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Aufgabe 1 (Wirkung)
Es sei D4 die Symmetriegruppe des Quadrats und M = {{i, j} : i ~= j, i, j sind Elemente von {1, . . . 4}} die Menge der ungeordneten Eckenpaare. Dann haben wir die folgende
Operation
D4 ×M ->M, (g, {i, j})->{g(i), g(j)}.
1. Bestimme die Elemente von D4 aufgefasst als Untergruppe der S4
2. Bestimme die Bahnen Bi von D4 auf M.
3. Bestimme weiter den Stabilisator (D4)ai für ein ai aus Bi.
4. Bestimme den Kern der Homomorphismen
phi:D4->SBi.
Meine Frage:
Was sind die Element von dieser Symmetriegurppe des Quadrats? Und warum ist die Menge der ungeordneten Eckenpaare von der oberen aufgestellten Form?
Musterlösung:
1. D4 = {(), (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 3), (2, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 2)(3, 4)}.
2. B1 = D4{1, 2} = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 1}}, B2 = D4{1, 3} = {{1, 3}, {2, 4}}.
3. D4{1,2} = <(2,1)(3,4)>, D4{1,3} = <(1, 3), (2, 4)>,
4. phi1 : D4 -> S|B1| hat ker(phi 1)= 1,phi 2-> D4-> S|B1| hat ker(phi 2) = D4{1,3}.
Wer kann mir helfen? Danke im voraus.
Wer eine klarere Ansicht über die Aufgabestellung bzw.die Musterlösung haben mögen die folgende Webseite besuchen:
Aufgabestellung:
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/Math-Net/Lehrveranstaltungen/Lehrmaterial/WS2004-2005/Algebra/uebung/u03.pdf
Musterlösung :
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/Math-Net/Lehrveranstaltungen/Lehrmaterial/WS2004-2005/Algebra/uebung/l03.pdf
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Grüße!
Also zunächst zur Eckenmenge - ich nehme an die Notation sollte so aussehen:
$M = [mm] \{ \{i,j\} : i \not= j \; ; i,j \in \{ 1, \ldots, 4 \} \}$
[/mm]
Diese Menge enthält wie schon gesagt Paare von Ecken. Die Reihenfolge ist uns dabei egal.
Was ist nun die Symmetriegruppe des Quadrats, die [mm] $D_4$? [/mm] Nun, das ist die Menge aller affinen, bijektiven Abbildungen der Ebene, die das Quadrat auf sich abbilden. Es ist klar, dass diese Abbildungen eine Gruppe bilden - bijektive Abbildungen haben Umkehrfunktionen (die wieder affin sind) und wenn eine Abbildung $f$ das Quadrat fest läßt, dann tut das ihre Umkehrabbildung auch. Und abgeschlossen unter Komposition ist diese Menge auch.
Wieviele Elemente hat diese Gruppe? Antwort: 8.
Denn es gibt 8 Arten, das Quadrat in sich zu überführen: zunächst mal 4 Drehungen (um 0°, 90°, 180° und 270°) und 4 Spiegelungen (die Achsen verlaufen dabei entweder durch zwei gegenüberliegende Ecken oder durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Seiten).
Bei der Wirkung dieser Gruppe werden natürlich die Ecken auch permutiert - bei einer Drehung um 90° zum Beispiel wird jede Ecke um eins weitergeschoben.
Nun hat aber die gesamte Permutationsgruppe 24 Elemente, die [mm] $D_4$ [/mm] aber nur 8 - also ist letztere eine echte Untergruppe. Und natürlich kann man sich Permutationen vorstellen, die keine Symmetrien sind - keine Symmetrie des Quadrats kann zwei benachbarte Ecken tauschen und die anderen beiden fest lassen z.B.
Ist Dir klar, was der Rest der Vokabeln bedeutet? Was eine Bahn ist, was ein Stabilisator und wie der angegebene Homomorphismus definiert ist?
Falls nicht, frag nochmal nach - Musterlösung liegt ja außerdem vor. 
Lars
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Hallo Lars,
danke schön für deinen Hinweis,die Bahnen und Stabilisator sind mir schon klar ,aber warum ist der Kern(phi1)=1?
Grüße ,Philipp
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