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| Aufgabe | An welchen Stellen sind folgende Funktionen stetig?
[mm] 1.f:\IR^2-> \IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=(x^2+y^2)sign(xy), [/mm] wobei sign(x)= -1 für x<0, 0 für x=0 und 1 für x>0
[mm] 2.g:\IR^3\IR [/mm] mit g(x,y,z)= [mm] \bruch{x^3+y^3+z^3}{x^2+y^2+z^2} [/mm] für [mm] (x,y,z)\not=(0,0,0) [/mm]
und 0 für (x,y,z)=(0,0,0) |
Hallo!
Ich habe große Probleme beim verständniss von Stetigkeit mit mehreren Variablen.
Wir hatten in der Vorlesung als Beispiel eine FUnktion, die stetig ist und das haben wir mit Abschätzen gelöst und dem EInschließungslemma und wir hatten eine Funktion, die nicht stetig war, weil wir einen Punkt gefunden hatten, der nicht (O,O) ging, obwohl wir eine Variable gleich 0 gesetzt haben, doch hier bei der Aufgabe soll man die Stellen zeigen, die stetig sind. Ich weiß nicht so ganz, wie das gehen soll.
Ich hab mal mit 2. angefangen, also meine Überlegungen dazu:
Zuerst soll man erstmal ein paar Punkte einsetzen, zum Beispiel g(x,0,0) oder g(o,y,o) oder g(x,x,x) und diese konvergierten alle(wenn man x nach 0 laufen ließ) nach 0.
Da wir hier ein Bruch haben, darf [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] nicht 0 werden.
Ich denke, man sollte den Bruch abschätzen, um allgemein Stetigkeit zu zeigen.
Kann mir einer um der 2. Aufgabe helfen? Ich weiß, bei Abschätzungen und allgemein Stetigkeit muss man ein Auge dafür entwickeln, doch ich seh noch nichts.
Vielleicht kann mir einer noch Tipps geben, wie man allgemein an solche Aufgaben herangeht.
Ich freue mich über jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 So 23.05.2010 | | Autor: | abakus |
> An welchen Stellen sind folgende Funktionen stetig?
> [mm]1.f:\IR^2-> \IR[/mm] mit [mm]f(x,y)=(x^2+y^2)sign(xy),[/mm] wobei
> sign(x)= -1 für x<0, 0 für x=0 und 1 für x>0
>
> [mm]2.g:\IR^3\IR[/mm] mit g(x,y,z)= [mm]\bruch{x^3+y^3+z^3}{x^2+y^2+z^2}[/mm]
> für [mm](x,y,z)\not=(0,0,0)[/mm]
> und 0 für (x,y,z)=(0,0,0)
> Hallo!
> Ich habe große Probleme beim verständniss von Stetigkeit
> mit mehreren Variablen.
> Wir hatten in der Vorlesung als Beispiel eine FUnktion,
> die stetig ist und das haben wir mit Abschätzen gelöst
Das sollte auch hier klappen. Sei o.B.d.A [mm] |x|\ge [/mm] |y| und [mm] |x|\ge [/mm] |z|.
Dann gilt [mm] 3x^2\ge x^2+y^2+z^2\ge x^2 [/mm] und
[mm] 3|x^3|\ge x^3+y^3+z^2 \ge -3|x^3+y^3+z^3|
[/mm]
> und dem EInschließungslemma und wir hatten eine Funktion,
> die nicht stetig war, weil wir einen Punkt gefunden hatten,
> der nicht (O,O) ging, obwohl wir eine Variable gleich 0
> gesetzt haben, doch hier bei der Aufgabe soll man die
> Stellen zeigen, die stetig sind. Ich weiß nicht so ganz,
> wie das gehen soll.
>
> Ich hab mal mit 2. angefangen, also meine Überlegungen
> dazu:
> Zuerst soll man erstmal ein paar Punkte einsetzen, zum
> Beispiel g(x,0,0) oder g(o,y,o) oder g(x,x,x) und diese
> konvergierten alle(wenn man x nach 0 laufen ließ) nach 0.
> Da wir hier ein Bruch haben, darf [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] nicht 0
> werden.
> Ich denke, man sollte den Bruch abschätzen, um allgemein
> Stetigkeit zu zeigen.
> Kann mir einer um der 2. Aufgabe helfen? Ich weiß, bei
> Abschätzungen und allgemein Stetigkeit muss man ein Auge
> dafür entwickeln, doch ich seh noch nichts.
> Vielleicht kann mir einer noch Tipps geben, wie man
> allgemein an solche Aufgaben herangeht.
> Ich freue mich über jede Hilfe
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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> Das sollte auch hier klappen. Sei o.B.d.A [mm]|x|\ge[/mm] |y| und
> [mm]|x|\ge[/mm] |z|.
> Dann gilt [mm]3x^2\ge x^2+y^2+z^2\ge x^2[/mm] und
> [mm]3|x^3|\ge x^3+y^3+z^2 \ge -3|x^3+y^3+z^3|[/mm]
Erstmal vielen Dank.
Also wenn ich deine Abschätzung betrachte, dann kann man ja den sagen, dass der Nenner gleich Null ist, da [mm] \limes_{x\rightarrow 0} 3x^2=0 [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^2=0 [/mm] und nach Einschließungslemma geht dann auch [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] gegen Null. Wenn der Nenner gegen Null geht, dann geht die gesamte Funktion gegen Null.
Also ist die Funktion überall stetig? Oder muss man sich jetzt noch angucken, wo der Zähler gleich Null ist?
