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Habe mal eine Frage, ob meine Überlegungen zu folgender Aufgabe korrekt sind.
Gegeben sei die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} |x|, & \mbox{für } x<0 \\ x, & \mbox{für } 0\le x<2 \\ x^2, & \mbox{für } x \ge 2\end{cases}
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Wertebereich von f
Also habe ich hier
[mm] \limes_{x\rightarrow - \infty} [/mm] -x = [mm] \infty, [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x = 0 und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^2 [/mm] = [mm] \infty [/mm]
bestimmt.
Der Wertebereich von f ist also W = [mm] \{x | x \ge 0 \}. [/mm] Ist das richtig so?
b) Untersuchen Sie Monotonieverhalten und Stetigkeit der Funktion
Monotonieverhalten:
I ]- [mm] \infty; [/mm] 0[: f'(x) = -1<0 => streng monoton fallend
I [0;2[: f'(x) = 1>0 => streng monoton steigend
I [2; [mm] \infty[: [/mm] f'(x) = 2x>0 [mm] \forall [/mm] x>0 => streng monoton steigend
Stetigkeit:
Die kritischen Stellen sind 0 und 2. Es müssen also die rechts- und linksseitigen Grenzwerte an diesen Stellen bestimmt werden. Stimmen diese jeweils überein, ist die Funktion an diesen Stellen stetig.
Also:
kritische Stelle 0 (rechtsseitiger GW): f(0+)= [mm] \limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}0+\varepsilon [/mm] = 0
kritische Stelle 0 (linksseitiger GW): f(0-)= [mm] \limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}-0-\varepsilon [/mm] = 0
kritische Stelle 2 (rechtsseitiger GW): f(2+)= [mm] \limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}(2+\varepsilon)^2 [/mm] = 4
kritische Stelle 2 (linksseitiger GW): f(2-)= [mm] \limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}2-\varepsilon [/mm] = 2
Die Funktion f ist an der Stelle 0 also stetig, an der Stelle 2 unstetig.
Ist das richtig so?
c) Durch eine Änderung der Teilbereiche kann die Funktion f zu einer stetigen Funktion gemacht werden. Wie müsste diese Änderung aussehen?
Es muss also gelten
[mm] \limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}(x_{0}+\varepsilon)^2=\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}x_{0}-\varepsilon [/mm]
Für [mm] x_{0}=1 [/mm] ist die Gleichung erfüllt. Aus der 2 müsste also eine 1 gemacht werden, damit die Funktion stetig ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo Morpheus87,
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> > Habe mal eine Frage, ob meine Überlegungen zu folgender
> > Aufgabe korrekt sind.
> > Gegeben sei die Funktion
> > [mm]f(x)=\begin{cases} |x|, & \mbox{für } x<0 \\ x, & \mbox{für } 0\le x<2 \\ x^2, & \mbox{für } x \ge 2\end{cases}[/mm]
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> >
> > a) Bestimmen Sie den Wertebereich von f
> > Also habe ich hier
> > [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}[/mm] -x = [mm]\infty,[/mm]
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] x = 0 und
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^2[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> > bestimmt.
> > Der Wertebereich von f ist also W = [mm]\{x | x \ge 0 \}.[/mm] Ist
> > das richtig so?
>
>
>
> Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> >
> > b) Untersuchen Sie Monotonieverhalten und Stetigkeit der
> > Funktion
> > Monotonieverhalten:
> > I ]- [mm]\infty;[/mm] 0[: f'(x) = -1<0 => streng monoton
> fallend
> > I [0;2[: f'(x) = 1>0 => streng monoton steigend
> > I [2; [mm]\infty[:[/mm] f'(x) = 2x>0 [mm]\forall[/mm] x>0 => streng
> monoton
> > steigend
> >
> > Stetigkeit:
> > Die kritischen Stellen sind 0 und 2. Es müssen also die
> > rechts- und linksseitigen Grenzwerte an diesen Stellen
> > bestimmt werden. Stimmen diese jeweils überein, ist die
> > Funktion an diesen Stellen stetig.
