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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Do 24.03.2011 | | Autor: | Kuise |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1) Bei der Wiederspruchsmethode kommt man beim Aufarbeiten der Gleichung [mm] \wurzel{2}= \bruch{p}{q} [/mm] auf den Schluss, dass p²=2q² ist, demnach ist p² eine gerade Zahl, weil das 2-fache einer -beliebigen-ungeraden Zahl wieder eine gerade Zahl ist. Stimmt das?
2) Wie kommt man bei dieser Gleichung in weiterer Folge auf den Schluss, dass p = 2r ist? Woher kommt dieses r? könnte dieses r auch n sein, oder hat dies eine gewisse mathematische Bedeutung?
Für Antworten wäre ich sehr, seh dankbar!
Freundliche Grüße
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Hallo Kuise und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beweisen Sie, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl
> ist.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> 1) Bei der Wiederspruchsmethode kommt man beim Aufarbeiten
> der Gleichung [mm]\wurzel{2}= \bruch{p}{q}[/mm] auf den Schluss,
> dass p²=2q² ist, demnach ist p² eine gerade Zahl, weil
> das 2-fache einer -beliebigen-ungeraden Zahl wieder eine
> gerade Zahl ist. Stimmt das?
Hmm, jein, es ist [mm]2q^2[/mm] gerade, egal ob [mm]q^2[/mm] gerade oder ungerade ist.
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> 2) Wie kommt man bei dieser Gleichung in weiterer Folge auf
> den Schluss, dass p = 2r ist? Woher kommt dieses r? könnte
> dieses r auch n sein, oder hat dies eine gewisse
> mathematische Bedeutung?
Das [mm]r[/mm] ist eine nat. Zahl, [mm]n[/mm] kannst du auch schreiben.
Wenn nämlich [mm]p^2[/mm] gerade ist, so muss auch [mm]p[/mm] gerade sein, sich also als [mm]p=2r[/mm] mit einem [mm]r\in\IN[/mm] darstellen lassen.
Begründung dafür:
Wäre [mm]p[/mm] ungerade, also etwa [mm]p=2n+1[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm], so wäre [mm]p^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1[/mm] ungerade im Widerspruch dazu, dass [mm]p^2[/mm] gerade ist.
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> Für Antworten wäre ich sehr, seh dankbar!
>
> Freundliche Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Do 24.03.2011 | | Autor: | Kuise |
Zuerst danke für deine schnelle Antwort.
Ok, soweit so gut, gehe ich jetzt richtig in der Annahme, dass 2r hier einfach für das 2-fache einer natürlichen Zahl steht, welche nach unserer Erkenntnis also gerade sein muss? Demnach ist 2r = p ... eben, weil beide 2 gerade unbekannte Zahlen sind. richtig?
Kann man also jede beliebige gerade Zahl x mit 2r und jede beliebige ungerade Zahl y mit 2r +- 1 darstellen? Vorausgesetzt [mm] \IN [/mm] {0} da sonst 1 [mm] \not= [/mm] 2r + 1 | r [mm] \in \IN [/mm] in dargestellt werden könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Eine gerade natürliche Zahl n lässt sich darstellen in der Form n=2r mit einem r [mm] \in \IN, [/mm] nämlich mit r=n/2 (n ist gerade, also teilbar durch 2)
Eine ungerade natürliche Zahl n lässt sich darstellen in der Form n=2r-1 mit einem r [mm] \in \IN, [/mm] nämlich mit r=(n+1)/2 (n+1 ist gerade, also teilbar durch 2)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Do 24.03.2011 | | Autor: | Kuise |
Danke Ich habs! Vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Do 24.03.2011 | | Autor: | wieschoo |
http://www.geile-hirnbude.de/wurzel2.html
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Do 24.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> http://www.geile-hirnbude.de/wurzel2.html
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Hallo wieschoo,
das gefällt mir, das werde ich in Zukunft in meine Vorlesungen einbauen. Danke für diesen schönen Link.
Gruß FRED
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