Winkel zwischen 2 linear abhängigen Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 23.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der Folgenden Aufgabe:
Seien [mm] v,w \in \IR^n \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm]. Zeige:
[mm]\angle \left( v, w \right) \in \left\{0, \pi \right\} \gdw v \in \IR w\quad oder\quad w \in \IR v[/mm].
Die Rückrichtung [mm]"\Leftarrow"[/mm] bekomme ich noch hin, indem ich [mm]v[/mm] durch [mm]\lambda \cdot w[/mm] ersetze und dann geht es ganz einfach. Aber die Hinrichtung [mm]"\Rightarrow"[/mm] will einfach nicht funktionieren. Könnte mir da jemand weiter helfen?
Bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 So 23.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bernhard,
> ich habe eine Frage zu der Folgenden Aufgabe:
> Seien [mm]v,w \in \IR^n \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm]. Zeige:
> [mm]\angle \left( v, w \right) \in \left\{0, \pi \right\} \gdw v \in \IR w\quad oder\quad w \in \IR v[/mm].
Wie habt ihr denn die Winkel zwischen zwei Vektoren definiert?
So? [mm] $\cos \angle \left( v, w \right)=\bruch{v\*w}{|v|*|w|}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 So 23.05.2004 | | Autor: | Frosty |
> Wie habt ihr denn die Winkel zwischen zwei Vektoren
> definiert?
> So? [mm] $\cos \angle \left( v, w
> \right)=\bruch{v\*w}{|v|*|w|}$
[/mm]
Ja, genau so haben wir das in der Vorlesung gemacht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Frosty!
> ich habe eine Frage zu der Folgenden Aufgabe:
> Seien [mm]v,w \in \IR^n \setminus \left\{ 0 \right\}[/mm]. Zeige:
> [mm]\angle \left( v, w \right) \in \left\{0, \pi \right\} \gdw v \in \IR w\quad oder\quad w \in \IR v[/mm].
>
> Die Rückrichtung [mm]"\Leftarrow"[/mm] bekomme ich noch hin, indem
> ich [mm]v[/mm] durch [mm]\lambda \cdot w[/mm] ersetze und dann geht es ganz
> einfach.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Aber die Hinrichtung [mm]"\Rightarrow"[/mm] will einfach
> nicht funktionieren. Könnte mir da jemand weiter helfen?
Ja, klar. 
Aus
[mm] $\angle \left( v, w \right) \in \left\{0, \pi \right\}$
[/mm]
folgt:
[mm] $\frac{}{|v|\cdot |w|} [/mm] = [mm] \cos(0) [/mm] = 1$
oder
[mm] $\frac{}{|v|\cdot |w|} [/mm] = [mm] \cos(\pi) [/mm] = -1$,
also in jedem Fall:
$|<v,w>| = |v| [mm] \cdot [/mm] |w|$,
also Gleichheit in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Und, wann gilt in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung die Gleichheit?
Weißt du das?
Melde dich bitte wieder mit einem Vorschlag.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 So 23.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Genau bis zu diesem Punkt bin ich auch immer gekommen :)
Ich hatte zwar [mm] \pm = |v| \cdot |w| [/mm], aber das ist ja das gleiche wie [mm] | | = |v| \cdot |w| [/mm]. Mein Problem ist jetzt, dass ich in der (Cauchy-Schwarz-)Vorlesung nicht da war und nur die Mitschriften habe, weil ich in Bielefeld "Studieren ab 16" mache und also nebenbei noch mein Abitur machen muss (bei der Vorlesung war unser letzter Schultag und da kann man ja auch nicht fehlen...).
> Und, wann gilt in der Cauchy-Schwarz-Ungleichung die Gleichheit?
> Weißt du das?
Nicht so wirklich. Aber wenn ich mir versuche das vorzustellen, dann glaube ich, dass die Gleichheit nur gilt wenn der Winkel zwischen den Vektoren 0° oder 180° beträgt. Das ist aber witzlos, weil es schon in den Voraussetzungen gegeben ist...
Es gibt noch eine Folgerung aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die ich versucht habe einzubauen.
