Winkelhalbierende im Raum < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Miklosch |
Ich habe 3 Punkte im Raum, die ein Dreieck ergeben. Jetzt such ich den Innenkreismittelpunkt des Dreiecks. Dafür brauch ich allerdings die Winkelhalbierenden im Raum. Ein ganz umständliche Methode wäre folgende:
Man nimmt einen Punkt (A) und die beiden anliegenden Seiten des Dreiecks([mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{AC}[/mm]). Diese nimmt man nun als Stützvektoren der Ebene E. Danach stellt man eine zweite Ebene F auf, auf der alle Punkte sind, die von beiden Seiten ([mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{AC}[/mm]) den gleichen Abstand haben. Nun berechnet man die Schnittgerade von E und F.
Dann hat man allerdings erst eine Winkelhalbierende. Bis man so erstmal den Innenkreismittelpunkt hat, dauert es lang und je länger der Weg, desto mehr kann man sich verrechnen. Kann mir also jemand einen kürzeren Weg sagen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:20 Fr 22.10.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Das mit der Ebene zwischen [mm] $\vec{AB} [/mm] $ und [mm] $\vec{AC}$ [/mm] ist schonmal sehr richtig. Ich würde aber über den Winkel herangehen, wenn das Ding, was ich suche schon Winkelhalbierende heißt.
Den Winkel zwischen [mm] $\vec{AB} [/mm] $ und [mm] $\vec{AC} [/mm] $ kannst du doch mit der folgenden Formel ausrechnen:
[mm] \cos \alpha = \frac{\left| \vec{AB} * \vec{AC} \right|}{\left| \vec{AB} \right| * \left| \vec{AC} \right|}[/mm]
Dann noch den Kosinus zurückrechnen und du hast den Winkel.
Dann machst du das gleiche für einen Vektor [mm] $\vec{AD}$, [/mm] den du nicht kennst, und halbierst auf der linken Seite deinen ausgerechneten Winkel und berechnest da den Kosinus:
[mm] \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\left| \vec{AB} * \vec{AD} \right|}{\left| \vec{AB} \right| * \left| \vec{AD} \right|}[/mm]
Das sollte sich nach [mm] $\vec{AD}$ [/mm] umstellen lassen, den du in die Ebene legst:
[mm] [mm] \vec{AD} [/mm] = [mm] \vec{OA} [/mm] + [mm] s*\vec{AB} [/mm] + [mm] t*\vec{AC}[/mm] [mm]
Dann sollte sich das lösen lassen.
Probiers einfach mal.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:48 Fr 26.11.2004 | | Autor: | AlexBS |
Hallo,
vielleicht bin ja nur zu dumm geboren oder ist schon zu spät. Aber ich habe hier genau die Aufgabe und kann die vorgeschlagene Lösung nicht nachvollziehen.
cos( [mm] \alpha/2) [/mm] = | [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] * [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] | / | [mm] \overrightarrow{AB}| [/mm] * | [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] |
Ist nicht zu verwerten. Man kann das nicht nach AD auflösen. Durch die Norm taucht unter der Wurzel auf [mm] \wurzel{ad[1]^2 + ad[2]^2 + ...}. [/mm] Da ist nix mehr zu wollen. Sonst hätte ich gedacht zu sammen mit der Bedingung, dass die Winkelhalbierende einfach 4x4 LGS. Aber da ist leider nix mehr linear.
Oder was übersehe ich da? Wäre nett, wenn mir da jemand auf die Sprünge hilft.
Das soll übrigens Schulmathe sein. Vielleicht hat das Uni LA doch zu sher verblödet.
Vielen Dank
Alexander
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 Fr 26.11.2004 | | Autor: | AlexBS |
Bin mitterlweile soweit das wirklich falsch und so nicht geht. Man muss wohl drüber gehen das die Winkelhabierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anderen Seiten schneidet.
Right?
Dafür bin ich jetzt aber auch schon zu müde.
viele Grüße
Alexander
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Ich würde sagen, man nimmt hier lieber den einfacheren Weg
Also: wenn man 2 Vektoren hat, die zusammen einen Winkel bilden, und will die Winkelhalbierende, dann kann man sich folgendes überlegen:
man will ja einen Vektor, der "zwischen" den beiden anderen durchgeht. Aber wenn man die beiden anderen einfach addiert, dann erhält man i.a. nicht die Winkelhalbierende, da dies ja abhängig von der Länge der beiden anderen Vektoren ist.
Und hier kommt der Trick: man normiert einfach die beiden anderen Vektoren! Wenn sie dieselbe Länge haben, und ich sie addiere, dann erhalte ich einen Vektor, der "genau in der Mitte zwischen ihnen durchgeht", oder einfacher: der die gewünschte Winkelhalbierende bildet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Fr 26.11.2004 | | Autor: | AlexBS |
Ja, danke das hört sich gut. Geht glaube ich in dieselbe Richtung wie sich die Seitenverhältnisse der anderen beiden Seiten anzugucken.
Hatte mich wirklich in der anderen vorgeschlagenen Lösung festgebissen und Stundenlang versucht, das rauszubekommen. Aber ich der Meinung das wie dort vorgeschlagen nicht geht. Auch wenn es mich studen gekostet das rauszukrigen, weil ich die Teile der Rechnung dir wirklich nicht gehen zunächst immer vergessen habe überhaupt mit auszurechnen und kam halt Schwachsinn raus.
Also Vielen Dank
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