Worum geht es in der Aufgabe? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | In einem Betrieb werden Mobiltelefone unabhängig voneinander auf Funktionsfähigkeit getestet. Bei einem ersten Test kann die Funktionstüchtigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = 1/2$ festgestellt werden. Kann die Tüchtigkeit festgestellt werden, so wird ein zweiter Test durchgeführt, bei dem dann sicher die Funktionstüchtigkeit festgestellt werden kann. Ein Test dauert 10 Sekunden.
a) Sei [mm] T_n [/mm] die zufällige Zeit, die zum Testen von $n$ Mobiltelefonen gebraucht wird. Welche Werte kann [mm] T_n [/mm] annehmen? Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt er sie an? Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von [mm] T_n
[/mm]
b) Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die approximative Wahrscheinlichkeit dafür, dass in 4 Stunden mindestens 950 Handys getestet werden. |
Hallo, ich möchte gerne diese Aufgabe lösen, habe aber in a) leider keine Ahnung, was mit [mm] T_n [/mm] gemeint ist.
Wie bekomme ich raus, welche Werte [mm] T_n [/mm] annimmt und dessen Wahrscheinlichkeit?
Mit Aufgabe b) habe ich soweit keine Probleme, allerdings brauche ich zur vollständigen Berechnung noch den Erwartungswert und die Varianz aus a). Wie berechne ich diese in diesem Fall?
|
|
| |
|
Frage 1: Tn ist die zufällige Zeit, wie auch bereits in Aufgabe 1 geschrieben. Ich weiß leider nicht, was du da nicht verstehst.
Frage 2:vielleicht solltest du dir mal ansehen, wie Erwartungswert und Varianz berechnet wird. Wenn du dies weißt, kannst du bereits auch Aufgabe 1 lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Mija |
Das ist mir klar, aber wie bestimmte ich, welche Werte [mm] $T_n$ [/mm] annehmen kann und mit welcher Wahrscheinlichkeit?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
ich nehm an, daß Dein Problem bei diesem Satz hier liegt:
> Bei einem ersten Test kann die Funktionstüchtigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2 festgestellt werden. Kann die Tüchtigkeit festgestellt werden, so wird ein zweiter Test durchgeführt, bei dem dann sicher die Funktionstüchtigkeit festgestellt werden kann.
Der ist leider etwas schwammig, aber ich denke, die Aussage ist:
Mit 50% Wkeit wird das entsprechende Telefon 2mal getestet. Sonst 1mal.
Alles andere ergibt wenig Sinn, weil dann Angaben fehlen würden.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Hast du denn schon einen Lösungsansatz? Oder es schon mal ausprobiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 28.09.2010 | | Autor: | Mija |
Also ich habe erstmal folgendes:
Es ist $p= [mm] \bruch{1}{2}$, [/mm] man muss also minimal 10 Sekunden und höchstens 20 Sekunden warten, bis ein Handy getestet wurde und die Funktionstüchtigkeit festgestellt wurde. Also $x [mm] \in (\{10\},\{20\})$ [/mm] und [mm] $\IP [/mm] (X=10) = [mm] \bruch{1}{2}$, $\IP(X=20) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Wie mache ich nun weiter?
Ich muss ja irgendwie die Dichte (ich vermuter über die Verteilungsfunktion) rausbekommen, um dann den Erwartungswert und die Varianz berechnen zu können.
|
|
|
| |
|
Hallo Mija,
der schnellste Weg ist eine saubere Definition von [mm] T_n.
[/mm]
Hier bietet sich folgendes an:
[mm] $T_n [/mm] = n*10s + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n} Y_i \right)*10s$, [/mm] wobei jedes [mm] Y_i [/mm] bernoulli-verteilt zum Parameter [mm] $p=\bruch{1}{2}$ [/mm] ist.
Überleg dir mal, wieso diese Definition Sinn macht (mit dieser lässt sich die Aufgabe übrigens in unter 10 Minuten lösen  )
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 13.07.2014 | | Autor: | GinSch |
Hallo, ich beschäftige mich auch gerade mit dieser Aufgabe.
Bisher habe ich folgende Ergebnisse:
a)
[mm] T_{n} [/mm] nimmt Werte der Form 10(n+k), k=0,…,n, und zwar mit Wahrscheinlichkeit [mm] P(T_n=10(n+k))=\vektor{n \\ k}\bruch{1}{2^n}.
[/mm]
Der Erwartungswert ist [mm] E(T_n)=\summe_{k=0}^{n}10(n+k)\vektor{n \\ k}\bruch{1}{2^n}.
[/mm]
[mm] E(T_n^2)=\summe_{k=0}^{n}1o0(n+k)^2\vektor{n \\ k}\bruch{1}{2^n}.
