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Hallo,
ich habe erstmal eine Frage zu den Winkelhalbierenden [mm] w_{Alpha}, w_{Beta}, w_{Gamma} [/mm] in einem Dreieck. Müssen sich die drei Winkelhalbierenden IMMER in einem Punkt schneiden? Oder kann es auch sein, dass sich nur zwei in einem Punkt schneiden und die dritte schneidet sich mit den anderen beiden an einem anderen Punkt?
Hoffe da kann mir schon mal jemand helfen.
Und dann noch zu dem Schwerpunkt eines Dreieckes: Der Schwerpunkt eines Dreieckes ist ja der Schnittpunkt von den drei Seitenhalbierenden. Und jetzt stellt sich für mich eigentlich die gleiche Frage wie oben. Gilt für die Seitenhalbierenden also auch IMMER das sie sich in genau einem Punkt treffen?
Und dann noch: Was ist denn der Unterschied zwischen dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden? Bzw. was ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden? Was sagt mir der Punkt und was kann man damit über das Dreieck aussagen?
Viele Fragen für den Anfang, ich weiß  Hoffe mal das ich sie auch ordentlich und verständlich gestellt hab.
Danke im Voraus!
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Mo 21.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Winkelhalbierende
http://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende
FRED
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Ah, Ok. Das hat schon mal geholfen. Also gibt es immer einen Schnittpunkt. Dann habe ich nämlich einen Fehler in meinen Formeln...Ich erkläre mal:
Ich möchte den Mittelpunkt von einem Dreieck bestimmen, also brauche ich dafür die Winkelhalbierenden. Die jeweiligen Winkelhalbierenden habe ich über deren Geradengleichung bestimmt:
Für das Dreieck habe ich drei Geraden und logischerweise dann auch drei Schnittpunkte. Die Schnittpunkte sind also mein [mm] A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2) [/mm] und [mm] C=(x_3,y_3). [/mm] Die Winkel [mm] \alpha,\beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] des Dreiecks sind mit bekannt und liegen immer ca. bei [mm] \alpha,\beta=45 [/mm] Grad und [mm] \gamma=90 [/mm] Grad.
Zum Beispiel:
[mm] A=(x_1,y_1). [/mm] Bei A ist auch der Winkel [mm] \alpha, [/mm] welcher mir bekannt ist.
Somit ergibt sich für die Winkelhalbierende:
[mm] wh_{\alpha}= tan(\bruch{\alpha}{2})*x [/mm] + [mm] (y_1-(tan(\bruch{\alpha}{2})*x_1))
[/mm]
Für [mm] B=(x_2,y_2) [/mm] ergibt sich dann: [mm] wh_{\beta}=tan(\bruch{\beta}{2})*x [/mm] + [mm] (y_2-(tan(\bruch{\beta}{2})*x_2))
[/mm]
Und für [mm] C=(x_3,y_3) [/mm] somit [mm] wh_{\gamma}=tan(\bruch{\gamma}{2})*x [/mm] + [mm] (y_3-(tan(\bruch{\gamma}{2})*x_3))
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher ob es [mm] \bruch{\gamma}{2} [/mm] sein muss oder einfach nur [mm] \gamma...?!?
[/mm]
So, und da stimmt dann wohl irgendwas nicht...Aber ich weiß wirklich nicht was. Bei mir schneiden sich [mm] wh_{\alpha} [/mm] und [mm] wh_{\beta} [/mm] in einem Punkt und [mm] wh_{\gamma} [/mm] geht an dem Punkt immer vorbei und schneidet sich woanders mit den beiden anderen Winkelhalbierenden. Woran liegt das???
Anmerkung: Ich programmiere das momentan in Matlab. Hatte auch schon mal an Rundungsfehler vom Programm gedacht, aber die Abweichung liegen teilweise schon im Zehntel-Bereich, deswegen denke ich, dass ich einen Fehler gemacht habe.
Hoffe mir kann jemand helfen und das ist nicht zu wirr Danke!
Lieber Gruß
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Hallo Ringo,
vorab:
> Anmerkung: Ich programmiere das momentan in Matlab. Hatte
> auch schon mal an Rundungsfehler vom Programm gedacht, aber
> die Abweichung liegen teilweise schon im Zehntel-Bereich,
> deswegen denke ich, dass ich einen Fehler gemacht habe.
