Wieso hat ein Quadrat ... ? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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bei gleichem Flächeninhalt einen größeren Umfang als alle anderen Vierecke ?
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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das stimmt nicht. Zieh die Fläche mal in die Länge.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo DeusDeorum,
> bei gleichem Flächeninhalt einen größeren Umfang als alle
> anderen Vierecke ?
Friedrich Laher hat dir schon eine richtige Antwort gegeben, leider ohne Gegenbeispiel. Deshalb will ich dir das hier nachliefern:
Betrachte mal das Quadrat mit der Seitenlänge $c=4$cm. Es hat den Flächeninhalt:
$c*c=$$4$cm$*4$cm$=16$cm²
Der (zu diesem Quadrat) zugehörige Umfang beträgt:
$c+c+c+c=4*c=4*4$cm$=16$cm
Betrachtest du nun ein Rechteck mit den Seitenlängen $a=2$cm und $b=8$cm, so hat dieses Rechteck den Flächeninhalt:
$a*b=2$cm$*8$cm$=16$cm²
Zu diesem Rechteck gehört der Umfang:
$2a+2b=2*2$cm$+2*8$cm$=4$cm$+16$cm$=20cm$.
Dieses Rechteck hat also einen größeren Umfang als obiges Quadrat, aber den gleichen Flächeninhalt.
Liebe Grüße
Marcel
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vielen dank für eure Antworten, jedoch beantworten sie leider nicht meine Frage.
Aber ich habe jetzt durch langes nachdenken selbst herausgefunden, wie man sie löst.
Ich habe es grafisch gemacht indem ich festlegte das der Flächeninhalt von rechteck und Quadraht 4 ist. Also A = 4 . Dann habe ich in ein Koordinatensystem eine hyperbel eingezeichnet, also y = 4/x . Dann habe ich für x 3 werte eingesetzt, einmal 2 , einmal 1 und einmal 3 . Dabei kam heraus , das für x = 2 (Also Quadraht) der kleinste Umfang rauskam.
Eigentlich total einfach, aber irgendwie kam ich nicht drauf :) , diese aufgabe war für meine freundin, sie ist gerade in der 12. Ich habe mein Abi dieses Jahr gemacht.
Mfg, Christopher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo DeusDeorum
> vielen dank für eure Antworten, jedoch beantworten sie
> leider nicht meine Frage.
Doch, deine Frage lautete (Zitat):
Wieso hat ein Quadrat ... ? bei gleichem Flächeninhalt einen größeren Umfang als alle anderen Vierecke ?
Das ist so zu verstehen:
Egal, welches Viereck man betrachtet, wenn man ein Quadrat konstruiert, das den gleichen Flächeninhalt hat, dann ist der Umfang des Quadrates größer als der des Viereckes.
Diese Aussage ist falsch!
> Aber ich habe jetzt durch langes nachdenken selbst
> herausgefunden, wie man sie löst.
> Ich habe es grafisch gemacht indem ich festlegte das der
> Flächeninhalt von rechteck und Quadraht 4 ist. Also A = 4 .
Gut, dann hat dein Quadrat den Umfang $4*2$cm$=8$cm. Jetzt gebe ich dir mal ein Rechteck an, das ebenfalls den Flächeninhalt $4$cm² hat, aber einen Umfang, der größer als $8$cm ist. Das ist keine Kunst:
$a=1$cm und $b=4$cm.
Der Umfang des Rechtecks ist $10$cm, der Flächeninhalt $4$cm².
> Dann habe ich in ein Koordinatensystem eine hyperbel
> eingezeichnet, also y = 4/x . Dann habe ich für x 3 werte
> eingesetzt, einmal 2 , einmal 1 und einmal 3 . Dabei kam
> heraus , das für x = 2 (Also Quadraht) der kleinste Umfang
> rauskam.
>
> Eigentlich total einfach, aber irgendwie kam ich nicht
> drauf :) , diese aufgabe war für meine freundin, sie ist
> gerade in der 12. Ich habe mein Abi dieses Jahr gemacht.
So, ich weiß jetzt nicht, was du da getan hast und was das mit deiner ursprünglichen Frage zu tun hat?
(Na gut, ich erahne, dass du [mm] $y=\frac{4}{x}$ [/mm] schreibst, weil $x*y=4$. Deine "Vierecke" sind also schon einmal spezielle Vierecke, nämlich Rechtecke mit den Seiten $x$ und $y$.)
