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Forum "Relationen" - Wohldefiniertheit, Addition
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Wohldefiniertheit, Addition: Folgen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Di 06.05.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Schreibe [mm] $[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}$ [/mm] für die Äquivalenzklassen von [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm]

Definiere auf der Relation [mm] $E_2$ [/mm] die Addition wie folgt:

[mm] $[(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}+[(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}$ [/mm]

Es gilt:

[mm] $((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}) \in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n$ [/mm] Nullfolge


Hi,

also um die Wohldefiniertheit zu zeigen muss ich ja zeigen, dass die Addition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.

Für [mm] $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] schreibe ich im Folgenden [mm] $x_n$ [/mm]

Ich würde wie folgt vorgehen:

[mm] $[x_n]_{E_2}+[y_n]_{E_2}=[x_n+y_n]_{E_2}$ [/mm]

[mm] $(x_n,x'_n)\in E_2$ [/mm] und [mm] $(y_n,y'_n)\in E_2$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow x'_n-x_n$ [/mm] Nullfolge und [mm] $y'_n-y_n$ [/mm] Nullfolge

Wenn ich beides addiere:

[mm] x'_n-x_n+y'_n-y_n [/mm] Nullfolge

[mm] $(x'_n+y'_n)-(x_n+y_n)$ [/mm] Nullfolge [mm] $\in E_2\Leftrightarrow$ $[(x_n+y_n,x'_n+y'_n)]_{E_2}$ [/mm]

Ehrlich gesagt kommt mir das gerade ein wenig falsch vor. Ich denke ich ignoriere ein wenig, dass es sich hier um Äquivalenzklassen handelt, aber ich wüsste dann auch nicht was ich falsch bzw. wie ich es besser machen könnte.

Über Hilfe freue ich mich.

mfg

        
Bezug
Wohldefiniertheit, Addition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Di 06.05.2014
Autor: Sax

Hi,

> Definiere auf der Relation [mm]E_2[/mm] die Addition wie folgt:
>  
> [mm][(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}+[(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}[/mm]
>  
> Es gilt:
>  
> [mm]((x_n)_{n\in\mathbb{N}},(y_n)_{n\in\mathbb{N}}) \in E_2\Leftrightarrow y_n-x_n[/mm]
> Nullfolge

Die Aufgabenstellung ist sicher unvollständig, denn die Definition, von der da die Rede ist, ist doch noch gar keine. Sicherlich steht da
$ [mm] [(x_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}+[(y_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2}= [(x_n+y_n)_{n\in\mathbb{N}}]_{E_2} [/mm] $


Du meinst bestimmt das Richtige, schreibst es aber sehr unglücklich (das heißt "falsch") auf. Ich wähle als Beispiel mal die Zeile

> $ [mm] (x'_n+y'_n)-(x_n+y_n) [/mm] $ Nullfolge [mm] $\in E_2 \Leftrightarrow [/mm] $ $ [mm] [(x_n+y_n,x'_n+y'_n)]_{E_2} [/mm] $

Wenn das erste ein Satz sein soll, so fehlt ihm das Verb, also besser $ [mm] (x'_n+y'_n)-(x_n+y_n) [/mm] $ ist eine Nullfolge.

Dann kommt [mm] \in E_2 [/mm] . Das ist nicht richtig, denn [mm] E_2 [/mm] enthält keine Folgen, sondern Paare von Folgen.

Dann kommt ein Äquivalezpfeil, der zwischen Aussagen stehen kann, rechts davon steht aber gar keine Aussage.

> also um die Wohldefiniertheit zu zeigen muss ich ja zeigen, dass die
> Addition unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist.

Genau das ist zu tun.
Nimm dir also zwei Folgen a und b aus [mm] [x]_E_2 \; [/mm] (zur Not kannst du auch x statt a und x' statt b schreiben, aber ich finde das so klarer) sowie  u und v aus [mm] [y]_E_2 [/mm] her und zeige, dass [mm] [a]_E_2+[u]_E_2=[b]_E_2+[v]_E_2 [/mm] ist.
Benutze dazu die oben vervollständigte Definition der Addition von Äquivalenzklassen und mache insbesondere deutlich, an welcher Stelle des Beweises du Grenzwertsätze benutzt.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
Wohldefiniertheit, Addition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Di 06.05.2014
Autor: YuSul

Stimmt, da ist mir oben die hälfte der Definition verloren gegangen, weiß auch nicht wie mir das passiert ist...
Du hast sie natürlich richtig ergänzt.

Zweiter Versuch:

Seien [mm] $a_n, b_n\in[x_n]_{E_2}$ [/mm] und [mm] $u_n, v_n\in[y_n]_{E_2}$ [/mm]

Dann ist [mm] $(a_n, u_n)_{E_2}\Leftrightarrow u_n-a_n$ [/mm] ist eine Nullfolge

und

[mm] $(b_n, v_n)_{E_2}\Leftrightarrow v_n-b_n$ [/mm] ist eine Nullfolge

Nach den Grenzwertsätzen ist dann auch

[mm] $u_n-a_n+b_n-v_n$ [/mm] eine Nullfolge, also

[mm] $u_n+b_n-(a_n+v_n)$ [/mm] ebenfalls eine Nullfolge, was gleichbedeutend mit

[mm] $(a_n+v_n,b_n+u_n)\in E_2$ [/mm] ist.

