Wertebereich einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mo 03.03.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Rechne gerad eine Altklausur durch und komm bei folgender Aufgabe nicht weiter, weil ich nicht weiß wie man Wertebereich einer Funtion bestimmt.
Aufgabe: Funktion f:D [mm] \to \IR [/mm] mit [mm] D=:(-1,\infty) [/mm] sei gegeben durch f(x):= [mm] \bruch{5x+2}{x+1}
[/mm]
a) Zeigen sie f ist streng monoton fallend
b)Bestimmen sie den wertebeich
c)Bestimmen sie die Umkehrfuntion g
d) Bestimmen sie die erste Ableitung von g und f |
a) z.z. f(x) ist streng monoton fallend: f(x)<f(x+1) [mm] \bruch{5x+2}{x+1}<\bruch{5(x+1)+2}{x+1+1}=\bruch{5x+7}{x+2}>\bruch{5x+2}{x+1} [/mm] q.e.d
b)Man muss die Hoch-u.Tiefpunkte bestimmen und dann in f(x) einsetzen um den Wertebereich zu bestimmen oder geht das auch anders?
[mm] f(x)=\bruch{5x+2}{x+1}
[/mm]
[mm] {f}^{1}(x)=\bruch{3}{{(x+1)}^{2}} [/mm] hat Polstelle bei -1 aber keine Nullstelle ? Leider weiß ich generell nicht wie das geht hab im Forum nachgeschaut und dann obige Erläuterung gefunden.Eigentlich auch einsichtig da sich Funtion in den y-werte zw. den Extrema bewegt.Wie ich aber hier explizit den Werteberich bestimmen kann weiß ich nicht.
[mm] c)y=\bruch{5x+2}{x+1} [/mm] tausche x mit y und forme um
Umkehrfunktion [mm] g(x)=\bruch{-2x-2}{x+5}
[/mm]
d) [mm] f(x)=\bruch{5x+2}{x+1} {f}^{1}(x)=\bruch{3}{{(x+1)}^{2}}
[/mm]
[mm] g(x)=\bruch{-2x-2}{x+5} {g}^{1}(x)=\bruch{6}{{(5x+1)}^{2}}
[/mm]
Danke im vorraus
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kroni |
> Rechne gerad eine Altklausur durch und komm bei folgender
> Aufgabe nicht weiter, weil ich nicht weiß wie man
> Wertebereich einer Funtion bestimmt.
>
> Aufgabe: Funktion f:D [mm]\to \IR[/mm] mit [mm]D=:(-1,\infty)[/mm] sei
> gegeben durch f(x):= [mm]\bruch{5x+2}{x+1}[/mm]
> a) Zeigen sie f ist streng monoton fallend
> b)Bestimmen sie den wertebeich
> c)Bestimmen sie die Umkehrfuntion g
> d) Bestimmen sie die erste Ableitung von g und f
> a) z.z. f(x) ist streng monoton fallend: f(x)<f(x+1)
> [mm]\bruch{5x+2}{x+1}<\bruch{5(x+1)+2}{x+1+1}=\bruch{5x+7}{x+2}>\bruch{5x+2}{x+1}[/mm]
> q.e.d
>
> b)Man muss die Hoch-u.Tiefpunkte bestimmen und dann in f(x)
> einsetzen um den Wertebereich zu bestimmen oder geht das
> auch anders?
Hi,
nun, der Wertebereich sind all die Werte, die f(x) annimmt. D.h. die Wertemenge ist die Menge $f(D)$
Du musst also gucken, wohin f(x) geht, wenn du dich der -1 näherst. Dann kannst du den Limes für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] berechnen. Da du aber schon weist, dass dein Graph streng monoton steigend ist, weist du, wie der Wertebereich ausschaut, denn es gibt dann ja keine Hoch/Tiefpunkte.
> [mm]f(x)=\bruch{5x+2}{x+1}[/mm]
> [mm]{f}^{1}(x)=\bruch{3}{{(x+1)}^{2}}[/mm] hat Polstelle bei -1
> aber keine Nullstelle ? Leider weiß ich generell nicht wie
> das geht hab im Forum nachgeschaut und dann obige
> Erläuterung gefunden.Eigentlich auch einsichtig da sich
> Funtion in den y-werte zw. den Extrema bewegt.Wie ich aber
> hier explizit den Werteberich bestimmen kann weiß ich
> nicht.
