Wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Harris |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass bei einer doppelt periodischen Funktion in den Gitterpunkten keine wesentliche Singularität vorliegen kann. |
Hi!
Ich komm mit dieser Aufgabe nicht ganz zurecht. Satz von Casorati-Weierstraß darf verwendet werden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Das ist merkwürdig ....
Üblicherweise ist eine elliptische (oder doppelt periodische) Funktion von Hause aus auf [mm] \IC [/mm] meromorph.
Wie habt Ihr denn "doppelt periodisch" definiert ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Harris |
Hi!
Danke für die Antwort!
Also, für [mm] \omega_1/\omega_2\notin \IR [/mm] ist [mm] \Omega= \omega_1\IZ+\omega_2\IZ [/mm] mein Periodengitter.
Und für alle [mm] \omega\in\Omega [/mm] gilt für eine doppelt periodische Funktion [mm] f(z+\omega)=f(z).
[/mm]
Läuft natürlich auf die [mm] \wp-Funktion [/mm] hinaus, aber wir müssen halt zuerst zeigen, dass diese "nur" meromorph sein kann, und nicht eventuell eine wesentliche Singularität besitzen darf.
Kann man da eventuell irgendwie mit dem Residuum [mm] a_{-1}=0 [/mm] argumentieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wieder merkwürdig ....
Es sieht doch ein blinder mit Krückstock, dass die $ [mm] \wp-Funktion [/mm] $ zu ob. Gitter meromorph ist !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Harris |
Natürlich, aber auch alle Ableitungen der p-Fkt. sind doppelt periodisch, haben also dann auch Pole n-ter Ordnung.
Es ist vielmehr zu zeigen, dass wesentliche Singularitäten gar nicht erst infrage kommen. Es läuft darauf hinaus, dass ALLE doppelt Periodischen Fktnen genau durch rationale Funktionen in [mm] \wp [/mm] und [mm] \wp' [/mm] beschreibbar sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Teile mal mit (und zwar Wort für Wort), wie Ihr eine doppelt periodische Funktion def. habt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Mo 06.12.2010 | | Autor: | Harris |
Also, für $ [mm] \omega_1/\omega_2\notin \IR [/mm] $ ist $ [mm] \Omega= \omega_1\IZ+\omega_2\IZ [/mm] $ mein Periodengitter.
Und für alle $ [mm] \omega\in\Omega [/mm] $ gilt für eine doppelt periodische Funktion $ [mm] f(z+\omega)=f(z). [/mm] $
Genau das ist die Definition.
Aber spätestens bei [mm] f(z)=e^{\wp(z)} [/mm] gibt es doch Probleme, da ja f genau in den Gitterpunkten eine wesentliche Singularität hat...
Kann das eventuell sein, dass die Aufgabenstellung Schund ist?
Vor allem haben wir doppelte Periodizität eingeführt und anschließend gesagt, dass jede doppelt periodische Fkt. meromorph ist und somit eine elliptische Fkt. als doppelt periodische meromorphe Fkt definiert. Das macht für mich irgendwie nur bedingt Sinn..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also, für [mm]\omega_1/\omega_2\notin \IR[/mm] ist [mm]\Omega= \omega_1\IZ+\omega_2\IZ[/mm]
> mein Periodengitter.
> Und für alle [mm]\omega\in\Omega[/mm] gilt für eine doppelt
> periodische Funktion [mm]f(z+\omega)=f(z).[/mm]
>
> Genau das ist die Definition.
Das ist doch keine Definition !!
Woher kommt f ? Aus welcher Klasse ?
FRED
>
> Aber spätestens bei [mm]f(z)=e^{\wp(z)}[/mm] gibt es doch Probleme,
> da ja f genau in den Gitterpunkten eine wesentliche
> Singularität hat...
> Kann das eventuell sein, dass die Aufgabenstellung Schund
> ist?
>
> Vor allem haben wir doppelte Periodizität eingeführt und
> anschließend gesagt, dass jede doppelt periodische Fkt.
> meromorph ist und somit eine elliptische Fkt. als doppelt
> periodische meromorphe Fkt definiert. Das macht für mich
> irgendwie nur bedingt Sinn..
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