> > Also:
> > kritische Stelle 0 (rechtsseitiger GW): f(0+)=
> > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}0+\varepsilon[/mm] = 0
> > kritische Stelle 0 (linksseitiger GW): f(0-)=
> > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}-0-\varepsilon[/mm] = 0
> > kritische Stelle 2 (rechtsseitiger GW): f(2+)=
> > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}(2+\varepsilon)^2[/mm] = 4
> > kritische Stelle 2 (linksseitiger GW): f(2-)=
> > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}2-\varepsilon[/mm] = 2
> >
> > Die Funktion f ist an der Stelle 0 also stetig, an der
> > Stelle 2 unstetig.
> >
> > Ist das richtig so?
>
>
> Stimmt auch.
>
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> >
> > c) Durch eine Änderung der Teilbereiche kann die Funktion f
> > zu einer stetigen Funktion gemacht werden. Wie müsste diese
> > Änderung aussehen?
> > Es muss also gelten
> > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}(x_{0}+\varepsilon)^2=\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}x_{0}-\varepsilon[/mm]
> > Für [mm]x_{0}=1[/mm] ist die Gleichung erfüllt. Aus der 2 müsste
> > also eine 1 gemacht werden, damit die Funktion stetig ist.
>
>
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> Gruß
> MathePower
Ehrlich, oh das freut mich ja! :) Vielen Dank für die schnelle Antwort! Stimmt irgendwas mit der Notation nicht oder auch da alles ok=?
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Hallo Morpheus87,
> > Hallo Morpheus87,
> >
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> > > Habe mal eine Frage, ob meine Überlegungen zu folgender
> > > Aufgabe korrekt sind.
> > > Gegeben sei die Funktion
> > > [mm]f(x)=\begin{cases} |x|, & \mbox{für } x<0 \\ x, & \mbox{für } 0\le x<2 \\ x^2, & \mbox{für } x \ge 2\end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > a) Bestimmen Sie den Wertebereich von f
> > > Also habe ich hier
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}[/mm] -x = [mm]\infty,[/mm]
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] x = 0 und
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^2[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> > > bestimmt.
> > > Der Wertebereich von f ist also W = [mm]\{x | x \ge 0 \}.[/mm] Ist
> > > das richtig so?
> >
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > >
> > > b) Untersuchen Sie Monotonieverhalten und Stetigkeit der
> > > Funktion
> > > Monotonieverhalten:
> > > I ]- [mm]\infty;[/mm] 0[: f'(x) = -1<0 => streng monoton
> > fallend
> > > I [0;2[: f'(x) = 1>0 => streng monoton steigend
> > > I [2; [mm]\infty[:[/mm] f'(x) = 2x>0 [mm]\forall[/mm] x>0 => streng
> > monoton
> > > steigend
> > >
> > > Stetigkeit:
> > > Die kritischen Stellen sind 0 und 2. Es müssen also
> die
> > > rechts- und linksseitigen Grenzwerte an diesen Stellen
> > > bestimmt werden. Stimmen diese jeweils überein, ist die
> > > Funktion an diesen Stellen stetig.
> > > Also:
> > > kritische Stelle 0 (rechtsseitiger GW): f(0+)=
> > > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}0+\varepsilon[/mm] = 0
> > > kritische Stelle 0 (linksseitiger GW): f(0-)=
> > > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}-0-\varepsilon[/mm] = 0
> > > kritische Stelle 2 (rechtsseitiger GW): f(2+)=
> > > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}(2+\varepsilon)^2[/mm] = 4
> > > kritische Stelle 2 (linksseitiger GW): f(2-)=
> > > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}2-\varepsilon[/mm] = 2
> > >
> > > Die Funktion f ist an der Stelle 0 also stetig, an der
> > > Stelle 2 unstetig.
> > >
> > > Ist das richtig so?
> >
> >
> > Stimmt auch.