Ich bitte um Hilfe
Vielen Dank schonmal
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mo 24.05.2010 | | Autor: | abakus |
> > Das sollte auch hier klappen. Sei o.B.d.A [mm]|x|\ge[/mm] |y| und
> > [mm]|x|\ge[/mm] |z|.
> > Dann gilt [mm]3x^2\ge x^2+y^2+z^2\ge x^2[/mm] und
> > [mm]3|x^3|\ge x^3+y^3+z^2 \ge -3|x^3+y^3+z^3|[/mm]
> Erstmal
> vielen Dank.
> Also wenn ich deine Abschätzung betrachte, dann kann man
> ja den sagen, dass der Nenner gleich Null ist, da
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} 3x^2=0[/mm] und [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x^2=0[/mm]
Hallo,
das ist nicht zielführend. Du hast in jedem Fall einen Grenzwertübergang auf einen Fall "0/0". Gerade deshalb musst du den Term für den Fall untersuchgen, dass vor allem der Nenner eben noch nicht ganz zu Null geworden ist.
Gruß Abakus
> und nach Einschließungslemma geht dann auch [mm]x^2+y^2+z^2[/mm]
> gegen Null. Wenn der Nenner gegen Null geht, dann geht die
> gesamte Funktion gegen Null.
>
> Also ist die Funktion überall stetig? Oder muss man sich
> jetzt noch angucken, wo der Zähler gleich Null ist?
>
> Ich bitte um Hilfe
>
> Vielen Dank schonmal
> TheBozz-mismo
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mi 26.05.2010 | | Autor: | pitta |
> > > Das sollte auch hier klappen. Sei o.B.d.A [mm]|x|\ge[/mm] |y| und
> > > [mm]|x|\ge[/mm] |z|.
> > > Dann gilt [mm]3x^2\ge x^2+y^2+z^2\ge x^2[/mm] und
> > > [mm]3|x^3|\ge x^3+y^3+z^2 \ge -3|x^3+y^3+z^3|[/mm]
> >
>
Wenn man das verarbeitet, was du oben screibst, komm ich auf:
[mm] 0\le [/mm] | [mm] \bruch{x^3+y^3+z^2 }{x^2+y^2+z^2} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] \bruch{3|x|^{3}}{x^{2}} [/mm] | [mm] \le [/mm] 3|x| --->0 für x ---> 0
Hieße g ist in (0,0,0) stetig!
Kann man das denn wirklich so abschätzen, indem man sagt, dass |x| größer ist als |y| und |z| ?
In der Vorlesung haben wir gesagt, dass man nach (0,0,0) von ALLEN Richtungen kommen darf und der grenzwert immer 0 sein muss, damit g in (0,0,0) stetig ist.
Also auch z.B.:
[mm] g(t^{2},- t^{2},t) [/mm] = [mm] \bruch{t^{3}}{2t^{4}+t^{2}} [/mm] ---> [mm] \infty, [/mm] t--->0
Was ist nun korrekt und falls das zweite korrekt ist, wie beweise ich das dann formal? Wie sieht eine Folge [mm] x^{k} [/mm] aus die gegen (0,0,0) strebt für [mm] k--->\infty [/mm] , aber [mm] f(x^{k}) [/mm] geht nicht gegen 0 für k---> [mm] \infty [/mm] ?
Danke für eine Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > Das sollte auch hier klappen. Sei o.B.d.A [mm]|x|\ge[/mm] |y| und
> > > > [mm]|x|\ge[/mm] |z|.
> > > > Dann gilt [mm]3x^2\ge x^2+y^2+z^2\ge x^2[/mm] und
> > > > [mm]3|x^3|\ge x^3+y^3+z^2 \ge -3|x^3+y^3+z^3|[/mm]
> > >
> >
>
> Wenn man das verarbeitet, was du oben screibst, komm ich
> auf:
>
> [mm]0\le[/mm] | [mm]\bruch{x^3+y^3+z^2 }{x^2+y^2+z^2}[/mm] | [mm]\le[/mm] |
> [mm]\bruch{3|x|^{3}}{x^{2}}[/mm] | [mm]\le[/mm] 3|x| --->0 für x ---> 0
>
> Hieße g ist in (0,0,0) stetig!
> Kann man das denn wirklich so abschätzen, indem man sagt,
> dass |x| größer ist als |y| und |z| ?
Das ist etwas wackelig !
Besser: $|g(x,y,z)| [mm] \le [/mm] max [mm] \{|x|,|y|,|z| \}$
[/mm]
Dann: $g(x,y,z) [mm] \to [/mm] 0 = g(0,0,0)$ für $(x,y,z) [mm] \to [/mm] (0,0,0)$
>
> In der Vorlesung haben wir gesagt, dass man nach (0,0,0)
> von ALLEN Richtungen kommen darf und der grenzwert immer 0
> sein muss, damit g in (0,0,0) stetig ist.
> Also auch z.B.:
>
> [mm]g(t^{2},- t^{2},t)[/mm] = [mm]\bruch{t^{3}}{2t^{4}+t^{2}}[/mm] --->
> [mm]\infty,[/mm] t--->0
Das stimmt doch nicht : [mm] $\bruch{t^{3}}{2t^{4}+t^{2}}= \bruch{t}{2t^{2}+1} \to [/mm] 0$ für t [mm] \to [/mm] 0
FRED
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> Was ist nun korrekt und falls das zweite korrekt ist, wie
> beweise ich das dann formal? Wie sieht eine Folge [mm]x^{k}[/mm]
> aus die gegen (0,0,0) strebt für [mm]k--->\infty[/mm] , aber
> [mm]f(x^{k})[/mm] geht nicht gegen 0 für k---> [mm]\infty[/mm] ?
>
> Danke für eine Antwort!
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