Vielleicht guckst du nochmal nach, denn so, wie du die Frage formuliert hattest:
"Wieso hat ein Quadrat ... ? bei gleichem Flächeninhalt einen größeren Umfang als alle anderen Vierecke ?"
passt das nicht zu deiner Lösung. Und auf diese Frage:
"Wieso hat ein Quadrat ... ? bei gleichem Flächeninhalt einen größeren Umfang als alle anderen Vierecke ?"
haben Friedrich Laher und ich dir geantwortet. Ich habe extra ein Gegenbeispiel angegeben!
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Christopher
ich will doch nochmals zeigen, wie das ohne Zeichnung gemacht werden kann. Gewiss, Marcel liebt schöne Zeichnungen, aber es geht auch ohne. 
Nimm mal an, das Quadrat habe die Seite $s$.
Dann ist die Fläche [mm] $s^2$.
[/mm]
Wenn du jetzt die eine Seite des Quadrates ein ganz klein Wenig vergrösserst, sagen wir so, dass sie nachher den Wert $c*s$ hat ($c$ muss dabei $> 1$ sein!), dann musst du die andere Seite verkleinern, damit das entstehende Rechteck die gleiche Fläche wie das Quadrat hat, und zwar gerade mal den Faktor [mm] $\bruch{1}{c}$
[/mm]
So, das Rechteck hat jetzt die Seiten $a=c*s$ und [mm] $b=\bruch{1}{c}*s$
[/mm]
Zur Probe: Fläche des Quadrates: $s*s$ = [mm] $s^{2}$
[/mm]
Fläche des Rechteckes: $a*b = c*s * [mm] \bruch{1}{c}*s [/mm] = s*s = [mm] s^{2}$
[/mm]
Wie sieht es jetz aber mit dem Umfang aus?
Für das Quadrat: [mm] $U_{Q}=s+s+s+s=4s$
[/mm]
Für das Rechteck: [mm] $U_{R}=cs+cs+\bruch{1}{c}*s+\bruch{1}{c}*s=2cs+2 \bruch{1}{c}*s=2s*(c+ \bruch{1}{c})$
[/mm]
Jetzt wird behauptet:
[mm] $U_{R} [/mm] > [mm] U_{Q}$ [/mm] wenn $c > 0$ ist.
An diese Ungleichung dürfen alle gültigen Umformungen durchgeführt werden. Wenn dadurch eine vereinfachte Form entsteht, der man ansieht, dass sie offensichtlich stimmt, dann ist die gegebene Ungleichung eben auch erfüllt.
Versuchen wir das also einmal:
[mm] $U_{R} [/mm] > [mm] U_{Q}$ [/mm] heisst, nach obigem:
$2s*(c+ [mm] \bruch{1}{c}) [/mm] > 4s$
Durch $2s$ dividieren (das Zeichen ändert dadurch nicht, weil wir sicher durch einen positiven Wert dividieren):
$c+ [mm] \bruch{1}{c} [/mm] > 2$
Die linke Seite auf einen Bruch bringen (mit Gleichnamigmachen):
[mm] $\bruch{c^{2}+1}{c} [/mm] > 2$
Weil wir angenommen haben, dass $c > 0$ ist, dürfen wir die ganze Ungleichung mal $c$ rechnen, ohne dass sich das ">"-Zeichen ändert:
[mm] $c^{2}+1 [/mm] > 2c$
Jetzt minus $2c$ gerechnet:
[mm] $c^{2}-2c+1 [/mm] > 0$
Hier sieht man schön, dass auf der linken Seite die 2. binomische Formel angewendet werden darf:
[mm] $(c-1)^{2} [/mm] > 0$
Jetzt sind wir fertig! Links steht ja eine Quadratzahl, und die ist immer [mm] $\ge [/mm] 0$. $0$ kann eine Quadratzahl nur sein, wenn die quadrierte Zahl selber $0$ ist. Was wäre das dann hier?
Dann müsste hier $c=1$ sein, womit wir ja das Quadrat hätten. Wenn wir wirklich ein Rechteck nehmen, das heisst $c>1$ nehmen, dann ist die Ungleichung erfüllt! 