>
> [mm]c)y=\bruch{5x+2}{x+1}[/mm] tausche x mit y und forme um
>
> Umkehrfunktion [mm]g(x)=\bruch{-2x-2}{x+5}[/mm]
Die stimmt so nicht. Was hast du gerechnet? Der Ansatz stimmt aber.
>
>
> d) [mm]f(x)=\bruch{5x+2}{x+1} {f}^{1}(x)=\bruch{3}{{(x+1)}^{2}}[/mm]
Das ist korrekt.
>
> [mm]g(x)=\bruch{-2x-2}{x+5} {g}^{1}(x)=\bruch{6}{{(5x+1)}^{2}}[/mm]
Da g falsch ist ist g' auch falsch. Deshalb hab ichs nicht weiter kontrolliert.
>
>
> Danke im vorraus
>
> matheja
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 03.03.2008 | | Autor: | matheja |
> Hi,
>
> nun, der Wertebereich sind all die Werte, die f(x) annimmt.
> D.h. die Wertemenge ist die Menge [mm]f(D)[/mm]
>
> Du musst also gucken, wohin f(x) geht, wenn du dich der -1
> näherst. Dann kannst du den Limes für [mm]x\rightarrow \infty[/mm]
> berechnen. Da du aber schon weist, dass dein Graph streng
> monoton steigend ist, weist du, wie der Wertebereich
> ausschaut, denn es gibt dann ja keine Hoch/Tiefpunkte.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] f(x) [mm] =-\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1+} [/mm] f(x) [mm] =-\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1-} [/mm] f(x) [mm] =\infty
[/mm]
=> [mm] f(D)=\IR [/mm] \ {-1}?
> >
> > [mm]c)y=\bruch{5x+2}{x+1}[/mm] tausche x mit y und forme um
> >
> > Umkehrfunktion [mm]g(x)=\bruch{-2x-2}{x+5}[/mm]
>
> Die stimmt so nicht. Was hast du gerechnet? Der Ansatz
> stimmt aber.
[mm] y=\bruch{5x+2}{x+1}
[/mm]
[mm] x=\bruch{5y+2}{y+1} [/mm] | *(y+1)
xy+x=5y+2 | -5y |-x
xy-5y=-x+2
y(x-5)=-x+2 |:(x-5)
[mm] y=\bruch{-x-2}{x-5}
[/mm]
>
> >
> >
> > d) [mm]f(x)=\bruch{5x+2}{x+1} {f}^{1}(x)=\bruch{3}{{(x+1)}^{2}}[/mm]
>
> Das ist korrekt.
>
> >
> > [mm]g(x)=\bruch{-2x-2}{x+5} {g}^{1}(x)=\bruch{6}{{(5x+1)}^{2}}[/mm]
>
> Da g falsch ist ist g' auch falsch. Deshalb hab ichs nicht
> weiter kontrolliert.
>
> >
> >
> > Danke im vorraus
> >
> > matheja
>
>
> LG
>
> Kroni
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:28 Mo 03.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
>
>
> > => [mm]f(D)=\IR[/mm] \ {-1}?
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
>
Das stimmt so leider nicht. [mm] $D=(-1;\infty)$ [/mm] von daher ist [mm] $f(D)\not=\IR \backslash [/mm] (-1)$ sondern [mm] $(-\infty;5)$
[/mm]
LG
Kroni
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, das passt so, denn der Limes für x von rechts gegen -1 ist [mm] $\infty$. [/mm] Da das Ganze streng monton steigend ist, und der Limes für x gegen [mm] $\infty$ [/mm] 5 ist, stimmt dein Wertebereich.
LG
Kroni
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Diese beiden Grenzwerte solltest Du Dir nochmal in Ruhe ansehen. Dabei sollte jeweils ein konstanter (und konkreter) Zahlwenwert herauskommen.