Ja, bestimmt. Das Programm würde sich nicht verkaufen, wenn es schon bei so einfachen Berechnungen so große Fehler machen würde.
So, zur Detailuntersuchung. Eine Skizze wäre ja ganz hilfreich...
> Ah, Ok. Das hat schon mal geholfen. Also gibt es immer
> einen Schnittpunkt. Dann habe ich nämlich einen Fehler in
> meinen Formeln...Ich erkläre mal:
>
> Ich möchte den Mittelpunkt von einem Dreieck bestimmen,
> also brauche ich dafür die Winkelhalbierenden.
Was ist denn der Mittelpunkt eines Dreiecks? Es gibt einen Mittelpunkt des Inkreises (den suchst Du gerade), einen Mittelpunkt des Umkreises (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten), einen Schwerpunkt (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden), einen Höhenschnittpunkt und noch ein paar "besondere" Punkte, von denen z.B. zwei mit dem Namen Napoleons verbunden sind.
> Die
> jeweiligen Winkelhalbierenden habe ich über deren
> Geradengleichung bestimmt:
>
> Für das Dreieck habe ich drei Geraden
Das sind die Geraden, die die Seiten beinhalten, nehme ich an.
> und logischerweise
> dann auch drei Schnittpunkte.
Also das, was man sonst die Ecken des Dreiecks nennt?
> Die Schnittpunkte sind also
> mein [mm]A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)[/mm] und [mm]C=(x_3,y_3).[/mm]
Das soll wahrscheinlich heißen, das die Punkte im Prinzip beliebig irgendwo in der x,y-Ebene liegen können?
> Die Winkel
> [mm]\alpha,\beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] des Dreiecks sind mit bekannt und
> liegen immer ca. bei [mm]\alpha,\beta=45[/mm] Grad und [mm]\gamma=90[/mm]
> Grad.
>
> Zum Beispiel:
> [mm]A=(x_1,y_1).[/mm] Bei A ist auch der Winkel [mm]\alpha,[/mm] welcher mir
> bekannt ist.
> Somit ergibt sich für die Winkelhalbierende:
> [mm]wh_{\alpha}= tan(\bruch{\alpha}{2})*x[/mm] +
> [mm](y_1-(tan(\bruch{\alpha}{2})*x_1))[/mm]
Das widerspricht bereits der oben so allgemein angegebenen Lage des Dreiecks. Wenn man die Ecken wie üblich gegen den Uhrzeigersinn fortlaufend mit A,B,C bezeichnet und die jeweils gegenüberliegende Seite mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben, dann stimmt Deine Geradengleichung nur dann, wenn die Seite c parallel zur x-Achse liegt, der Punkt A an ihrem linken und B am rechten Ende, und C irgendwo oberhalb der Seite.
> Für [mm]B=(x_2,y_2)[/mm] ergibt sich dann:
> [mm]wh_{\beta}=tan(\bruch{\beta}{2})*x[/mm] +
> [mm](y_2-(tan(\bruch{\beta}{2})*x_2))[/mm]
Das geht nicht beides gleichzeitig. Diese Gleichung stimmt nur dann, wenn die Seite a parallel zur x-Achse liegt, der Punkt B an ihrem linken und C am rechten Ende, und A irgendwo oberhalb der Seite.
> Und für [mm]C=(x_3,y_3)[/mm] somit
> [mm]wh_{\gamma}=tan(\bruch{\gamma}{2})*x[/mm] +
> [mm](y_3-(tan(\bruch{\gamma}{2})*x_3))[/mm]
> Hier bin ich mir nicht sicher ob es [mm]\bruch{\gamma}{2}[/mm] sein
> muss oder einfach nur [mm]\gamma...?!?[/mm]
Na, wenn schon, dann auch [mm] \bruch{\gamma}{2}.
[/mm]
Aber wieder: diese Gleichung stimmt nur, wenn die Seite b parallel zur x-Achse liegt, der Punkt C an ihrem linken und A am rechten Ende, und B irgendwo oberhalb der Seite.
> So, und da stimmt dann wohl irgendwas nicht...Aber ich
> weiß wirklich nicht was. Bei mir schneiden sich
> [mm]wh_{\alpha}[/mm] und [mm]wh_{\beta}[/mm] in einem Punkt und [mm]wh_{\gamma}[/mm]
> geht an dem Punkt immer vorbei und schneidet sich woanders
> mit den beiden anderen Winkelhalbierenden. Woran liegt
> das???
