Wohldef. Addition Äq.-Klassen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum, U ein Untervektorraum von V. Durch [mm] $v\sim [/mm] w [mm] :\gdw v-w\in [/mm] U$ sei eine Äquivalenzrelation auf V definiert. Für [mm] $v\in [/mm] V$ bezeichne $[v]$ die zugehörige Äquivalenzklasse. Es ist $V/U := [mm] \{[v]|v\in V\}$ [/mm] die Menge aller Äquivalenzklassen (wir sagen: Faktorraum von V nach U).
Es gilt $[v] = v+U := [mm] \{v+u|u\in U\}$.
[/mm]
Zeige: Die Addition
$+:V/U [mm] \times [/mm] V/U [mm] \to [/mm] V/U:[v]+[w] = [v+w]$
ist wohldefiniert. |
Hallo!
Bei der Bearbeitung der obigen Aufgabe komme ich nicht weiter.
Das Problem ist ja, dass die Verknüpfung vertreterweise definiert ist. Ich muss also zeigen, dass das Ergebnis von [v]+[w] für jeden Repräsentanten von [v] und [w] dasselbe ist.
Dazu wähle ich $v,v',w,w' [mm] \in [/mm] V$ mit $[v] = [v']$, $[w] = [w]'$. Zu zeigen ist: $[v]+[w] = [v']+[w']$, oder? Daraus folgt ja dann $[v+w] = [v'+w']$.
Ich habe nun als erstes das Problem, dass ich gar nicht genau weiß, was [v]+[w] eigentlich ist. Wir haben keine passende Definition. Stimmt es so:
$[v] + [w] := [mm] \{x + [w] | x\in [v]\} [/mm] = [mm] \{\{x + y | y\in [w]\}|x\in [v]\}$
[/mm]
... Dann könnte ich jetzt ja einfach die Äquivalenzklassen ersetzen... oder? Stimmt das überhaupt?
Danke für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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> Sei V ein K-Vektorraum, U ein Untervektorraum von V. Durch
> [mm]v\sim w :\gdw v-w\in U[/mm] sei eine Äquivalenzrelation auf V
> definiert. Für [mm]v\in V[/mm] bezeichne [mm][v][/mm] die zugehörige
> Äquivalenzklasse. Es ist [mm]V/U := \{[v]|v\in V\}[/mm] die Menge
> aller Äquivalenzklassen (wir sagen: Faktorraum von V nach
> U).
> Es gilt [mm][v] = v+U := \{v+u|u\in U\}[/mm].
> Zeige: Die Addition
>
> [mm]+:V/U \times V/U \to V/U:[v]+[w] = [v+w][/mm]
>
> ist wohldefiniert.
> Hallo!
>
> Bei der Bearbeitung der obigen Aufgabe komme ich nicht
> weiter.
Hallo,
ich drehe die Reihenfolge mal etwas um:
> Ich habe nun als erstes das Problem, dass ich gar nicht
> genau weiß, was [v]+[w] eigentlich ist. Wir haben keine
> passende Definition. Stimmt es so:
>
> [mm][v] + [w] := \{x + [w] | x\in [v]\} = \{\{x + y | y\in [w]\}|x\in [v]\}[/mm]
Du weißt doch, daß [x]:= x+U
Nun wurde oben definiert [v]+[w] : = [v+w] , und [v+w] ist doch (v+w)+U
> Das Problem ist ja, dass die Verknüpfung vertreterweise
> definiert ist. Ich muss also zeigen, dass das Ergebnis von
> [v]+[w] für jeden Repräsentanten von [v] und [w] dasselbe
> ist.
Genau.
>
> Dazu wähle ich [mm]v,v',w,w' \in V[/mm] mit [mm][v] = [v'][/mm], [mm][w] = [w]'[/mm].
> Zu zeigen ist: [mm][v]+[w] = [v']+[w'][/mm], oder? Daraus folgt ja
> dann [mm][v+w] = [v'+w'][/mm].
Genau. Zu zeigen ist, daß unter diesen Umständen [v+w] und [v'+w'] gleich sind. Das ist ja nicht von vornherein klar.
