Wronski-Determinante < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 07.01.2006 | | Autor: | majorlee |
hi,
hab eine kurze frage zur wronski-determinante.
in vielen büchern und sonstigen quellen steht, dass die wronski-determinante bekanntlicherweise folgende DGL erfüllt:
wenn w die wronski-determinante ist, dann gilt: . so weit, so gut. danach steht immer, dass hieraus folgt, dass daher entweder immer gilt, oder . wieso ist das so? es kann sein, dass ich vollkommen auf dem schlauch stehe, aber irgendwie wird mir der zusammenhang da nicht ganz klar.
kann mir das jemand einleuchtend erklären? danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Sa 07.01.2006 | | Autor: | pjordan |
Hallo erstmal, du hast die Ehre, dass dies die erste Lösung ist, die ich hier schreibe..... Aber zum Problem:
Also, ich denke man sieht es, wenn man sich die Lösung der DGL betrachtet (Satz von Liouville): Jene lautet $W(t) = [mm] W(\tau) \exp{\int_\tau^t spur (A(s))ds} [/mm] $ für alle $t, [mm] \tau \in [/mm] J$.
Warum ist das so?! Also, eine Determinante ist eine alternierende m-lineare Funktion (K=Körper)
[mm] $K^m \times ....\times [/mm] K [mm] \rightarrow [/mm] K $ , damit bekommen wir
[mm] $\dot [/mm] W(t) = [mm] \dot{(det X)}(t) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^m \det[x_1(t),....,x_{j-1}(t), \dot x_j(t), x_{j+1},....x_m [/mm] (t)] $ für $t [mm] \in [/mm] J $,
das bedeutet in unserem Falle [mm] $\dot [/mm] W = (det [mm] X)^{.} [/mm] (t)= [mm] \sum_{j=1}^m det[x_1(t),....,x_{j-1}, Ax_j, x_{j+1}, x_{j+1},....,x_m] [/mm] $ (*).
Nun sei [mm] X=X_\tau [/mm] eine eine Hauptfundamentalmatrix zum Zeitpunkt [mm] \tau\in [/mm] J, gilt somit [mm] x_j(t)=e_j [/mm] mit [mm] e^i_j=\delta_{ij}, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i, j [mm] \le [/mm] m$, dann bekommen wir aus obiger Gleichung (*) mit [mm] $W_\tau [/mm] := [mm] \det X_\tau [/mm] $,
(da [mm] $Ae_j=$ [/mm] j-te Saplte von A und [mm] $W_(\tau) [/mm] =1$)
[mm] $\dot W_\tau (\tau) [/mm] = spur [mm] (A(\tau)) [/mm] = spur [mm] (A(\tau)) W_\tau (\tau)$ [/mm] (**)
Ist X eine beliebige Lösungsmatrix, so gilt mit einem geeigneten $C [mm] \in \mathbb [/mm] M ^m(K) $, dass $ X(t) = [mm] X_\tau [/mm] (t) C$ für alle $t [mm] \in [/mm] J $.
Damit und (**) bekommen wir [mm] $\dot W(\tau) [/mm] = [mm] W_\tau (\tau) \det [/mm] C = spur [mm] (A(\tau)) W_\tau (\tau) [/mm] det C = spur [mm] (A(\tau)) W_\tau (\tau) \det [/mm] C = spur [mm] A(\tau [/mm] ) [mm] W(\tau)$. [/mm]
Diese Gleichung gilt für alle [mm] $\tau \in [/mm] J $ und damit ist gezeigt, dass W unsere DGL löst. Jetzt sollte man noch verifizieren, dass $W(t) [mm] =W(\tau) \exp(\int_\tau [/mm] ^t spur (A(s))ds$ für alle [mm] $t,\tau \in [/mm] J$ auch tatsächlich Lösung von unserer DGL ist....
Ich hoffe, es wird nun klar, warum die Lösung identisch oder nirgends verschwindet....
Greetz
Chris
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