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Ich denke, genau diese Rechnung hat FriedrichLaher vorgeschwebt. Nur hat er es leider unterlassen, das auch schülergerecht zu umschreiben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Paul,
oh Gott, jetzt sehe ich erst, dass die Frage einfach nur so hätte heißen müssen:
Wieso hat ein Quadrat ... ? bei gleichem Flächeninhalt einen größeren kleineren Umfang als alle anderen Vierecke Rechtecke ?"
Denn du schreibst ja:
> Jetzt wird behauptet:
>
> [mm]U_{R} > U_{Q}[/mm] wenn [mm]c > 0[/mm] ist.
Gut, ich werde dazu gleich noch eine Alternative anbieten, die zu dem Ansatz von DeusDeorum passt.
Liebe Grüße
Marcel
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etwas besser läßt sich das schon noch zeigen,
Das Quadrat ABCD hat den Umfang 4a
das Rechteck AEFG den Umfang 2(a+d) + 2(a-d) also ebenfalls 4a, den gleichen Umfang wie das Quadrat
aber
an Fläche fehlt ein Quadrat mit dem Flächeninhalt d², die grauen Flächen haben beide gleichen Innhalt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Lieber Friedrich,
ich verstehe nun leider auch nicht, worauf sich deine Antwort bezieht?
> etwas besser läßt sich das schon noch zeigen,
> Das Quadrat ABCD hat den Umfang 4a
> das Rechteck AEFG den Umfang 2(a+d) + 2(a-d) also
> ebenfalls 4a, den gleichen Umfang wie das Quadrat
Gut, das Viereck ABCD hat den gleichen Umfang wie das Quadrat ABCD. Aber die Vierecke von DeusDeorum sollten doch den gleichen Flächeninhalt haben?
Stehe ich jetzt total auf dem Schlauch?
Dank Pauls PN verstehe ich nun den Zweck:
Zitat(Paul):
> Friedrich
> hat dabei einfach noch das Problem umformuliert: er zeigt
> mit der Zeichnung, dass bei gleichen Umfang die
> Quadratfläche am grössten ist.
Meine weitere Überlegung:
D.h., wenn man die Fläche des Rechteckes so groß "bekommen" will, wie die des Quadrates, dann muss man die Seiten verlängern und damit vergrößert man den Umfang des Rechtecks.
Ich hoffe, ich verstehe es nun richtig!
Und jetzt habe ich das ganze Mal mit Logik probiert:
Aussage A (F sei der jeweilige Flächeninhalt):
[mm] $F_R=F_Q$
[/mm]
Aussage B (U der entsprechende Umfang):
[mm] $U_Q [/mm] < [mm] U_R$
[/mm]
Unter Rechteck verstehen wir hierbei ein Rechteck, das stets von einem Quadrat verschieden ist.
Behauptung:
[mm] $F_R=F_Q \Rightarrow U_Q [/mm] < [mm] U_R$.
[/mm]
Aussagenlogische Äquivalenz zu:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist:
[mm] $\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$, [/mm] wobei [mm] $\overline{A}$ [/mm] für "nicht A" steht, analog für $B$.
Wir hätten hier also zu zeigen:
[mm] $U_Q \ge U_R \Rightarrow F_Q \not= F_R$.
[/mm]
Friedrich Laher zeigt:
(I) [mm] $U_Q=U_R \Rightarrow F_Q [/mm] > [mm] F_R$, [/mm] also insbesondere:
[mm] $U_Q=U_R \Rightarrow F_Q \not= F_R$.
[/mm]
Weil Friedrich (I) gezeigt hat, ist auch schon gezeigt, dass:
[mm] $U_Q [/mm] > [mm] U_R \Rightarrow F_Q [/mm] > [mm] F_R$, [/mm] denn ein Quadrat mit größerem Umfang hat natürlich auch einen größeren Flächeninhalt. Also hat Friedrich Laher gezeigt:
[mm] $U_Q \ge U_R \Rightarrow F_Q [/mm] > [mm] F_R$ [/mm] und damit insbesondere:
[mm] $U_Q \ge U_R \Rightarrow F_Q \not= F_R$ [/mm] und damit die Behauptung.