Starte also mit [mm][v] = [v'][/mm], [mm][w] = [w]'[/mm], und zeig, daß [v+w] = [v'+w'].
Gruß v. Angela
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Ok,
vielen Dank Angela für deine Hilfe! Dann probier' ich es mal:
Seien [mm] $v,v',w,w'\in [/mm] V$ mit [mm][v] = [v'][/mm], [mm][w] = [w]'[/mm]. Zu zeigen ist, dass $[v+w] = [v'+w']$.
Es ist:
$[v]+[w] := [v+w] = (v+w) + U := [mm] \{(v+w) + u|u\in U\}$
[/mm]
und
$[v']+[w'] := [v'+w'] = (v'+w') + U := [mm] \{(v'+w') + u|u\in U\}$.
[/mm]
Sei [mm] $x\in [/mm] [v]+[w]$, d.h. $x = (v+w) + u$ mit [mm] $u\in [/mm] U$. Zu zeigen ist, dass $x = (v'+w') + u'$ mit [mm] $u'\in [/mm] U$, denn dann folgt [mm] $x\in [/mm] [v'] + [w']$.
Da $[v] = [v']$, ist [mm] $v\in [/mm] [v']$, also [mm] $v-v'\in [/mm] U$, d.h. es existiert ein [mm] $f\in [/mm] U$ sodass $v-v' = f [mm] \Rightarrow [/mm] v = v' + f$.
Da $[w] = [w']$, ist [mm] $w\in [/mm] [w']$, also [mm] $w-w'\in [/mm] U$, d.h. es existiert ein [mm] $g\in [/mm] U$ sodass $w-w' = g [mm] \Rightarrow [/mm] w = w' + f$.
Das bedeutet,
$x = (v+w) + u = [mm] \Big[(v'+f) [/mm] + [mm] (w'+g)\Big] [/mm] + u = (v'+w') + [mm] \underbrace{(f+g+u)}_{:= u'}$, [/mm] d.h. x lässt sich in der Form $(v'+w') + u'$ schreiben mit $u' := [mm] f+g+u\in [/mm] U$, da [mm] $f,g,u\in [/mm] U$.
Also ist [mm] $x\in [/mm] [v']+[w']$.
Rückrichtung analog. Damit folgt dann $[v]+[w] = [v']+[w']$, also $[v+w] = [v'+w']$, d.h. die Addition ist wohldefiniert.
Ist das so okay  ?
Dank für Eure Hilfe und Grüße,
Stefan
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Hallo,
ich hab's jetzt zunächst nur ganz grob angeschaut, und beim Überfliegen keinen Fehler gesehen.
Aber ich würd's etwas anders machen, daß Du es so gemacht hast, wie Du es gemacht hast, hängt wohl mit einer Antwort zusammen, die ich Dir gegeben habe.
Ich hatte gesagt, daß [v+w]=(v+w)+U ist - was ja auch stimmt, und von dem ich dachte, daß Du danach gefragt hast.
Aber zunächst mal ist ja [mm] [v]:=\{x| x\equiv v\}=\{x| x-v\in U\}
[/mm]
Und es ist übersichtlicher, wenn Du direkt hiermit arbeitest, also ausgehend von [v]=[v'] und [w]=[w'] zeigst, daß [v+w]=[v'+w'], dh. daß Du direkt zeigst, daß (v+w)-(v'+w') [mm] \in [/mm] U, ohne dieses "dann existiert ein [mm] u\in [/mm] U mit usw. ".
Ich hoffe, ich konnte mich verständlich machen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
erstmal danke für deine Antwort.
> Aber zunächst mal ist ja [mm][v]:=\{x| x\equiv v\}=\{x| x-v\in U\}[/mm]
>
> Und es ist übersichtlicher, wenn Du direkt hiermit
> arbeitest, also ausgehend von [v]=[v'] und [w]=[w'] zeigst,
> daß [v+w]=[v'+w'], dh. daß Du direkt zeigst, daß
> (v+w)-(v'+w') [mm]\in[/mm] U, ohne dieses "dann existiert ein [mm]u\in[/mm] U
> mit usw. ".