[/mm]
Aber das geht doch sicher noch anders oder? Wie soll man so die Varianz ausdrücken?
b)
Hier weiß ich nicht genau, wie ich den zentralen Grenzwertsatz benutzen soll. Was bringt es mir zu wissen, dass hier etwas gegen eine Normalverteilung konvergiert?
|
|
|
| |
|
Hiho,
deine Überlegungen sind alle richtig, allerdings stellst du ja selbst fest, dass deine Umformungen jetzt relativ schwierig werden (und auch dein Erwartungswert lässt sich ja schon nicht schön ausrechnen).
Du hast an keiner Stelle die Darstellung der [mm] T_n [/mm] verwendet.
Fang doch einfach mal so an:
[mm] $E[T_n] [/mm] = [mm] E[n\cdot{}10s [/mm] + [mm] \left(\summe_{i=1}^{n} Y_i \right)\cdot{}10s] [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Das Gleiche dann für die Varianz.
b) machen wir dann später
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 So 13.07.2014 | | Autor: | GinSch |
Ok, da die [mm] Y_i [/mm] Bernoulli verteilt sind, ist ihre Summe Binomial verteilt und der Erwartungswert [mm] n*\bruch{1}{2}.
[/mm]
Also [mm] E(T_n)=n*10+n*\bruch{1}{2}*10=n*15.
[/mm]
Weiter gilt [mm] (T_n)^2=(10*n+\summe_{i=1}^{n}Y_i*10)^2=100*n^2+100*(\summe_{i=1}^{n}Y_1)^2+200*n*\summe_{i=1}^{n}Y_i.
[/mm]
Damit [mm] E((T_n)^2)=100*n^2+100*E((\summe_{i=1}^{n}Y_i)^2)+200*n*E(\summe_{i=1}^{n}Y_i)=100*n^2+200*n*15*n+100*E((\summe_{i=1}^{n}Y_i)^2)=3100*n^2+100*E((\summe_{i=1}^{n}Y_i)^2)
[/mm]
Ist der Erwartungswert einer Binomialverteilten [mm] Zufallsvariable^2 [/mm] bekannt? Wenn nicht, wie bestimme ich ihn? Über die charakteristsche Funktion?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 13.07.2014 | | Autor: | GinSch |
Ok, ich habe [mm] E(X^2) [/mm] für X Binomialverteilt mittels der charakteristischen Funktion berechnet und habe als Ergebnis [mm] E(X^2)=(n*p+(n-1)*p). [/mm] Stimmt das? Hoffe, dass ich beim Ableiten nicht durcheinander gekommen bin. Ist das der einfachste Weg?
Dann ist [mm] E(T_n^2)=3100*n^2+100(n* \bruch{1}{2}+(n-1)*\bruch{1}{2})=3100*n^2+100*n-50
[/mm]
Auf jeden Fall, kann ich nun die Varianz bestimmen.
[mm] Var(T_n)=E(T_n)^2-(E(T_n)^2)=(15*n)^2-(3100*n^2+100*n-50)=-2875*n^2-100*n+50
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hiho,
viel zu kompliziert, wie dir meine andere Antwort schon sagte. Schaue sie dir an!
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Ok, da die [mm]Y_i[/mm] Bernoulli verteilt sind, ist ihre Summe Binomial verteilt und der Erwartungswert [mm]n*\bruch{1}{2}.[/mm]
Ja und wenn du nicht wüsstest, dass die Summe binomialverteilt ist?
Wie würdest du es dann ausrechnen? Rechenregeln für den Erwartungswert solltest du kennen!
> Also [mm]E(T_n)=n*10+n*\bruch{1}{2}*10=n*15.[/mm]
Du hast die Einheiten vergessen!
> Weiter gilt
> [mm](T_n)^2=(10*n+\summe_{i=1}^{n}Y_i*10)^2=100*n^2+100*(\summe_{i=1}^{n}Y_1)^2+200*n*\summe_{i=1}^{n}Y_i.[/mm]
Viel zu kompliziert!
[mm] $Var(T_n) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] und nur ausrechnen, indem du Rechenregeln für die Varianz benutzt, die solltest du kennen!
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 13.07.2014 | | Autor: | GinSch |
Stimmt, den Erwartungswert könnte ich auch einfach ausrechnen, da es der diskrete Fall ist einfach [mm] E(\summe_{i=1}^{n}Y_i)=\summe_{i=1}^{n}1*\bruch{1}{2}=n* \bruch{1}{2}
[/mm]
Zu [mm] E(T_n) [/mm] mit Einheiten: [mm] E(T_n)=n*10s+n*\bruch{1}{2}*10s=n*15s
[/mm]
Und es gilt [mm] V(T_n)=V(n*10s+(\summe_{i=1}^{n} Y_i)*10s)=(10*s)^2*V(\summe_{i=1}^{n} Y_i)=100*s^2*\summe_{i=1}^{n}V(Y_i)=100*s^2*\summe_{i=1}^{n}*\bruch{1}{2}*(1-\bruch{1}{2})=100*s^2*n*\bruch{1}{4}=25*n*s^2
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hiho,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Vor dem letzten [mm] s^2 [/mm] ist ein $*$ zuviel, sonst alles schick.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mo 14.07.2014 | | Autor: | GinSch |
Vielen Dank für deine Hilfe! (:
Dann jetzt zur b):
Die allgemeine Aussage des zentralen Grenzwertsatzes ist ja, dass mit [mm] S_n=\summe_{j=1}^{n} X_j, S_n^\*:=\bruch{S_n-n*E(X_n)}{\wurzel{n*V(X_n)}} [/mm] in Verteilung gegen eine standardnormalverteilte Zufallsvariable konvergiert.
