Wieviele Duschen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mi 08.01.2025 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Für ein Festival werden 72 Duschen aufgestellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dusche nach dem 1. Tag noch einwandfrei funktioniert beträgt 94%.
Man möchte, dass nach dem 1. Tag mindestens 70 Duschen einwandfrei funktionieren.
Wieviel Duschen müsste man mindestens aufstellen, damit dieses Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10% nicht verfehlt wird? |
Moin Moin,
wir gehen davon aus, dass X: "Anzahl der funktionsfähigen Duschen", binomialverteilt ist mit p = 0,94 und n = 72.
Für die Aufgabe müsste das n neu bestimmt werden.
Meine Überlegungen:
[mm] P(X\le69) \le [/mm] 0,1
Wie würde ich das lösen?
1. Idee
Wenn [0; [mm] \mu -c*\sigma] [/mm] das 10%-KI Intervall ist, wäre [mm] [\mu -c*\sigma [/mm] +1; [mm] \mu +c*\sigma [/mm] +1] das 80% KI-Intervall =>
[mm] \phi(c) [/mm] = (1 +0,8) /2 = 0,9 => c = 1,28.
0,94n - [mm] 1,28*\wurzel{n*0,94*0,06} [/mm] = 69
n = 76,23 ?
Also müsste man mindestens 77 Duschen aufstellen.
Richtig?
2. Idee
[0;69] ist das 10%-KI mit [0; [mm] \mu +c*\sigma]
[/mm]
[mm] \phi(c) [/mm] = (1 +0,1) /2 = 0,55 => c = - 1,28.
[mm] \mu +c*\sigma [/mm] = 69
0,94n + [mm] (-1,28)*\wurzel{n*0,94*0,06 } [/mm] = 69
n = 76,23
Also müsste man mindestens 77 Duschen aufstellen.
Richtig?
Habt ihr noch andere Ideen?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Do 09.01.2025 | | Autor: | statler |
Du rechnest hier mit den [mm] $\sigma$-Bereichen [/mm] und erhältst deswegen immer nur Näherungslösungen. Darum ist auch die Bezeichnung Konfidenzintervall hier nicht ganz korrekt, sondern du arbeitest dich mit einer Näherungslösung zur korrekten Antwort vor. In diesem Fall hast du Glück gehabt, deine Antwort ist richtig. Aber das hättest du noch mit den exakten Werten der zugehörigen Binomialverteilung überprüfen müssen. Das heißt, die Fälle n = 77 und n = 76 jeweils für $k [mm] \le [/mm] 69$ und für $k [mm] \le [/mm] 70$ nachrechnen.
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