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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Mo 30.07.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Es sind die Halbgeraden gegeben:
[mm] g={z\in \IR^2|z=\vektor{1 \\ 5}+\lambda\vektor{1 \\ -1}}
[/mm]
[mm] h={z\in \IR^2|z=\vektor{1 \\ 5}+\lambda\vektor{2 \\ -14}}
[/mm]
[mm] \IR^+={x\in \IR| x\ge 0}
[/mm]
g und h schneiden sich unter dem Winkel <(g,h) in [mm] A=\vektor{1 \\ 5}
[/mm]
a) Bestimme die Punkte auf g und h deren Abstand zum Punkt A [mm] \wurzel{50} [/mm] beträgt. (Kontrollergebnis [mm] \vektor{2 \\ -2}, \vektor{6 \\ 0}
[/mm]
b) Bestimme die Winkelhalbierende des Winkels [mm] \alpha=<(g,h)
[/mm]
c) Bestimme unter Verwendung von b) die Winkelhalbierende von [mm] \beta=<(h,g) [/mm] |
a) wie kann man die Punkte noch berechnen, außer mit dem Abstand [mm] c=\wurzel{(x_1-y_1)^2+(y_1-y_2)^2}
[/mm]
Damit kriege ich die Punkte leider nicht raus weil x und y in der Gleichung stehen bleiben. Mir fehlt eine weitere Idee was zu berechnen.
b) Die Winkelhalbierende von [mm] \alpha [/mm] müsste doch wie folgt aussehen:
[mm] w={\vektor{1 \\ 5}+\lambda (\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ -1}+\bruch{1}{\wurzel{200}} \vektor{2 \\ -14})}
[/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ 5}+\lambda (\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}}+ \vektor{\bruch{2}{\wurzel{200}} \\ -\bruch{14}{\wurzel{200}}})
[/mm]
Wie kann ich das in der Klammer noch zusammenfassen? Das sieht etwas - wie sagt man - UNSCHÖN aus...
c) Die Winkelhalbierende zu [mm] \beta=<(h,g)
[/mm]
Das ist nun die Winkelhalbierende von dem überstumpfen winkel.
Meine Idee wäre hier:
[mm] w={\vektor{1 \\ 5}+\lambda (\bruch{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ -1}-\bruch{1}{\wurzel{200}} \vektor{2 \\ -14})}
[/mm]
Oder wie kann man die Winkelhalbierende in dem Fall berechnen?
LG
heinze
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Hallo,
zu a)
bleiben wir auf der Gerade g, du hast drei Gleichungen
du suchst einen/zwei Punkt [mm] P(x_1;x_2)
[/mm]
(1) [mm] \wurzel{(1-x_1)^2+(5-x_2)^2}=\wurzel{50}
[/mm]
(2) [mm] 1+\lambda=x_1 [/mm] folgt aus der Geradengleichung
(3) [mm] 5-\lambda=x_2 [/mm] folgt aus der Geradengleichung
setze (2) und (3) in (1) ein
[mm] \lambda^2+\lambda^2=50
[/mm]
[mm] \lambda_1=5
[/mm]
[mm] \lambda_2=-5
[/mm]
du bekommst also auf der Geraden g die Punkte A(6:0) und B(-4;10)
analog für Gerade h verfahren
du bekommst also auf der Geraden h die Punkte C(2:-2) und D(0;12)
zu b)
ich gebe dir mal die Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
du erkennst das gleichschenklige Dreieck PCA, der Mittelpunkt der Strecke [mm] \overline{CA} [/mm] ist M(4;-1), nun sollte die Winkelhalbierende nicht mehr schwer sein,
zu c)
wenn du b) gelöst hast, ist c) ein Klacks
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:18 Di 31.07.2012 | | Autor: | heinze |
Danke für die Erklärung!So ist es natürlich recht einfach mit der Abstandsberechnung!
Allerdings ist die zweite Winkelhalbierende die Winkelhalbierende des überstumpfen Winkels. Ich hatte erwähnt, dass es sich um Halbgeraden handelt, also Geraden mit Anfangspunkt A. Daher ist die Berechnung der anderen Winkelhalbierenden nicht mit dem Abstand der Punkte möglich und die Zeichnung trifft dann nicht ganz zu für die zweite Winkelhalbierende.
Wäre mein Lösungsvorschlag auch in Ordnung? Für den Fall dass eine Winkelhalbierende bestimmt werden soll ohne dass Punkte mit gleichem Abstand zum Schnittpunkt gegeben sind?
LG
heinze
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Hallo,
> Wäre mein Lösungsvorschlag auch in Ordnung? Für den Fall
> dass eine Winkelhalbierende bestimmt werden soll ohne dass
> Punkte mit gleichem Abstand zum Schnittpunkt gegeben sind?
dein Lösungsvorschlag ist schon in Ordnung. Kennst du den (wohl aus Berlin stammenden) Ausspruch: Nachtijall, ick hör dir trapsen? 
Das sollte man sich bei Matheaufgaben immer mal wieder sagen. Du hast hier die Winkelhalbierende sozusagen streng nach Vorschrift berechnet, nämlich mit normierten Einheitsvektoren. Weshalb muss man das machen? Richtig: weil die beiden Vektoren, die man addiert und/oder subtrahiert gleich lang sein müssen, damit die Summe/Differenz die beiden Winkelhalbierenden sind.
Nur, und das meinete Steffi21 mit seinem Tipp: du hast doch schon auf g und h jeweils einen Punkt, der jeweils vom Schnittpunkt gleich weit entfernt ist. Und du kennst damit die (ganzzahligen!) Vektoren vom Schnittpunkt zu diesen Punkten. Man kann also mit diesen beiden Vektoren genau gleich verfahren, wie mit den normierten Vektoren: denn die einzig wichtige Voraussetzung bringen sie mit: sie sind gleich lang.
Und der Aufgabenteil a) ist in diesem Fall die trapsende Nachtigall. 
Gruß, Diophant
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