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| Aufgabe | Gegeben ist die Produktionsfunktion: x(r)=39r+18r²-r³ 0<r<15
Ermitteln sie die Werte [mm] r_{w},r_{D}^{*}, r^{*}
[/mm]
[mm] r_{w}: [/mm] an der Stelle [mm] r_{w} [/mm] hat x( [mm] r_{w}) [/mm] die größte Steigung
[mm] r_{D}^{*} [/mm] an der Stelle [mm] r_{D}^{*} [/mm] hat die Durchschnittsfunktion [mm] \bruch{x(r)}{r} [/mm] den größten Wert.
[mm] r^{*}: [/mm] an der Stelle [mm] r^{*} [/mm] hat x(r) ein Maximum.
Berechnen sie die zugehörigen Werte [mm] x(r_{w}),x(r_{D}^{*}),x(r^{*}) [/mm] und skizzieren sie die Produktionsfunktion |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
für [mm] r_{w} [/mm] habe ich die 1. Ableitung gebildet, dann die Nullstellen von x(r) berechnet und dann in meine 1. Ableitung eingesetzt. Ist das richtig? Gibt es eine negative Steigung?
für [mm] r_{D}^{*} [/mm] habe ich mein Maximum berechnet. Also, hier die Produktionsfkt. eingesetzt [mm] \bruch{x(r)}{r}, [/mm] dann kürzt sich ein r raus und dann 1. Ableitung gebildet und Extrema berechnet. Habe ein Maximum an der Stelle r=9 als Ergebnis.
für [mm] r^{*} [/mm] habe ich die Extrema berechnet wie bei einer normalen Kurvendiskussion. Habe das Maximum an der Stelle r=13.
Habe ich die Aufgabenstellung so richtig interpretiert und sind meine Lösungen korrekt oder bin ich voll auf dem Holzweg?
Vielen dank für eure Bemühungen
Gruß
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> Gegeben ist die Produktionsfunktion: x(r)=39r+18r²-r³
> 0<r<15
> Ermitteln sie die Werte [mm]r_{w},r_{D}^{*}, r^{*}[/mm]
>
> [mm]r_{w}:[/mm] an der Stelle [mm]r_{w}[/mm] hat x( [mm]r_{w})[/mm] die größte
> Steigung
> für [mm]r_{w}[/mm] habe ich die 1. Ableitung gebildet, dann die
> Nullstellen von x(r) berechnet und dann in meine 1.
> Ableitung eingesetzt. Ist das richtig? Gibt es eine
> negative Steigung?
Hallo,
mit [mm] r_w [/mm] suchst Du also das Maximum der Steigung. Die Stelle, an welcher die Steigung am größten ist.
Die Funktion, die Dir die Steigung von x(r) im Punkt r liefert, ist ja x'(r), die 1.Ableitung von x.
Von daher ist es schonmal gut, daß Du diese bestimmt hast.
Wir bauen jetzt mal eine Brücke für Dich. Wir taufen die erste Ableitung x'(r) um in f(r).
Du suchst doch nun die Stelle, an welcher f(r) am größten ist, das Maximum von f(r). Was mußt Du nun also tun?
Eine negative Steigung gibt es: ein Gefälle. Da, wo's im Graphen abwärts geht.
> [mm]r_{D}^{*}[/mm] an der Stelle [mm]r_{D}^{*}[/mm] hat die
> Durchschnittsfunktion [mm]\bruch{x(r)}{r}[/mm] den größten Wert.
>
> für [mm]r_{D}^{*}[/mm] habe ich mein Maximum berechnet. Also, hier
> die Produktionsfkt. eingesetzt [mm]\bruch{x(r)}{r},[/mm] dann kürzt
> sich ein r raus und dann 1. Ableitung gebildet und Extrema
> berechnet. Habe ein Maximum an der Stelle r=9 als
> Ergebnis.
>
Das ist richtig.
> [mm]r^{*}:[/mm] an der Stelle [mm]r^{*}[/mm] hat x(r) ein Maximum.
>
> für [mm]r^{*}[/mm] habe ich die Extrema berechnet wie bei einer
> normalen Kurvendiskussion. Habe das Maximum an der Stelle
> r=13.
Stimmt.
Gruß v. Angela
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Wir bauen jetzt mal eine Brücke für Dich. Wir taufen die erste Ableitung x'(r) um in f(r).
Du suchst doch nun die Stelle, an welcher f(r) am größten ist, das Maximum von f(r). Was mußt Du nun also tun?
Die Extremwerte von f(r) bestimmen. Davon also wieder f'(r) bilden und meine Extrema bestimmen, das wäre dann r=6.
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>> Du suchst doch nun die Stelle, an welcher f(r) am größten
>> ist, das Maximum von f(r). Was mußt Du nun also tun?
>
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> Die Extremwerte von f(r) bestimmen. Davon also wieder f'(r)
> bilden und meine Extrema bestimmen, das wäre dann r=6.
Ganz genau. Sicherheitshalber könntest Du noch testen, ob es wirklich ein Max. ist. (Es ist.)
Wenn Du nun den Graphen von x(r) aufzeichnest, weißt Du, daß Du an der Stelle r=6 die größte Steigung hast. Vorher ist sie kleiner und nachher auch. Es ist ein Wendepunkt.
Gruß v. Angela
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