Die Addition ist somit Wohldefiniert.

Bezug
                        
Bezug
Wohldefiniertheit, Addition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Di 06.05.2014
Autor: Sax

Hi,


> Zweiter Versuch:
>  

gleich kommt der dritte, wenn du nämlich erkannt haben wirst, dass

> Seien [mm]a_n, b_n\in[x_n]_{E_2}[/mm] und [mm]u_n, v_n\in[y_n]_{E_2}[/mm]
>  
> Dann ist [mm](a_n, u_n)_{E_2}\Leftrightarrow u_n-a_n[/mm] ist eine
> Nullfolge

Unsinn ist.

[mm]a_n, b_n\in[x_n]_{E_2}[/mm] impliziert vielmehr, dass [mm] (a_n-x_n) [/mm] und auch [mm] (b_n-x_n) [/mm] Nullfolgen sind und somit auch [mm] (a_n-b_n) [/mm] eine Nullfolge ist und daher [mm] (a_n,b_n)\in E_2 [/mm] gilt.

Gruß Sax.


Bezug
                                
Bezug
Wohldefiniertheit, Addition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 Di 06.05.2014
Autor: YuSul

Aber dann reicht es doch nicht einfach zwei Folgen aus [mm] $[x_n]_{E_2}$ [/mm] und [mm] $[y_n]_{E_2}$ [/mm]

zu nehmen, die Folgen müssen doch auch gleich sein.

Also [mm] $a_n=b_n$ [/mm]
[mm] $u_n=v_n$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Wohldefiniertheit, Addition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Di 06.05.2014
Autor: Sax

Hi,

> Aber dann reicht es doch nicht einfach zwei Folgen aus
> [mm][x_n]_{E_2}[/mm] und [mm][y_n]_{E_2}[/mm]
>  
> zu nehmen, die Folgen müssen doch auch gleich sein.
>  
> Also [mm]a_n=b_n[/mm]
> [mm]u_n=v_n[/mm]

nein.
[mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] müssen nicht gleich sein, sondern äquivalent (bzgl. der Äquivalenzrelation [mm] E_2), [/mm] d.h. sie müssen in derselben Äquivalenzklasse liegen (nämlich in derjenigen, in der [mm] (x_n) [/mm] liegt).

Gruß Sax.

Bezug
                                                
Bezug
Wohldefiniertheit, Addition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Di 06.05.2014
Autor: YuSul

Ah, okay. Aber irgendwie bin ich gerade verwirrt. Ich weiß zwar was ich zeigen soll, aber irgendwie nicht wie.

War die Vorgehensweise oben denn vom Ansatz her korrekt?
Für einen dritten Versuch reicht es gerade nicht. :(

Bezug
                                                        
Bezug
Wohldefiniertheit, Addition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Di 06.05.2014
Autor: Sax

Hi,

um zu zeigen, dass aus [mm] a_n\equiv b_n [/mm] und [mm] u_n\equiv v_n [/mm] die Gleichheit [mm] [a_n]+[u_n]=[b_n]+[v_n] [/mm] folgt, sind die drei Gleichheitszeichen in
[mm] [a_n]+[u_n]=[a_n+u_n]=[b_n+v_n]=[b_n]+[v_n] [/mm] zu begründen.

Das erste und das dritte ergeben sich einfach aus der Definition der Addition von Äquivalenzklassen.

Für das zweite hast du schon die richtige Idee gehabt.

[mm] [a_n+u_n]=[b_n+v_n] [/mm]
[mm] \gdw (a_n+u_n)_n-(b_n+v_n)_n [/mm] ist Nullfolge (Definition der Äquivalenzklassen)
[mm] \gdw (a_n+u_n-b_n-v_n)_n [/mm] ist Nullfolge  (Definition der Addition von Folgen)
[mm] \gdw (a_n-b_n+u_n-v_n)_n [/mm] ist Nullfolge

Die letzte Aussage folgt nun aus der Tatsache, dass nach Voraussetzung [mm] (a_n-b_n)_n [/mm] und [mm] (u_n-v_n)_n [/mm] Nullfolgen sind und dass gemäß Grenzwertdatz die Summe von Nullfolgen wieder eine Nullfolge ist.
Weil die vierte Zeile richtig ist, ist auch die erste Zeile richtig und die Behauptung somit bewiesen.

Gruß Sax.

Bezug
                                                                
Bezug
Wohldefiniertheit, Addition: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:05 Di 06.05.2014
Autor: YuSul

Ah okay, vielen Dank.
Ich glaube ich habe mich ein wenig von den Äquivalenzklassen verwirren lassen und diese nicht so wirklich beachtet.

Aber deine Erklärung habe ich nachvollzogen.

Bezug
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