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Winkel zwischen Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:53 Sa 24.03.2007
Autor: Zwinkerlippe

Aufgabe
Hallo an den matheraum,
Die Skizze zeigt einen Kranarm, der sich um die senkrechte Achse h drehen kann. Wir legen ein Koordinatensystem fest, in dem eine Längeneinheit einem Meter entspricht und dessen z-Achse zur Drehachse h parallel verläuft. Die Punkte A(4; 2; 10), B(2; 2; 10) und C(3; 3; 8) bilden das Verankerungsdreieck des Kranarms, von dessen Spitze S das Kranseil senkrecht bis kurz über den Boden hängt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
c) Bestimmen sie den Winkel zwischen den beiden Seitenflächen ACS und BCS des Kranarms und den Winkel ACB! Begründen Sie warum diese beiden Winkel eine unterschiedliche Größe besitzen!

Es ist bekannt A(4; 2; 10), B(2; 2; 10), C(3; 3; 8) und S(3; 10; 14)

1.) Winkel zwischen den Ebenen:

Ebene ACS:
[mm] \overrightarrow{AC}=\vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{-1 \\ 8 \\ 4} [/mm]
[mm] E_A_C_S: \vektor{4 \\ 2 \\ 10}+r*\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}+s*\vektor{-1 \\ 8 \\ 4} [/mm]
Ebenengleichung: 20x+6y-7z=22
Normalenvektor: [mm] \vec{n_1}=\vektor{20 \\ 6 \\ -7} [/mm]

Ebene BCS:
[mm] \overrightarrow{BC}=\vektor{1 \\ 1 \\ -2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{1 \\ 8 \\ 4} [/mm]
[mm] E_B_C_S: \vektor{2 \\ 2 \\ 10}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ -2}+s*\vektor{1 \\ 8 \\ 4} [/mm]
Ebenengleichung: 20x-6y+7z=98
Normalenvektor: [mm] \vec{n_2}=\vektor{20 \\ -6 \\ 7} [/mm]

cos [mm] (E_A_C_S E_B_C_S)=\bruch{|\vec{n_1}*\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|*|\vec{n_2}|} [/mm]
cos [mm] (E_A_C_S E_B_C_S)=\bruch{404,59}{22,0227^{2}} [/mm]
der Winkel beträgt [mm] 33,47^{0} [/mm]


2.) Winkel ACB
[mm] \overrightarrow{CA}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CB}=\vektor{-1 \\ -1 \\ 2} [/mm]
cos (Winkel [mm] ACB)=\bruch{\overrightarrow{CA}*\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|*|\overrightarrow{CB}|} [/mm]
cos (Winkel [mm] ACB)=\bruch{-1+1+4}{\wurzel{6}*\wurzel{6}} [/mm]
der Winkel beträgt [mm] 48,19^{0} [/mm]

meine Fragen:
1.) Stimmen die Winkelberechnungen?
2.) Begründung der unterschiedlichen Größe?
Würde mich freuen, wenn Ihr die Aufgabe einmal anschauen würdet,

Danke Klaus

Würde mich freuen, wenn Ihr die Auf

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Winkel zwischen Ebenen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 So 25.03.2007
Autor: Loddar

Guten Morgen Klaus!


> 1.) Winkel zwischen den Ebenen:
>  
> Ebene ACS:
> [mm]\overrightarrow{AC}=\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AS}=\vektor{-1 \\ 8 \\ 4}[/mm]
> [mm]E_A_C_S: \vektor{4 \\ 2 \\ 10}+r*\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}+s*\vektor{-1 \\ 8 \\ 4}[/mm]
>  
> Ebenengleichung: 20x+6y-7z=22
> Normalenvektor: [mm]\vec{n_1}=\vektor{20 \\ 6 \\ -7}[/mm]

[ok]


  

> Ebene BCS:
> [mm]\overrightarrow{BC}=\vektor{1 \\ 1 \\ -2}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AS}=\vektor{1 \\ 8 \\ 4}[/mm]

[notok] Warum erhältst Du denn hier einen anderen Vektor für [mm] $\overrightarrow{AS}$ [/mm] als oben mit [mm] $\overrightarrow{AS} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{\red{-}1 \\ 8 \\ 4}$ [/mm] ?


> [mm]E_B_C_S: \vektor{2 \\ 2 \\ 10}+r*\vektor{1 \\ 1 \\ -2}+s*\vektor{1 \\ 8 \\ 4}[/mm]
>  
> Ebenengleichung: 20x-6y+7z=98
> Normalenvektor: [mm]\vec{n_2}=\vektor{20 \\ -6 \\ 7}[/mm]

Damit stimmt dieser Normalenvektor und der Winkel nicht.

