www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Widerspruchsbeweis
Widerspruchsbeweis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Widerspruchsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Di 21.06.2011
Autor: jacob17

Hallo miteinander,
Beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe und wollte mal nachfragen, ob man diese auch so lösen kann. Hier die Aufgabenstellung: Sei die Funktion f mit f(x,y) = [mm] \bruch{x-y}{1-xy} [/mm] gegeben. Zu zeigen ist nun dass diese auf K={(x,y)  [mm] \in IR^2 [/mm] : 0<x<2, :  |y| <2 , xy [mm] \not=1} [/mm] kein lokales Minimum oder Maximum besitzt.
Dachte mir hierzu einfach anzunehmen die Funktion besäße kritische Punkte. Diese wären dann gegeben durch P(1,1) und Q(-1,-1) wenn man nun aber die Hessematrix aufstellt. ergibt sich das Problem dass diese an den Stellen nicht definiert ist. Wäre dies schon der Widerspruch?
Viele Grüße
jacob

        
Bezug
Widerspruchsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Di 21.06.2011
Autor: chrisno

Die Idee erscheint mir brauchbar. Doch gehst Du mit der Hesse-Matrix einen Schritt zu weit. Du musst ja zeigen, dass in dem Bereich es keine Kandidaten für lokale Extrema gibt. Also berechnest Du die ersten partiellen Ableitungen. Diese werden gleichzeitig nur an Stellen null, an denen die Funktion und daher auch die partiellen Ableitungen nicht definiert sind. Also werden sie nie null.

Deinen Formulierung des Widerspruchs geht nicht, weil Du Punkte betrachtest, an denen die Funktion schon nicht definiert ist. So wie Du es geschrieben hast, könnte es sogar richtig falsch werden. Nimm an, die Funktion ist definiert, aber nicht die Hesse-Matrix. Dann hilft dir eben die Hesse-Matrix nicht weiter und du musst einen anderen Weg suchen.

Bezug
                
Bezug
Widerspruchsbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:15 Do 23.06.2011
Autor: jacob17

Vielen Dank für deine Antwort.
Also Bildung der partiellen Ableitungen führt zu [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1-y^2}{(1-xy)^2} [/mm] ; [mm] \bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{x^2-1}{(1-xy)^2} [/mm] ; Somit ist [mm] \partial [/mm] f = 0 [mm] \gdw [/mm] a)  [mm] \bruch{1-y^2}{(1-xy)^2} [/mm] = 0 und b) [mm] \bruch{x^2-1}{(1-xy)^2} [/mm] = 0; a) nach y aufgelöst führt dann zu [mm] y_1= [/mm] 1 oder [mm] y_2=-1 [/mm] in b) eingesetzt erhält man
dann als potentielle kritische Punkte: P(1,1); Q(-1,1); R(1,-1) und S(-1,-1). da P Q und S auf K nicht definiert sind kommt nur noch R(1,-1) in Frage.  
Könnte man bis hierher auf diese Weise argumentieren oder läuft das in eine Sackgasse?
Viele Grüße
jacob

Bezug
                        
Bezug
Widerspruchsbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Do 23.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo jacob17,


> Vielen Dank für deine Antwort.
>  Also Bildung der partiellen Ableitungen führt zu
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}= \bruch{1-y^2}{(1-xy)^2}[/mm] ; [ok]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}= \bruch{x^2-1}{(1-xy)^2}[/mm] ; [ok]
> Somit ist [mm]\partial[/mm] f = 0 [mm]\gdw[/mm] a)  [mm]\bruch{1-y^2}{(1-xy)^2}[/mm] =
> 0 und b) [mm]\bruch{x^2-1}{(1-xy)^2}[/mm] = 0; a) nach y aufgelöst
> führt dann zu [mm]y_1=[/mm] 1 oder [mm]y_2=-1[/mm] in b) eingesetzt erhält
> man
> dann als potentielle kritische Punkte: P(1,1); Q(-1,1);
> R(1,-1) und S(-1,-1). da P Q und S auf K nicht definiert
> sind kommt nur noch R(1,-1) in Frage.  

Hm, ok, die Punkte [mm](x,y)[/mm] mit [mm]xy=1[/mm] sind rausgenommen, da bleiben aber doch die beiden Kandidaten [mm]Q=(-1,1)[/mm] und [mm]R=(1,-1)[/mm] in [mm]K[/mm], oder?

An diesen Stellen sind Funktion und partielle Ableitungen auch schpn definiert, also sehe ich da kein Problem ...

Für diese beiden Punkte müsstest du dann noch zeigen, dass sie keine Extrema liefern

> Könnte man bis hierher auf diese Weise argumentieren oder
> läuft das in eine Sackgasse?

Nee, das scheint mir gut auszusehen.

Nun würde ich die Hessematrix in den beiden verbleibenden stat. Punkten untersuchen. Die ist von sehr einfacher Gestalt und wird sich in beiden Fällen als indefinit herausstellen.

> Viele Grüße
>  jacob

Gruß

schachuzipus


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de