Es liegt daran, dass bei einer allgemeinen Lage des Dreiecks keine Deiner Geradengleichungen eine Winkelhalbierende beschreibt.
Das einzige, was im Moment zu garantieren ist, ist dass die jeweils angegebene Gerade tatsächlich durch den richtigen Eckpunkt des Dreiecks läuft, aber die Richtung stimmt im allgemeinen nicht.
> Hoffe mir kann jemand helfen und das ist nicht zu wirr
Wie gesagt, mach Dir mal eine Skizze. Etwas schwieriger ist es schon, das numerisch zu fassen.
> Danke!
> Lieber Gruß
Viel Erfolg!
reverend
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Also es ist so, dass mein A links unten liegt, B rechts unten und C oben...
Stimmt denn dann die Winkelhalbierende [mm] wh_{\alpha}? [/mm] Denn mein c ist parallel zur x-Achse.
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Hallo nochmal,
ja, die stimmt dann. Und es ist [mm] y_1=y_2, [/mm] sowie [mm] x_2>x_1 [/mm] und [mm] y_3>y_1.
[/mm]
Die Winkelhalbierend von [mm] \beta [/mm] ist dann nicht so schwierig (Vorzeichen!), aber die von [mm] \gamma [/mm] bleibt ein Problem - wenn Du sie denn überhaupt brauchst: für den Schnittpunkt reichen ja zwei Winkelhalbierende
Viel Erfolg weiterhin,
rev
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Ja genau. [mm] wh_{\beta} [/mm] ist ja "gleich" mit [mm] wh_{\alpha}. [/mm] Bis auf den Winkel- und Vorzeichenunterschied, wie du schon meintest. Also müsste die Gleichung [mm] wh_{\beta} [/mm] doch fast stimmen, ausser das der Winkel [mm] \beta [/mm] negativ sein muss, also: [mm] \bruch{-\beta}{2} [/mm] ?!?
Die dritte bräuchte ich allerdings schon. Und die ist auch die ganze Zeit schon das größere Problem...Kannst du mir nicht einen klitze kleinen Tipp geben, wie ich die vernünftig hin bekomme???? :-D
MfG
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Hallo nochmal,
falls Du Dich nicht gerade mit geometrischen Konstruktionen und dann auch mit Additionstheoremen umfänglich befassen willst, hilft Dir der Tipp von Al-Chwarizmi (unten) am schnellsten weiter. So bestimmst Du leicht den Schnittpunkt mit der Seite c, und wenn Du zwei Punkte hast, dann ist die Gerade durch beide ja leicht zu finden.
lg
rev
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Hallo ringostar,
damit du dich bei der Darstellung der Winkelhalbierenden
etwas weniger mit Trigonometrie herumschlagen musst,
wäre eventuell folgender Satz hilfreich:
Jede Innenwinkelhalbierende eines Dreiecks teilt die
gegenüberliegende Dreiecksseite im Verhältnis der
anderen (anliegenden) Seiten.
Beispiel: Im Dreieck ABC (Standardbezeichnungen)
teile die Winkelhalbierende [mm] w_{\beta} [/mm] die Seite AC im Punkt V.
Dann gilt [mm] \overline{AV}:\overline{VC}=\overline{AB}:\overline{BC}=c:a [/mm] . Daraus kann man schließen,
dass [mm] \overrightarrow{AV}=\frac{c}{c+a}*\overrightarrow{AC} [/mm] .
LG Al-Chw.
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Vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen. Denke ich hab es jetzt richtig. Also ich hab nun für die Winkelhalbierende bei [mm] \alpha: \overline{BV}= \bruch{c}{c+b}*\overline{BC} [/mm]
und für die Winkelhalbierende bei [mm] \gamma [/mm] (wobei [mm] \overline{AV2} [/mm] zwischen A und B liegt): [mm] \overline{AV2}= \bruch{a}{a+b} [/mm] * [mm] \overline{AB}.
[/mm]
Auf meiner Zeichnung sieht es jedenfalls gut aus und sie schneiden sich alle drei in genau einem Punkt.
Danke Danke!
MfG
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