D.h. genauer zeige ich eigentlich:
$(v+w) [mm] \in [/mm] [v'+w'] := [mm] \gdw (v+w)-(v'+w')\in [/mm] U$
und
$(v'+w') [mm] \in [/mm] [v+w] := [mm] \gdw [/mm] (v'+w') - (v+w) [mm] \in [/mm] U$,
was aber auf dasselbe hinausläuft, da ja der erst Term mit (-1) multipliziert der andere ist.
Okay.
Da ich weiß, dass $[v] = [v']$, ist also [mm] $v\in [/mm] [v']$, d.h. [mm] $(v-v')\in [/mm] U$.
Weiter ist wegen $[w] = [w']$, dann [mm] $w\in [/mm] [w']$, d.h. [mm] $(w-w')\in [/mm] U$.
Das bedeutet:
$(v+w)-(v'+w') = (v-v') + (w-w') [mm] \in [/mm] U$,
da U UVR und somit die Summe zweier Vektoren aus U wieder in U ist.
Das bedeutet nun: $(v+w) [mm] \in [/mm] [v'+w']$. Analog die andere Richtung.
Meintest du es so? 
Grüße,
Stefan
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> Hallo Angela,
>
> erstmal danke für deine Antwort.
>
> > Aber zunächst mal ist ja [mm][v]:=\{x| x\equiv v\}=\{x| x-v\in U\}[/mm]
>
> >
> > Und es ist übersichtlicher, wenn Du direkt hiermit
> > arbeitest, also ausgehend von [v]=[v'] und [w]=[w'] zeigst,
> > daß [v+w]=[v'+w'], dh. daß Du direkt zeigst, daß
> > (v+w)-(v'+w') [mm]\in[/mm] U, ohne dieses "dann existiert ein [mm]u\in[/mm] U
> > mit usw. ".
>
> D.h. genauer zeige ich eigentlich:
>
> [mm](v+w) \in [v'+w'] := \gdw (v+w)-(v'+w')\in U[/mm]
>
> und
>
> [mm](v'+w') \in [v+w] := \gdw (v'+w') - (v+w) \in U[/mm],
>
> was aber auf dasselbe hinausläuft, da ja der erst Term mit
> (-1) multipliziert der andere ist.
> Okay.
> Da ich weiß, dass [mm][v] = [v'][/mm], ist also [mm]v\in [v'][/mm], d.h.
> [mm](v-v')\in U[/mm].
> Weiter ist wegen [mm][w] = [w'][/mm], dann [mm]w\in [w'][/mm],
> d.h. [mm](w-w')\in U[/mm].
>
> Das bedeutet:
>
> [mm](v+w)-(v'+w') = (v-v') + (w-w') \in U[/mm],
>
> da U UVR und somit die Summe zweier Vektoren aus U wieder
> in U ist.
> Das bedeutet nun: [mm](v+w) \in [v'+w'][/mm]. Analog die andere
> Richtung.
>
> Meintest du es so?
Hallo,
ja, so meinte ich das.
Welche andere Richtung meinst Du?
Ah! Vielleicht ahne ich etwas...
Aber Ihr habt doch bestimmt schon irgendo gezeigt, daß zwei Äquivalenzklassen gleich sind, sobald sie ein gemeinsames Element enthalten.
Gruß v. Angela
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Angela,
danke für deine Antwort!
> Ah! Vielleicht ahne ich etwas...
> Aber Ihr habt doch bestimmt schon irgendo gezeigt, daß
> zwei Äquivalenzklassen gleich sind, sobald sie ein
> gemeinsames Element enthalten.
Bestimmt - aber ich war zu faul nachzuschauen, und es ist ja trivial zu sehen, dass es "dasselbe" ist. Beim Aufschreiben werde ich es dann natürlich verwenden
Wir haben noch dasselbe mit der skalaren Multiplikation zu zeigen, d.h. zu zeigen ist, dass
[mm] $\lambda*[v] [/mm] = [mm] [\lambda*v]$
[/mm]
ist. Da muss ich ja jetzt nur $v,v' [mm] \in [/mm] V$ mit $[v]=[v']$ nehmen, oder? Weil ich kann ja eh nur ein [mm] \lambda [/mm] wählen, dass "dasselbe" ist (wie lautet die richtige Legitimation?).