> >
> >
> > >
> > > c) Durch eine Änderung der Teilbereiche kann die Funktion f
> > > zu einer stetigen Funktion gemacht werden. Wie müsste diese
> > > Änderung aussehen?
> > > Es muss also gelten
> > > [mm]\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}(x_{0}+\varepsilon)^2=\limes_{0<\varepsilon \rightarrow 0}x_{0}-\varepsilon[/mm]
> > > Für [mm]x_{0}=1[/mm] ist die Gleichung erfüllt. Aus der 2 müsste
> > > also eine 1 gemacht werden, damit die Funktion stetig ist.
> >
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> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
> Ehrlich, oh das freut mich ja! :) Vielen Dank für die
> schnelle Antwort! Stimmt irgendwas mit der Notation nicht
> oder auch da alles ok=?
Nun, für den Wertebereich sollte ein anderer Buchstabe
verwendet werden, um nicht mit dem x in Konflikt zu geraten.
[mm]W=\left\{y \in \IR \left|\right y \ge 0\right\}=\IR_{0}^{+}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Do 11.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Oh ja, vielen Dank!
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Wie es mit folgender Funktion und dem Wertebereich aus?
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x+|x|}{x}.
[/mm]
- Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich.
Definitionsbereich:
Es muss x [mm] \not=0 [/mm] gelten. Also ist [mm] D=\IR\backslash\{0\}
[/mm]
Wertebereich:
Es ist also f(x)= [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]. Also ist [mm]W=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
Nun meine Frage. Kann ich das beim Wertebereich so schreiben? Wenn nicht, wie schreibe ich das sonst?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Do 11.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
ein f(x) ist am Anfang zuviel! Bitte ignorieren!
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Hallo Morpheus87,
> Wie es mit folgender Funktion und dem Wertebereich aus?
>
> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x+|x|}{x}.[/mm]
> - Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den
> Wertebereich.
>
> Definitionsbereich:
> Es muss x [mm]\not=0[/mm] gelten. Also ist [mm]D=\IR\backslash\{0\}[/mm]
>
> Wertebereich:
> Es ist also f(x)= [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm].
> Also ist [mm]W=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
>
> Nun meine Frage. Kann ich das beim Wertebereich so
> schreiben? Wenn nicht, wie schreibe ich das sonst?
Einfach die Bildmenge angeben:
[mm]W=\left\{0,2\right\}[/mm]
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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> Hallo Morpheus87,
>
> > Wie es mit folgender Funktion und dem Wertebereich aus?
> >
> > Gegeben sei die Funktion [mm]f(x)=\bruch{x+|x|}{x}.[/mm]
> > - Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den
> > Wertebereich.
> >
> > Definitionsbereich:
> > Es muss x [mm]\not=0[/mm] gelten. Also ist [mm]D=\IR\backslash\{0\}[/mm]
> >
> > Wertebereich:
> > Es ist also f(x)= [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm].
> > Also ist [mm]W=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Nun meine Frage. Kann ich das beim Wertebereich so
> > schreiben? Wenn nicht, wie schreibe ich das sonst?
>
>
> Einfach die Bildmenge angeben:
>
> [mm]W=\left\{0,2\right\}[/mm]
>
>
> > Vielen Dank!
>
>
> Gruss
> MathePower
Muss es heißen [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm] oder [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x\ge 0 \end{cases}[/mm]
Denn 0 ist ja eine stetig behebbare Definitionslücke. Der Definitionsbereich bleibt doch dann gleich oder? Nur das 0 stetig behebbar ist.
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Hallo Morpheus87,
> Muss es heißen [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
> oder [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 2, & \mbox{für } x\ge 0 \end{cases}[/mm]
> Denn 0 ist ja eine stetig behebbare Definitionslücke. Der
> Definitionsbereich bleibt doch dann gleich oder? Nur das 0
> stetig behebbar ist.
Ich denke nicht, daß es sich hier
um eine behebbare Definitionslücke handelt.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 11.06.2009 | | Autor: | Morpheus87 |
Hast recht, Denkfehler!
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