.h. Wertebereich ist durch einsetzen (1, [mm] \infty)
[/mm]
stimmt das? Kann ich das so machen?
zu 2. ich bin den gleichen Ansatz wie 1. gefolgt.
f'(x)=cos(x)-sin(x), d.h. cos(x)=sin(x) und das ist nur bei den Wert x = [mm] \pm \bruch {\pi}{4}
[/mm]
durch Einsetzen komme ich dann auf den Wertebereich [mm] (-\wurzel{2}, \wurzel{2})
[/mm]
ist das so korrekt?
zu 3. mein Problem hier bei, wie leite ich eine Betragsfunktion ab?
f'(x)= [mm] \bruch {1*1+|x|-|x|*1}{(1+|x|)^{2}}=\bruch{1}{(1+|x|)^{2}}
[/mm]
aber dann bekomme ich keine Hoch-oder Tiefpunkt, d.h. der Wertebereich der Funktion ist nach der Annahme unbeschränkt, das kann aber augenscheinlich, wg. der Betragszeichen doch nicht sein...
gibt es andere Ansätze, wie man sowas am besten lösen kann?
Ich bin dankbar für jede Hilfe...
MFG
kiwibox
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo...
> ich soll den Wertebereich von den Funktionen bestimmen,
> [mm]f:\IR \to \IR[/mm]
> 1. [mm]f(x)=x^{2}+2+\bruch {1}{x^2}[/mm] x
> [mm]\not=[/mm] 0
> 2. f(x)=sin(x)+cos(x)
> 3. [mm]f(x)=\bruch{|x|}{1+|x|}[/mm]
>
> Wie gehe ich da am besten vor? Ich habe noch nie den
> Wertebereich bestimmt?
> Irgendwelche Tipps?
> Ich habe auch schon ein paar Gedanken darüber gemacht...
>
> zu 1. ich habe mir überlegt, ich bestimme einfach den
> Hoch-und Tiefpunkt.
> Und davon kann ich dann den Wertebereich ableiten...
> [mm]f'(x)=2x-\bruch{2}{x^{3}}[/mm]
> Hoch-und Tiefpunkt ist [mm](\pm[/mm] 1), d.h. Wertebereich ist
> durch einsetzen (1, [mm]\infty)[/mm]
[mm] \pm [/mm] 1 sind beides tiefpunkte; und sogar beides absolute minima.. und wenn man diese x-werte der minima in die funktion selbst einsetzt, sieht man, dass der minimale wert 4 ist, somit ist der wertebereich [mm] [4;\infty)
[/mm]
> stimmt das? Kann ich das so machen?
mh in vielen fällen wird das so nicht klappen.. du musst eigentlich eine ganze kurvendiskussion machen, auf dieser basis kannst du eine grobe skizze machen, und schauen wie der wertebereich aussehen kann..
und nur die 1. ableitung zu untersuchen bringt dich allein nicht immer weiter.. du musst auch die randpunkte des definitionsbereiches untersuchen, sowie stellen, an denen die funktion möglicherweise nicht differenzierbar ist
>
> zu 2. ich bin den gleichen Ansatz wie 1. gefolgt.
> f'(x)=cos(x)-sin(x), d.h. cos(x)=sin(x) und das ist nur
> bei den Wert x = [mm]\pm \bruch {\pi}{4}[/mm]
> durch Einsetzen komme
> ich dann auf den Wertebereich [mm](-\wurzel{2}, \wurzel{2})[/mm]
>
> ist das so korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , hier reicht die 1. ableitung, da diese funktion überall differenzierbar ist und keine randpunkte hat
>
> zu 3. mein Problem hier bei, wie leite ich eine
> Betragsfunktion ab?
hier hilft eine fallunterscheidung, womit du die beträge auflösen kannst.
bei diesem beispiel wirst du dann auch u.a. sehen, dass du mit der 1. ableitung keine extrema findest, aber ein bestimmter wert trotzdem nicht überschritten wird (stichwort: verhalten im unendlichen(grenzwerte gegen [mm] \pm\infty))
[/mm]
> f'(x)= [mm]\bruch {1*1+|x|-|x|*1}{(1+|x|)^{2}}=\bruch{1}{(1+|x|)^{2}}[/mm]
>
> aber dann bekomme ich keine Hoch-oder Tiefpunkt, d.h. der
> Wertebereich der Funktion ist nach der Annahme
> unbeschränkt, das kann aber augenscheinlich, wg. der
> Betragszeichen doch nicht sein...
> gibt es andere Ansätze, wie man sowas am besten lösen
> kann?
>
> Ich bin dankbar für jede Hilfe...
>
> MFG
> kiwibox
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Do 01.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
> hier hilft eine fallunterscheidung, womit du die beträge
> auflösen kannst.
> bei diesem beispiel wirst du dann auch u.a. sehen, dass du
> mit der 1. ableitung keine extrema findest, aber ein
> bestimmter wert trotzdem nicht überschritten wird
> (stichwort: verhalten im unendlichen(grenzwerte gegen
> [mm]\pm\infty))[/mm]
so am besten mal ich bei dieser Funktion [mm] f(x)=\bruch{|x|}{1+|x|} [/mm] die Fallunterscheidungen: 1. x>0, 2. x<0, 3. x=0
x=0: [mm] \bruch{|0|}{1+|0|}=\bruch{0}{1}=0
[/mm]
x>0: [mm] \bruch{|x|}{1+|x|}=\bruch{x}{1+x}=1 [/mm] (weil der Limes gegen 1 strebt)
x<0: [mm] \bruch{|-x|}{1+|-x|}=\bruch{x}{1+x}=1 [/mm] (wie oben)
d.h. der Wertebereich liegt zwischen [mm] \{0,1\}?
[/mm]
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Hallo kiwibox!
> x=0: [mm]\bruch{|0|}{1+|0|}=\bruch{0}{1}=0[/mm]
> x>0: [mm]\bruch{|x|}{1+|x|}=\bruch{x}{1+x}=1[/mm] (weil der Limes gegen 1 strebt)
Nicht ganz korrekt augeschrieben; aber Du meinst das Richtige.
> x<0: [mm]\bruch{|-x|}{1+|-x|}=\bruch{x}{1+x}=1[/mm] (wie oben)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Für $x \ < \ 0$ gilt: $|x| \ = \ -x$ .
Damit wird:
[mm] $$\bruch{|x|}{1+|x|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(-x)}{1+(-x)} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\bruch{x}{1-x} [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ ???$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 01.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Für [mm]x \ < \ 0[/mm] gilt: [mm]|x| \ = \ -x[/mm] .
>
> Damit wird:
> [mm]\bruch{|x|}{1+|x|} \ = \ \bruch{(-x)}{1+(-x)} \ = \ \red{-}\bruch{x}{1-x} \ \longrightarrow \ ???[/mm]
>
aber wenn ich -x in |-x| einsetze, kommt doch x heraus, oder verwechsele ich da was???
[mm] -\bruch{x}{1-x} \longrightarrow -\bruch{1}{e}, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Do 01.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Für x<0 ist $|x|=-x$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Do 01.04.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo kiwibox!
> aber wenn ich -x in |-x| einsetze, kommt doch x heraus,
> oder verwechsele ich da was???
Scheinbar ja. Siehe dazu auch Fred's Antwort ...
> [mm]-\bruch{x}{1-x} \longrightarrow -\bruch{1}{e},[/mm] oder?
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Wie kommst Du denn darauf?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Do 01.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
quatsch. geht ja gegen 1. sorry.
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