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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Do 21.06.2012 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für die Wilcoxon-Teststatistik $W_{m,n}=\sum\limits_{i=m+1}^{N=m+n}R_i$ gilt:
$P_{H_0}(W_{m,n}=k)=\frac{\Pi_{(m,n)}(k)}{\binom{m+n}{n}}=:p_{(m,n)}(k)$
mit $\Pi_{(m,n)}(k)=\Pi_{(m,n-1)}(k-m-n)+\Pi_{(m-1,n)}(k)$ (*)
Zeigen Sie dann, dass (*) äquivalent ist zu
$(m+n)p_{(m,n)}(k)=np_{(m,n-1)}(k-m-n)+mp_{(n-1,n)}(k)$. |
Moin, moin!
Also ich denke mal, dass mit $\Pi_{(m,n)}(k)$ gemeint ist: Anzahl der Kombinationen von m Variablen $X_1,\hdots,X_m$ und n Variablen $X_{m+1},\hdots,X_N$, so dass $W_{m,n}=k$.
Also im Grunde ist mir klar, dass da nichts Anderes steht als der Quotient aus den günstigen Möglichkeiten, die zur Rangsumme $k$ führen und allen Möglichkeiten, die n Stellen zu besetzen.
Aber was muss ich denn jetzt eigentlich beweisen?
\textbf{Edit: Zu der Äquivalenz...}
...ich habe sie so gezeigt:
Da definitionsgemäß
$\Pi_{(m,n)}(k)=\binom{n+m}{n}p_{(m,n)}(k)$,
$\Pi_{(m,n-1)}(k-m-n)}=\binom{n-1+m}{n-1}p_{(m,n-1)}(k-m-n)$ und
$\Pi_{(m-1,n)}(k)=\binom{n+m-1}{n}p_{(m-1,n)}(k)$
gilt:
(*)$\Leftrightarrow p_{(m,n)}(k)\binom{m+n}{n}=p_{(m,n-1)}(k-m-n)\binom{n-1+m}{n-1}+p_{(m-1,n)}(k)\binom{n+m-1}{n}$
$\Leftrightarrow p_{(m,n)}(k)=\frac{n}{m+n}p_{(m,n-1)}(k-m-n)+\frac{m}{m+n}p_{(m-1,n)}(k)=\frac{1}{m+n}(np_{(m,n-1)}(k-m-n)+mp_{(m-1,n)}(k))$
$\Leftrightarrow (m+n)p_{(m,n)}(k)=np_{(m,n-1)}(k-m-n)+mp_{(m-1,n)}(k)$
Das müsste so eigentlich korrekt sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Do 21.06.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
was soll überhaupt [mm] $R_i$ [/mm] sein?
> Aber was muss ich denn jetzt eigentlich beweisen?
Also laut Angabe wirklich nur die Äquivalenz.
> $ [mm] \Leftrightarrow p_{(m,n)}(k)\binom{m+n}{n}=p_{(m,n-1)}(k-m-n)\binom{n-1+m}{n-1}+p_{(m-1,n)}(k)\binom{n+m-1}{n} [/mm] $
Hier würde ich mehr ausarbeiten, weil's der einzig spannende Teil der Aufgabe ist. Setz einfach die Definitionen des Bin-koeffis ein und kürze.
> $ [mm] \Leftrightarrow p_{(m,n)}(k)=\frac{n}{m+n}p_{(m,n-1)}(k-m-n)+\frac{m}{m+n}p_{(m-1,n)}(k)=\frac{1}{m+n}(np_{(m,n-1)}(k-m-n)+mp_{(m-1,n)}(k)) [/mm] $
> Das müsste so eigentlich korrekt sein, oder?
Ja.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:08 Do 21.06.2012 | | Autor: | mikexx |
Die [mm] $R_i$ [/mm] sollen die Ränge der Zufallsvariablen [mm] $X_i$ [/mm] sein.
Ich muss nur die Äquivalenz zeigen?
Und wieso steht dann in der Aufgabe:
Zeigen Sie... und zeigen sie DANN die Äquivalenz?
Da muss doch wohl noch was vorher gezeigt werden. 
PS. Okay, ich schreibe noch ausführlicher hin, wie sich die Binomialkoeffizienten schön kürzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Do 21.06.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Die $ [mm] R_i [/mm] $ sollen die Ränge der Zufallsvariablen $ [mm] X_i [/mm] $ sein.
was ist das dann für ein Test?
> Und wieso steht dann in der Aufgabe:
Weil ich das "Zeigen Sie" ganz am Anfang völlig übersehen habe =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:24 Do 21.06.2012 | | Autor: | mikexx |
Es geht hier um die Teststatistik des Wilcoxon-Zweistichproben-Rangsummentests.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Do 21.06.2012 | | Autor: | mikexx |
mein problem ist, wie gesagt, dass ich beim ersten teil der aufgabe nicht weiß, was ich da eigentlich wie beweisen soll...
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:26 Fr 22.06.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Ist das vllt. so gemeint, dass ich begründen muss, wieso durch [mm] $\Pi_{(m,n)}(k)$ [/mm] alle günstigen Kombinationen beschrieben werden, die zu einer Rangsumme von k führen?
Ansonsten sehe ich da nichts, was man beweisen müsste, denn dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Teststatistik den Wert k annimmt aus dem genannten Quotienten besteht, ist ja nach Laplace irgendwie klar. |
Vielleicht missverstehe ich da aber auch nach wie vor etwas: Es ist mir eben unklar, was man da eigentlich beweisen/ zeigen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 24.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 23.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:52 Di 26.06.2012 | | Autor: | mikexx |
Kann mir denn niemand sagen, was ich beim ersten Teil der Aufgabe zeigen muss bzw. wie??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 28.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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