Winkeltreue? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Fr 30.12.2005 | | Autor: | lck |
| Aufgabe | | Bestimmen sie den Drehwinkel von f(z)=z² und z= 1+i.Wählen sie eine Gerade durch z=1 und bestimmen sie ihren Winkel zur x-Achse.Bilden sie die Gerade und de x-Achse mit f ab und zeigen sie explizit, das sich die Bildkurven unter dem gleichen Winkel schneiden! |
Hallo und ein großes Hilfe!
Ich diesmal wirklich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll!
Soll ich eine Gerade duch 2i und 1 basteln? Wo soll ich denn den Winkel messen?Wozu brauch ich diese Gerade im späteren Verlauf der Aufgabe noch? Ich glaub ich brauch dringend eure Hilfe!
Gruß LCK
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Bild zeigt zwei Geraden durch [mm]z = 1[/mm], darunter die [mm]x[/mm]-Achse (blau). Als zweite Gerade habe ich die Gerade durch [mm]1[/mm] und [mm]2 \operatorname{i}[/mm] gewählt (die Aufgabenstellung läßt dir da ja Freiheiten). Die roten Kurven sind die Bildkurven dieser Geraden unter der Abbildung [mm]z \mapsto z^2[/mm]. Das Bild zeigt schön, wie sich die roten Kurven unter demselben Winkel schneiden wie die blauen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 30.12.2005 | | Autor: | lck |
hi!
Anschaulich hab ich mir das schon so gedacht, aber wie kann ich mathematisch zeigen, das die winkel genau gleich groß sind?Und was ich auch immer noch nicht so ganz verstanden habe, wie ich den Drehwinkel von f(z) in z=1 und z=1+i bestimmen soll?
Wär das dann bei z=1 ein winkel von 0 und bei 1+i ein winkel von 45°? Mir ist nicht ganz klar was ich zu tun habe!
Gruß
Lck
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Die von mir gewählte Gerade hat die Steigung -2. Eine Parameterdarstellung ist
[mm]z = 1 + t \cdot (2 \operatorname{i} - 1) = 1 - t + \operatorname{i} \cdot \, 2t \, , \ \ t \in \mathbb{R}[/mm]
Jetzt wird hiervon das Bild vermöge [mm]z \mapsto w = z^2[/mm] bestimmt:
[mm]w = (1 - t)^2 - 4t^2 + \operatorname{i} \cdot \, 4t \, (1 - t)[/mm]
Als Tangentialvektor für den Kurvenpunkt zum Parameterwert [mm]t[/mm] erhält man:
[mm]\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} = -2 \, (1 + 3t) + \operatorname{i} \cdot \, 4 \, (1 - 2t)[/mm]
Der Schnittpunkt der Ausgangskurven (blau) ist [mm]z=1[/mm]. Für die schräge Gerade gehört dazu der Parameterwert [mm]t=0[/mm]. Für diesen Parameterwert erhält man daher auch den Schnittpunkt der roten Kurven: [mm]z = 1 \mapsto w = z^2 = 1[/mm]. Und der Tangentialvektor der gekrümmten Kurve ist dort:
[mm]\left. \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}t} \right|_{t=0} = -2 + 4 \operatorname{i}[/mm]
Auch dieser Vektor hat die Steigung [mm]\frac{4}{-2} = -2[/mm]. (Setze ihn im Bild bei [mm]z=1[/mm] an.)
Daher schneiden sich die Bildkurven unter demselben Winkel [mm]\varphi[/mm] wie die Originalkurven:
[mm]\varphi = \arctan{(-2)} \approx -63{,}4^{\circ}[/mm]
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