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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:14 Sa 12.04.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Man hat ein Dreieck ABC mit der Seite AC=b, BC= a und AB wird aufgeteilt in AHC=q und HCB=p.
Wichtig ist noch, dass HC der Höhenfußpunkt auf AB der Nullpunkt ist also die Koordinaten (0/0) hat. |
A(-q/0) B(p/0) und C(h/0) und HC=(0/0)
Wie berechne ich hier die Winkelhalbierende?
Wie komme ich auf folgende Zeilen?
w\alpha= - [mm] \bruch{hx}{b}+\bruch{qy}{b}-\bruch{qh}{b}=-y
[/mm]
w\beta=
[mm] \bruch{hx}{a}+\bruch{py}{a}-{ph}{a}=-y
[/mm]
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Zur Lösung kann man den Satz gebrauchen, dass jede Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten teilt. Ist also zum Beispiel W der Punkt, in dem [mm] w\alpha [/mm] die Seite BC trifft, so gilt BW:WC = c:b . Damit kann man die Koordinaten von W ausdrücken und dann die Gerade [mm] w\alpha [/mm] durch eine Gleichung darstellen. Wohl ein bisschen mühsam, müsste aber möglich sein. Viel Erfolg.
Ach ja, Vorsicht: C hat die Koordinaten (0 / h) und nicht (h / 0) !!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Sa 12.04.2008 | | Autor: | TTaylor |
Ich verstehe jetzt den Satz, dass die Winkelhalbierenden gegenüberliegende Seiten im Verhältnis der anliegenden Seiten teilen.
Aber ich komme nicht auf
w/alpha= - [mm] \bruch{hx}{b}+\bruch {qy}{b}-\bruch{qh}{b}=-y
[/mm]
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Nennen wir also den Schnittpunkt von [mm] w\alpha [/mm] mit der Gegenseite W.
Nach meiner Rechnung kriegt der die Koordinaten xW=p*b/(b+c), yW=h*c/(b+c).
Die Gerade [mm] w\alpha [/mm] hat dann die Steigung m = (yW-yA)/(xW-xA) oder
m = ((h*c)/(b+c))/ (q+p*b/(b+c)). Das kann man vereinfachen zu
m=h *c/(q*b+p*b+q*c) oder (weil p+q=c ist) zu m = h/(b+q).
Die Gerade [mm] w\alpha [/mm] erhält dann die Gleichung y-yA=m*(x-xA).
So kommt man auf eine relativ einfache Gleichung, die man auch auf die Form bringen kann, die du vorgelegt hast. Mir ist nur ein wenig rätselhaft, weshalb die Gleichung nicht etwas einfacher geschrieben wurde...
Alles O.K? :)
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> Ich verstehe jetzt den Satz, dass die Winkelhalbierenden
> gegenüberliegende Seiten im Verhältnis der anliegenden
> Seiten teilen.
> Aber ich komme nicht auf
>
> w/alpha= - [mm]\bruch{hx}{b}+\bruch {qy}{b}-\bruch{qh}{b}=-y[/mm]
>
Hallo,
nun wäre es interessant zu wissen, auf welches Ergebnis Du auf welchem Wege kommst, da könnte man dann nämlich gleich sehen, was Du falsch machst. Vieleicht macht Du auch gar nichts falsch, denn wie mein Vorredner sagt, ist die Winkelhalbierende ja echt etwas kraus aufgeschrieben.
Ich würde das so angehen:
Einen Punkt der WH kennt man bereits, das ist der Punkt A mit dem Ortsvektor [mm] \overrightarrow{0A}.
[/mm]
Addierst man zu diesem den Einheitsvektor in Richtung [mm] \overrightarrow{A0} [/mm] und den Einheitsvektor in Richtung [mm] \overrightarrow{AC}, [/mm] so erhält man einen zweiten Punkt auf der Winkelhalbierenden.
Je nach Gusto kann man nun die Zweipunkteform der Geradengleichung verwenden, oder auch die Parameterfom aufstellen und diese dann in Koordinatenform bringen - falls die Koordinatenform überhaupt gefordert ist.
Wie gesagt, die Dir vorliegende Form ist, gelinde gesagt, etwas ungewöhnlich für eine Gerade, normalerweise gibt man sowas ja so an: y=mx + b.
Gruß v. Angela
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Danke Angela für den Tipp, einen Richtungsvektor für die Winkelhalbierende vektoriell (als Diagonalvektor in einem Rhombus) zu erzeugen. Das ist eleganter und in der Rechnung am Ende auch deutlich einfacher als mein Vorschlag.
Schönen Gruss! Al-Ch.
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