  

> 2.) Winkel ACB
> [mm]\overrightarrow{CA}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}[/mm] und [mm]\overrightarrow{CB}=\vektor{-1 \\ -1 \\ 2}[/mm]
> cos (Winkel [mm]ACB)=\bruch{\overrightarrow{CA}*\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|*|\overrightarrow{CB}|}[/mm]
> cos (Winkel [mm]ACB)=\bruch{-1+1+4}{\wurzel{6}*\wurzel{6}}[/mm]
> der Winkel beträgt [mm]48,19^{0}[/mm]

[ok]

  

> meine Fragen:
> 2.) Begründung der unterschiedlichen Größe?

Meine Begründung: die Schnittgerade der beiden Ebenen [mm] $E_{ACS}$ [/mm] und [mm] $E_{BCS}$ [/mm] steht nicht senkrecht auf die Ebene [mm] $E_{ABC}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Winkel zwischen Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 So 25.03.2007
Autor: Zwinkerlippe

Hall und Danke Loddar

du hast mich auf den Vektor [mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{-1 \\ 8 \\ 4} [/mm] aufmerksam gemacht, das verstehe ich, zur Ebene BCS gehört aber der Vektor [mm] \overrightarrow{BS}=\vektor{1 \\ 8 \\ 4}, [/mm]
wo bei mir stand [mm] \overrightarrow{AS}=\vektor{1 \\ 8 \\ 4} [/mm] muß doch eigentlich [mm] \overrightarrow{BS}=\vektor{1 \\ 8 \\ 4} [/mm] stehen, somit sollte auch die Ebenengleichung, der Normalenvektor und der Winkel stimmen, eigentlich nur ein Schreibfehler von mir,
erfreut war ich natürlich, dass mein Rechenweg prinzipiell richtig ist

Klaus

Bezug
                        
Bezug
Winkel zwischen Ebenen: dennoch Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 So 25.03.2007
Autor: Loddar

Hallo Klaus!


[ok] Der Punkt geht an Dich. ;-)


Allerdings ist mir unklar, wie Du bei der Winkelberechnung [mm] $\cos (E_A_C_S E_B_C_S)=\bruch{404,59}{22,0227^{2}} [/mm] $ auf den Zähler des Bruches kommst.

Da erhalte ich:   [mm] $\left|\vektor{20\\6\\-7}*\vektor{20\\-6\\7}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ 20^2-6^2-7^2 \ \right| [/mm] \ = \ ... \ = \ 315$

Und damit auch einen anderen Winkel:  [mm] $\cos(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{315}{485}$ $\Rightarrow$ $\alpha [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 49.5°$


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Winkel zwischen Ebenen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 So 25.03.2007
Autor: Zwinkerlippe

Hallo Loddar,

im Zähler für den Winkel zwischwen den Ebenen steht:
[mm] |\vec{n_1}*\vec{n_1}|=|\vektor{20 \\ 6 \\ -7}*\vektor{20 \\ -6 \\ -7}|=|\vektor{400 \\ -36 \\-49}|=\wurzel{400*400+36*36+49*49}=\wurzel{163697}=404,59 [/mm]

habe ich jetzt eventuell ein mathematisches Gesetz nicht richtig verwendet?

Klaus

Bezug
                                        
Bezug
Winkel zwischen Ebenen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:45 So 25.03.2007
Autor: Zwinkerlippe

Aufgabe
Hallo matheraum,

meine letzte Mitteilung wollte ich eigentlich als Frage stellen, könnte sich die Mitteilung mal bitte jemand anschauen,
Danke Klaus

Hallo matheraum,

meine letzte Mitteilung wollte ich eigentlich als Frage stellen, könnte sich die Mitteilung mal bitte jemand anschauen,
Danke Klaus

Bezug
                                        
Bezug
Winkel zwischen Ebenen: Skalarprodukt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 So 25.03.2007
Autor: Loddar

Hallo Klaus!


Du musst ja erst das MBSkalarprodukt der beiden Vektoren berechnen. Das Ergebnis dieses MBSkalarproduktes ist bereits eine Zahl (= Skalar) und kein Vektor mehr.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Winkel zwischen Ebenen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 So 25.03.2007
Autor: Zwinkerlippe

Danke Loddar

Klaus

Bezug
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