Hier:
In vier Stunden, heißt doch, dass [mm] \summe_{i=1}^{n}T_i [/mm] =4h=14400s gesetzt wird.
Dann ist [mm] S_n^\*=\bruch{14400s-n^2*15s}{\wurzel{n*25*n*s^2}}=\bruch{14400-n^2*15}{5*n}= \bruch{2880-n^2*3}{n}
[/mm]
n steht doch für die Anzahl der getesteten Handys, also [mm] S_n^\*\approx [/mm] -2849,7 Stimmt das?
Da [mm] S_n^\* [/mm] in Verteilung gegen ein standardnormalverteiltes N konvergiert, gilt dass [mm] F_{S_n^\* }(x) [/mm] gegen [mm] F_N(x) [/mm] konvergiert. Muss ich also nur [mm] F_N(-2849,7) [/mm] berechnen?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> In vier Stunden, heißt doch, dass [mm]\summe_{i=1}^{n}T_i[/mm] =4h=14400s gesetzt wird.
Nein, lies die Aufgabe nochmal richtig: Die Frage ist, wie wahrscheinlich es ist, dass innerhalb von 4h 950 Handys getestet werden.
Was ist die Zeit für das Testen von 950 Handys und was soll dafür gelten, wenn es innerhalb von 4h getestet wird?
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mo 14.07.2014 | | Autor: | GinSch |
Zeit für das Testen von 950 Handys ist [mm] T_{950}=950*10s+(\summe_{i=1}^{950}Y_i)*10s
[/mm]
Und das soll innerhalb von vier Stunden geschehen, also suche ich [mm] P(T_{950}\le [/mm] 4h)?
Und das forme ich dann mit Erwartungswert und Varianz in die Form um, die im zentralen Grenzwertsatz benötigt wird?
[mm] E(T_{950})=950*15s=14250s
[/mm]
[mm] V(T_{950})=25*950*s^2=23750s^2
[/mm]
[mm] P(T_{950}\le 450h)=P(9500s+(\summe_{i=1}^{950}Y_i)*10s\le 14400)=P((\summe_{i=1}^{950}Y_i)-490s\le [/mm] 0)
jetzt auf beiden Seiten etwas abziehen, so dass ich auch [mm] (\summe_{i=1}^{950}Y_i)-950*Erwartungswert [/mm] komme und dann durch Wurzel aus Varianz*950 teilen? Dann weiß ich, dass das ganze in Verteilung gegen eine standardnormalverteilte Zufallsvariable konvergiert. Aber was bringt mir das?
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Zeit für das Testen von 950 Handys ist
> [mm]T_{950}=950*10s+(\summe_{i=1}^{950}Y_i)*10s[/mm]
> Und das soll innerhalb von vier Stunden geschehen, also
> suche ich [mm]P(T_{950}\le[/mm] 4h)?
> Und das forme ich dann mit Erwartungswert und Varianz in
> die Form um, die im zentralen Grenzwertsatz benötigt wird?
Ja.
> [mm]E(T_{950})=950*15s=14250s[/mm]
> [mm]V(T_{950})=25*950*s^2=23750s^2[/mm]
Aufpassen, welchen Erwartungswert und welche Varianz du brauchst!
Das sehen wir aber, nachdem wir mal umformen:
> [mm]P(T_{950}\le 450h)=P(9500s+(\summe_{i=1}^{950}Y_i)*10s\le 14400)=P((\summe_{i=1}^{950}Y_i)-490s\le[/mm] 0)
Aufpassen: Die Sekunden hinten sind weg, du hast also folgendes zu bestimmen:
[mm] $P\left(\summe_{i=1}^{950}Y_i \le 490\right)$
[/mm]
> jetzt auf beiden Seiten etwas abziehen, so dass ich auch [mm](\summe_{i=1}^{950}Y_i)-950*Erwartungswert[/mm] komme und dann
> durch Wurzel aus Varianz*950 teilen?
Ja.
> Dann weiß ich, dass das ganze in Verteilung gegen eine standardnormalverteilte Zufallsvariable konvergiert. Aber was bringt mir das?
Dass die Tabelle der Standardnormalverteilung bekannt ist und du das Ergebnis einfach nachschlagen kannst.
Gruß,
Gono.
|
|
|
|