Ähm, Sorry, vielleicht kann man sich das auch schneller überlegen, aber ich habe es nicht sofort gesehen... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mi 22.09.2004 | | Autor: | DeusDeorum |
Oh Gott .... tut mir echt leid ..... Ich habe meine Antwort gegeben, aber vergessen meine fragestellung zu ändern :-( ,... jetzt habt ihr euch all die mühe umsonst gemacht . Tut mir echt leid, aber es hätte heissen müssen : Wieso hat das Quadraht bei gleichem Flächeninhalt einen KLEINEREN Umfang als alle anderen RECHTECKE . Meine Freundin hatte mir die Frage wie sie ursprünglich hieß, so vorgelesen, aber ich habe dann nachher , nachdem ich wusste was sie wirklich meinte, vergessen , dies hier im forum zu ändern . Aber trotzdem ein großes Dankeschön an all diejenigen die sich die mühe gemacht haben , die aufgabe trotzdem zu lösen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo DeusDeorum,
jetzt weiß ich endlich, wie deine Frage richtig geheißen hätte:
"Wieso hat ein Quadrat bei gleichem Flächeninhalt einen kleineren Umfang als alle anderen Rechtecke ?"
Wir betrachten ein beliebiges Rechteck mit den variablen Seiten $x$ und $y$. Dieses Rechteck habe einen Flächeninhalt $A > 0$ bei festem $A$.
Folglich muss gelten:
$x*y=A$ bzw.
(I) [mm] $y=\frac{A}{x}$.
[/mm]
(Beachte: weil $A > 0$ nach Voraussetzung ist gilt auch $x,y > 0$. Denn Seitenlängen eines Rechteckes geben wir ja nicht in negativen Zahlen an.)
Wir wollen den Umfang minimieren, d.h. wir suchen den Tiefpunkt der Funktion:
(*) $U(x,y)=2x+2y$
Dank der Gleichung (I) können wir $U$ als Funktion einer Variablen schreiben:
(**) [mm] $U(x)=2x+2*\frac{A}{x}$, [/mm] daraus folgt:
(II) [mm] $U'(x)=2-2\frac{A}{x^2}$ [/mm] und
(III) [mm] $U''(x)=2+4\frac{A}{x^3}$.
[/mm]
Nun gilt mithilfe der Gleichung (II) (wir suchen ja ein Extremum, also setzen wir $U'(x)=0$):
[mm] $2-2\frac{A}{x^2}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x^2=A$, [/mm] und weil $A>0$ war (und weil die Seiten $x$ bzw. $y$ auch $>0$ sind):
(IV) [mm] $x=\wurzel{A}$. [/mm]
Aus(III) folgt:
[mm] $U''(\wurzel{A})= 2+4\frac{A}{(\wurzel{A})^3} [/mm] > 0$.
Weil also [m]U'(\wurzel{A})=0[/m] und [m]U''(\wurzel{A}) > 0[/m] gilt, ist [mm] $x=\wurzel{A}$ [/mm] eine Minimalstelle von $U(x)$.
Aus (I) folgt dann:
[mm] $y=\frac{A}{\wurzel{A}}=\wurzel{A}$, [/mm] also gilt bei dem Rechteck mit minimalem Umfang:
[mm] $x=y=\wurzel{A}$
[/mm]
Also ist das Rechteck mit minimalem Umfang das gewünschte Quadrat, wenn man alle Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt (hier $A$) untersucht.
PS: Wir haben jetzt gezeigt, dass [mm] $x=\wurzel{A}$ [/mm] eine lokale Minimalstelle ist. Man kann sich auch schnell überlegen, dass es eine globale Minimalstelle von $U$ (für $x>0$, weil ja [m]U: \IR^{+} \setminus\{0\} \rightarrow \IR^{+} \setminus \{0\}[/m]) ist. Wenn du interessiert bist, schreibe ich dir auch dazu noch etwas!
Liebe Grüße
Marcel
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Übrigens läßt sich die Frage nach dem flächengrößtem
Quadrat bei gegebenem Umfang schon beantworten/behandeln
sobald die Strahlensätze und insbesondere der Höhensatz
bekannt sind, also wenigsten eine Klassenstufe unterhalb der 12ten,
ohne "Analysis"
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alle blauen Rechtecke haben gleichen Umfang, nämlich 2*Kreisdurchmesser,
jedes der Rechtecke ist ( Höhensatz ) Flächengleich dem grünem Quadrat darüber,
und das flächengrößte ist eben jenes für das auch das grüne Quadrate das
größte ist.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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