Widerspruchsbeweis < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Di 22.03.2005 | | Autor: | damienX |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich hätte da mal zwei Fragen bezüglich eines Widerspruchsbeweis:
Aufgabe : Beweisen Sie:
für jede positive reelle Zahl x gilt:
[mm] x + \bruch{1}{x} \ge 2 [/mm]
Es ist offensichtlich das sie Aussage stimmt,
allerdings weiß ich nicht genau
a ) Wie fängt man einen Widerspruchsbeweis richtig an und
b ) in welches Mathematisches Feld gehört das normalerweise rein.
(sprich in welches Forum hätte ich das korrekterweise stellen sollen)
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Di 22.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo DamienX!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich hätte da mal zwei Fragen bezüglich eines
> Widerspruchsbeweis:
> Aufgabe : Beweisen Sie:
> für jede positive reelle Zahl x gilt:
> [mm]x + \bruch{1}{x} \ge 2 [/mm]
> Es ist offensichtlich das sie
> Aussage stimmt,
> allerdings weiß ich nicht genau
> a ) Wie fängt man einen Widerspruchsbeweis richtig an
> und
> b ) in welches Mathematisches Feld gehört das
> normalerweise rein.
> (sprich in welches Forum hätte ich das korrekterweise
> stellen sollen)
Zu b):
Im Analysis-Forum bist du schon richtig  !
Zu a)
1.) Warum willst du denn einen Widerspruchsbeweis führen? Die Aussage läßt sich ganz leicht wie folgt herleiten:
Sei $x>0$. Dann gilt:
[mm] $x+\frac{1}{x}\ge [/mm] 2$
[mm] $\stackrel{beachte:\;x > 0}{\gdw}$
[/mm]
[mm] $x^2+1 \ge [/mm] 2x$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x^2-2x+1 \ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(x-1)^2 \ge [/mm] 0$.
Da hier überall [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] stehen und die letzte Aussage offensichtlich wahr ist, ist der Beweis hier zu Ende.
Falls du den Beweis, dass aus $x > 0$ dann [mm] $x+\frac{1}{x}\ge [/mm] 2$ folgt, lieber nur mit [mm] $\Rightarrow$-Zeichen [/mm] führen willst (bei den [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] muss man nämlich immer genau drauf achten, dass die Folgerungen in beide Richtungen (also [mm] $\Leftarrow$ [/mm] bzw. [mm] $\Rightarrow$) [/mm] stimmen; manchmal braucht man das aber gar nicht bzw. manchmal stimmt das auch gar nicht!), so kannst du dies tun, indem du, wenn die obigen Umformungen anguckst, von der offensichtlich wahren Aussage [mm] $(x-1)^2 \ge [/mm] 0$ ausgehst und durch Umformungen zu der Behauptung kommst:
[mm] $(x-1)^2 \ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $x^2-2x+1\ge [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $x^2+1\ge [/mm] 2x$
[mm] $\stackrel{beachte:\;x>0}{\Rightarrow}$
[/mm]
[mm] $x+\frac{1}{x}\ge [/mm] 2$.
Falls bei deiner Aufgabe aber wirklich explizit ein Widerspruchsbeweis verlangt sein sollte, so gehst du die Aufgabe wie folgt an:
Sei $x>0$. Angenommen, es gelte nicht [mm] $x+\frac{1}{x}\ge [/mm] 2$. Dann folgt:
[mm] $x+\frac{1}{x}<2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
.
.
.
[mm] $(x-1)^2<0$. [/mm] Widerspruch!
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Mi 23.03.2005 | | Autor: | damienX |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe,
da ich explizit den Widersrpuchsbeweis nehmen muss in der Aufgabe, bleibt nur der Weg.
Habe die Formel jetzt ein wenig anders umgestellt, komme aber auch zu einem widersprüchlichen Ergebnis, bin daher der Meinung, dass es auch so gehen müsste:
[mm] x + \bruch{1}{x} < 2
\Rightarrow \bruch {1}{x} < 2-x
\Rightarrow x < (2-x)x
\Rightarrow x < -x^2 + 2x
\Rightarrow x^2 + x < 2x
\Rightarrow x^2 < x [/mm] und somit auch ein Widerspruch.
Ich hoffe ich hab da jetzt nichts falsch gemacht.
Vielen Dank nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo DamienX!
Mal abgesehen davon, dass du einen kleinen Rechenfehler gemacht hast (siehe Thorsten's Korrektur):
.
.
.
[mm] \Rightarrow x^2 < x[/mm]
> und somit auch ein Widerspruch.
Das wäre auch kein Widerspruch. Für $x > 0$ gilt [mm] $x^2
Viele Grüße,
Marcel
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http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=199&ref=http://www.google.de/search?qX=beweise%2Bmathematik%26hlX=de%26lrX=%26startX=10%26saX=N![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
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Da Du hier mit x multiplizierst, mußt Du noch ergänzend schreiben: "$x \ > \ 0$", da sich sonst das Ungleichheitszeichen umdrehen würde.