[mm]||v+w|| \le ||v|| + ||w||[/mm] Aber auch hier hatte ich keinen Erfolg. Ich weiß echt nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Frosty,
ich zeige jetzt:
Wenn Gleichheit in der Cauchy-Schwarz-Unlgeichung gilt, also
(*) $|<v,w>| = |v| [mm] \cdot [/mm] |w|$,
dann gibt es [mm] $\lambda, \, \mu \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $\lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w = 0$.
Zunächst einmal rechnen wir ein bisschen rum und nutzen dabei die Bilinearität des Skalarproduktes aus:
[mm]| \, |w|^2 v - w \, |^2[/mm]
[mm]=< |w|^2 v - w,|w|^2 v - w>[/mm]
[mm]= |w|^4 |v|^2 + ^2 |w|^2 - 2^2|w|^2[/mm]
[mm]\stackrel{(\*)}{=} |w|^4 |v|^2 + |v|^2|w|^4 - 2|v|^2|w|^4[/mm]
[mm]=0[/mm].
Wir haben also:
[mm] | \, |w|^2 v - w \, | = 0[/mm].
Daraus folgt (Eigenschaft der Norm):
[mm]|w|^2 v - w = 0[/mm].
Setzt man nun [mm] $\lambda=|w|^2$ [/mm] und [mm] $\mu [/mm] = -<v,w>$, dann folgt die Behauptung.
Alles klar?
Frag ruhig nach...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 23.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Danke schön. Habe verstanden wie du die Aufgabe gelöst hast. Trotzdem noch ein paar Fragen zu den Einzelheiten :)
> Hallo Frosty,
>
> ich zeige jetzt:
>
> Wenn Gleichheit in der Cauchy-Schwarz-Unlgeichung gilt,
> also
>
> (*) $|<v,w>| = |v| [mm] \cdot [/mm] |w|$,
>
> dann gibt es [mm] $\lambda, \, \mu \in \IR$ [/mm] mit
>
> [mm] $\lambda [/mm] v + [mm] \mu [/mm] w = 0$.
>
> Zunächst einmal rechnen wir ein bisschen rum und nutzen
> dabei die Bilinearität des Skalarproduktes aus:
>
> [mm]| \, |w|^2 v - w \, |^2[/mm]
Wie kommst du denn auf diesen Ansatz? Intuition? Und warum hast du die Betragzeichen gesetzt, hätten nicht auch Klammern gereicht?
> [mm]=< |w|^2 v - w,|w|^2 v - w>[/mm]
>
> [mm]= |w|^4 |v|^2 + ^2 |w|^2 - 2^2|w|^2[/mm]
>
>
> [mm]\stackrel{(\*)}{=} |w|^4 |v|^2 + |v|^2|w|^4 - 2|v|^2|w|^4[/mm]
>
>
> [mm]=0[/mm].
>
> Wir haben also:
>
> [mm]| \, |w|^2 v - w \, | = 0[/mm].
>
> Daraus folgt (Eigenschaft der Norm):
>
> [mm]|w|^2 v - w = 0[/mm].
>
> Setzt man nun [mm] $\lambda=|w|^2$ [/mm] und [mm] $\mu [/mm] = -<v,w>$, dann
> folgt die Behauptung.
>
Den Rest habe ich eigentlich verstanden. Nochmals vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 So 23.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Frosty!
> Danke schön. Habe verstanden wie du die Aufgabe gelöst
> hast. Trotzdem noch ein paar Fragen zu den Einzelheiten
> :)
Klar.
> > [mm]| \, |w|^2 v - w \, |^2[/mm]
> Wie kommst du denn auf
> diesen Ansatz? Intuition?
Nein, ich kenne den Beweis in- und auswändig.
> Und warum hast du die
> Betragzeichen gesetzt, hätten nicht auch Klammern
> gereicht?
Nein, denn dann hätte man ja Ausdrücke wie [mm] $v^2$, [/mm] und das ist nicht definiert (schließlich ist die skalare Multiplikation keine innere Verknüpfung, von daher sind Potenzen nicht definiert).
(Ja, ich weiß, das steht so (falsch) in allen Schulbücher.  )
Stattdessen ist nur [mm] $|v|^2 [/mm] = <v,v>$ definiert.
> Den Rest habe ich eigentlich verstanden. Nochmals vielen
> Dank
Das freut mich. Gern geschehen!
Liebe Grüße
Stefan
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