Also setze ich $[v]=[v']$ voraus und muss zeigen, dass [mm] $[\lambda*v] [/mm] = [mm] [\lambda*v']$ [/mm] ist. Ich zeige also
[mm] $\lambda*v \in [\lambda*v'] :\gdw (\lambda*v)-(\lambda*v')\in [/mm] U$.
Nach Voraussetzung ist wieder [mm] $(v-v')\in [/mm] U$, also ist
[mm] $(\lambda*v)-(\lambda*v') [/mm] = [mm] \lambda*(v-v') \in [/mm] U$,
da [mm] $(v-v')\in [/mm] U$ und ein Produkt aus Skalar aus K und Vektor aus U wieder in U liegt.
Stimmt's
Grüße,
Stefan
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> Wir haben noch dasselbe mit der skalaren Multiplikation zu
> zeigen, d.h. zu zeigen ist, dass
>
> [mm]\lambda*[v] = [\lambda*v][/mm]
>
> ist. Da muss ich ja jetzt nur [mm]v,v' \in V[/mm] mit [mm][v]=[v'][/mm]
> nehmen, oder?
Ja, genau.
> Weil ich kann ja eh nur ein [mm]\lambda[/mm] wählen,
> dass "dasselbe" ist (wie lautet die richtige
> Legitimation?).
[mm] \lambda=\lambda' [/mm] ==> [mm] \lambda=\lambda' [/mm] ...
> Also setze ich [mm][v]=[v'][/mm] voraus und muss zeigen, dass
> [mm][\lambda*v] = [\lambda*v'][/mm] ist. Ich zeige also
>
> [mm]\lambda*v \in [\lambda*v'] :\gdw (\lambda*v)-(\lambda*v')\in U[/mm].
>
> Nach Voraussetzung ist wieder [mm](v-v')\in U[/mm], also ist
>
> [mm](\lambda*v)-(\lambda*v') = \lambda*(v-v') \in U[/mm],
>
> da [mm](v-v')\in U[/mm] und ein Produkt aus Skalar aus K und Vektor
> aus U wieder in U liegt.
>
> Stimmt's
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Angela,
danke für deine Antwort!
Ich habe noch eine letzte Frage: Wir sollen noch zeigen, dass $V/U$ mit den oben beschriebenen Verknüfungen einen Vektorraum bildet. Dazu muss ich zeigen, dass (V,+) eine abelsche Gruppe ist. Ich wollte mit der Assoziativität beginnen:
$([u]+[v])+[w] = [u+v]+[w] = [(u+v)+w]$
Bin ich jetzt innerhalb des Arguments der Restklasse in V? Eigentlich schon, oder? Dann dürfte ich jetzt wieder alle tollen VR-Eigenschaften von V benutzen, also auch die Assoziativität?
Grüße,
Stefan
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> Hallo Angela,
>
> danke für deine Antwort!
> Ich habe noch eine letzte Frage: Wir sollen noch zeigen,
> dass [mm]V/U[/mm] mit den oben beschriebenen Verknüfungen einen
> Vektorraum bildet. Dazu muss ich zeigen, dass (V,+) eine
> abelsche Gruppe ist. Ich wollte mit der Assoziativität
> beginnen:
>
> [mm]([u]+[v])+[w] = [u+v]+[w] = [(u+v)+w][/mm][/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]Bin ich jetzt innerhalb des Arguments der Restklasse in V? [/u][/mm]
Ja, innerhalb der eckigen Klammer regiert der Vektorraum V.
Gruß v. Angela
> [mm][u]Eigentlich schon, oder? Dann dürfte ich jetzt wieder alle [/u][/mm]
> [mm][u]tollen VR-Eigenschaften von V benutzen, also auch die [/u][/mm]
> [mm][u]Assoziativität?[/u][/mm]
> [mm][u] [/u][/mm]
> [mm][u]Grüße,[/u][/mm]
> [mm][u] Stefan [/u][/mm]
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Okay,
dann vielen Dank für deine Hilfe, Angela!
Grüße,
Stefan
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