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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:06 Mi 18.01.2017 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Zwei bekannte Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] bilden den Winkel [mm] \alpha.
[/mm]
a) Gib die Gleichung zweier Geraden an, die den Winkel [mm] \alpha [/mm] bilden.
b) Gib die Gleichung einer Geraden und einer Ebene an, die den Winkel [mm] \alpha [/mm] bilden. |
Hallo zusammen,
a) ist klar.
Eine Gerade hat Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und die andere Gerade Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{b}.
[/mm]
b) Wie geht das ? Bei der Schnittwinkelformel bei Gerade/Ebene verwendet man ja den [mm] sin(\alpha), [/mm] das heißt es wäre hier ja falsch, bei der Gerade den Richtungsvektor [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und bei der Ebene den Normalenvektor [mm] \overrightarrow{b} [/mm] anzusetzen.
Vermutlich ist die Lösung einfach, aber ich sehe sie gerade nicht.
Danke für eure Antwort.
Viele Grüße
Rubi
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Wenn du [mm] \vec{a} [/mm] als Richtungsvektor der Geraden nimmst, bildet diese mit einer Ebene E den Winkel [mm] \alpha, [/mm] wenn nun [mm] \vec{b} [/mm] in der Ebene liegt, und zwar so, dass die Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] in die Ebene genau auf [mm] \vec{b} [/mm] fällt. Anders gesagt: Wenn man die Ebene so in Gedanken dreht, dass sie als waagerechter Boden eines Hauses aufgefasst werden kann, liegt [mm] \vec{a} [/mm] genau über [mm] \vec{b}. [/mm] In Gedanken schieben wir nun [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] mit den Füßen zusammen auf den Berührpunkt am Fußboden. Wenn wir jetzt noch einen anderen Vektor [mm] \vec{c} [/mm] als Richtungsvektor für den Fußboden/die Ebene finden, hätten wir die Ebenengleichung in Parameterform (als Stützvektor könnten wir den Nullvektor nehmen, ihn also auch gleich weglassen).
Als [mm] \vec{c} [/mm] können wir nun [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] wählen, denn der steht senkrecht auf [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] und sorgt dafür, dass [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{b} [/mm] projiziert wird.
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Hallo,
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> b) Wie geht das ? Bei der Schnittwinkelformel bei
> Gerade/Ebene verwendet man ja den [mm]sin(\alpha),[/mm] das heißt
> es wäre hier ja falsch, bei der Gerade den Richtungsvektor
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und bei der Ebene den Normalenvektor
> [mm]\overrightarrow{b}[/mm] anzusetzen.
>
Ja, aber die Idee mit dem Sinus ist doch nicht schlecht. Überlege dir: weshalb rechnet man im Fall Schnittwinkel Gerade - Ebene mit dem Sinus? Es ist schlicht und ergreifend wegen
[mm] sin(\alpha)=cos(90^{\circ}-\alpha)
[/mm]
Jeder Vektor, der mit dem Vektor [mm] \vec{a}[/mm] einen Winkel von [mm] 90^{\circ} [/mm] einschließt, käme somit als Normalenvektor infrage.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
ich glaube nicht, dass die gesuchte Lösung deinem Vorschlag entspricht. Genau so gut könnte man dann bei den beiden Geraden sagen: "Nimm doch einfach zwei Geraden, die sich unter [mm] \alpha [/mm] schneiden", oder "... deren Richtungsvektoren sich unter [mm] \alpha [/mm] schneiden."
Der Sinn der Aufgabe scheint mir darin zu liegen, dass [mm] \alpha [/mm] gar nicht bekannt ist, sondern nur die beiden Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] (beispielsweise deren Komponenten), und man mit ihrer Hilfe die beiden Geraden bzw. Gerade und Ebene konstruieren soll, also ohne Herumprobieren bei gegebenen Vektorkomponenten x, y und z solche Gebilde konkret angeben kann.
MfG
HJKweseleit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 So 22.01.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> ich glaube nicht, dass die gesuchte Lösung deinem
> Vorschlag entspricht...
das mag sein. Meine Antwort betrachtet sozusagen den Aufgabenteil b) isoliert für sich und die Idee kam schließlich nicht von mir sondern ich habe sie aus dem Themenstart entnommen und aufgegriffen.
Gruß, Diophant
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