Wmaß zu Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 Di 30.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Zu welchem Wahrscheinlichkeitsmaß gehört die Verteilungsfunktion F mit
[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<2 \\ 1, & \mbox{für } x>10 \\ \bruch{1}{992}x^3 - \bruch{1}{124}, & \mbox{für } 2 \le x \le 10 \end{cases} ?[/mm] |
Moin moin,
bei dieser Fragestellung bin ich glatt mal überfragt. Wie nähere ich mich dieser Fragestellung an?
Sollte ich hier ein "bekanntes" Wahrscheinlichkeitsmaß (oder zugehöriges Zufallsexperiment) anhand der Zahlen bestimmen oder hieraus rechnerisch ein (stetiges) Wahrscheinlichkeitsmaß bestimmen?
Aber wie näher ich mich hier? Klar scheint mir, dass für jedes y mit [mm]2 \le y \le 10[/mm] gilt:
w(y) = F(y) - [mm] \integral_{2}^{y}{F(x) dx}
[/mm]
Aber weiter? Was könnte der Aufgabensteller von mir hören wollen?
Andersherum wäre es ja kein Thema (Verteilungsfunktion zu stetigem Wahrscheinlichkeitsmaß bestimmen).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Di 30.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Zu welchem Wahrscheinlichkeitsmaß gehört die
> Verteilungsfunktion F mit
> [mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<2 \\ 1, & \mbox{für } x>10 \\ \bruch{1}{992}x^3 - \bruch{1}{124}, & \mbox{für } 2 \le x \le 10 \end{cases} ?[/mm]
>
> Moin moin,
>
> bei dieser Fragestellung bin ich glatt mal überfragt. Wie
> nähere ich mich dieser Fragestellung an?
> Sollte ich hier ein "bekanntes" Wahrscheinlichkeitsmaß
> (oder zugehöriges Zufallsexperiment) anhand der Zahlen
> bestimmen oder hieraus rechnerisch ein (stetiges)
> Wahrscheinlichkeitsmaß bestimmen?
>
> Aber wie näher ich mich hier? Klar scheint mir, dass für
> jedes y mit [mm]2 \le y \le 10[/mm] gilt:
>
> w(y) = F(y) - [mm]\integral_{2}^{y}{F(x) dx}=1[/mm]
>
> Aber weiter? Was könnte der Aufgabensteller von mir hören
> wollen?
>
> Andersherum wäre es ja kein Thema (Verteilungsfunktion zu
> stetigem Wahrscheinlichkeitsmaß bestimmen).
Du könntest das Maß angeben, indem Du seine Werte auf einem hinreichend großen Mengensystem angibts, z.B. die Mengen [mm][s,t], t>s[/mm], also [mm]P([s,t])=F_X(t)-F_X(s)=1_{[2,10]}(t) (\frac{t^3}{992}-\frac{1}{124})+1_{(10,\infty)}(t)-1_{[2,10]}(s) (\frac{s^3}{992}-\frac{1}{124})-1_{(10,\infty)}(s)[/mm]
[mm]=\frac{1}{992}(1_{[2,10]}(t) t^3-1_{[2,10]}(s)s^3)-\frac{1}{124}(1_{[2,10]}(t)-1_{[2,10]}(s))+(1_{(10,\infty)}(t)-1_{(10,\infty)}(s))[/mm]
[mm]=1_{(-\infty,2)}(s)1_{[2,10]}(t)\frac{t^3-8}{992}+1_{[2,10]}(t)1_{[2,10]}(s)\frac{t^3-s^3}{992}+1_{(10,\infty)}(t)1_{[2,10]}(s)\frac{1116-s^3}{992}[/mm]
[mm]=\frac{1}{992}(1_{[2,10]}(t)1_{(-\infty,10]}(s)t^3-1_{[2,10]}(s)1_{(2,\infty)}(t)s^3+1116*1_{(10,\infty)}(t)1_{[2,10]}(s)-8*1_{(-\infty,2)}(s)1_{[2,10]}(t))[/mm]
[mm]=\frac{1}{992}\vektor{1_{[2,10]}(t)[1_{(-\infty,10]}(s)t^3-8*1_{(-\infty,2)}(s)]-1_{[2,10]}(s)[1_{(2,\infty)}(t)s^3-1116*1_{(10,\infty)}(t)]}[/mm]
Oder wenn der Autor die Dichte sehen will:
Dann gibts Du das W-Maß noch als Dichte gegen das Lebesgue-Maß an. Das ist jas möglich da, dein [mm]F_X[/mm] absolut stetig ist. In [mm]x=0[/mm] geht es glatt in die Nullfunktion über und bei [mm]x=10[/mm] liegt Stetigkeit mit einem "Knick" vor.
Bilde also [mm]F'_X=f_X[/mm] auf [mm][2,10][/mm] und schreibe [mm]P_X(B)=\integral_{B}1_{[2,10]}(x) (\frac{x^3}{992}-\frac{1}{124})'dx=\integral_{B}1_{[2,10]}(x)\frac{3x^2}{992}dx[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Mi 31.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo gfm,
wow - ich bin erschlagen. Ich kann dir gar nicht genug danken für diese extrem ausführliche und hilfreiche Antwort.
Danke! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:49 Do 01.04.2010 | | Autor: | gfm |
Vielen Dank für das freundliche Feedback.
LG
gfm
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