Wronski-Determinante < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Dante19 |
| Aufgabe | (b) Ermitteln Sie eine spezielle L¨osung der inhomogenen DGL
[mm] (x-x^{2})y"+x^{2}y'-xy=(2x-x^{2})*e^x [/mm] |
hi
ich bin soweit gekommen das ich die Wronski-Det.
aufgestellt habe, weiß nicht ob sie richtig ist, vllt. kann jemand drüber schauen.
[mm] \vmat{ y \\ y' }=\vmat{ 0 & 1/(x-x^{2}) \\ x/(x-x^{2}) & -x^{2}/(x-x^{2}) }*\vmat{ y \\ y' }+\vmat{ 0 \\ (2x-x^{2})*e^x }
[/mm]
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Hallo Dante19,
> (b) Ermitteln Sie eine spezielle L¨osung der inhomogenen
> DGL
> [mm](x-x^{2})y"+x^{2}y'-xy=(2x-x^{2})*e^x[/mm]
>
>
> hi
>
> ich bin soweit gekommen das ich die Wronski-Det.
> aufgestellt habe, weiß nicht ob sie richtig ist, vllt.
> kann jemand drüber schauen.
>
> [mm]\vmat{ y \\ y' }=\vmat{ 0 & 1/(x-x^{2}) \\ x/(x-x^{2}) & -x^{2}/(x-x^{2}) }*\vmat{ y \\ y' }+\vmat{ 0 \\ (2x-x^{2})*e^x }[/mm]
>
Das hat nicht viel Ähnlichkeit mit der Wronski-Determinante.
Aufgabe ist es doch eine spezielle Lösung
der obigen inhomogenen DGL zu finden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Dante19 |
[mm] yhom=c1*e^{x}+c2*(x^{2}+x+1)
[/mm]
wenn ich ypartikulär bestimmen will, muss ich doch das Fundamentalsystem Y [mm] bestimmen:\vmat{ e^{x} & (x^{2}+x+1) \\ (e^{x})' & (x^{2}+x+1)' }
[/mm]
danach die Determinante
Im nächsten Schritt [mm] Y^{-1} [/mm]
Dann [mm] Y^{-1}*b [/mm] integrieren
Habe ich bis hierhin die Rechenschritte richtig aufgezählt, falls ja kann jemand sagen wie b als Matrix lautet
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Hallo Dante19,
> [mm]yhom=c1*e^{x}+c2*(x^{2}+x+1)[/mm]
>
> wenn ich ypartikulär bestimmen will, muss ich doch das
> Fundamentalsystem Y [mm]bestimmen:\vmat{ e^{x} & (x^{2}+x+1) \\ (e^{x})' & (x^{2}+x+1)' }[/mm]
>
Die zweite Lösung der homogenen DGL [mm]x^{2}+x+1[/mm] stimmt nicht.
> danach die Determinante
> Im nächsten Schritt [mm]Y^{-1}[/mm]
> Dann [mm]Y^{-1}*b[/mm] integrieren
> Habe ich bis hierhin die Rechenschritte richtig
> aufgezählt, falls ja kann jemand sagen wie b als Matrix
> lautet
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Dante19 |
Hast du yhom. ausgerechnet, falls ja kannst du mir die 2 Lösung nennen, weil ich mir ziemlich sicher bin, die 2 Lösung ist [mm] (x^{2}+x+1)
[/mm]
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Hallo Dante19,
> Hast du yhom. ausgerechnet, falls ja kannst du mir die 2
> Lösung nennen, weil ich mir ziemlich sicher bin, die 2
> Lösung ist [mm](x^{2}+x+1)[/mm]
Setze doch an: [mm]y_{2}\left(x\ŗight)=a*x^{2}+b*x+c[/mm]
Dann kommst Du durch Koeffizientenvergleich auf [mm]a=c=0[/mm]
Damit lautet die homogene Lösung:
[mm]y_{hom}\left(x\right)=c_{1}*e^{x}+c_{2}*x[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Dante19 |
kann es seine das c2 = -x ist und nicht x, außerdem ist [mm] b=\vmat{ 0 \\ (2x-x^{2})e^{x} }
[/mm]
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Hallo Dante19,
> kann es seine das c2 = -x ist und nicht x, außerdem ist
> [mm]b=\vmat{ 0 \\ (2x-x^{2})e^{x} }[/mm]
Das b, das ich in meinem Ansatz habe ist ein Skalar.
Dein b ist hingegen ein Vektor.
Ob die zweite Lösung jetz x oder -x lautet ist unerheblich,
da beide die DGL lösen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Dante19 |
Welchen Ansatz muss ich den wählen um ypa auszurechnen, wenn [mm] yhom=c1*e^{x}+c2{-x} [/mm] ist, ich steh irgendwie aufm Schlauch, weil mein Prof das b, in der Übung, als Vektor angenommen hat, deshalb habe ich es auch so ausgeschrieben
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Hallo Dante19,
> Welchen Ansatz muss ich den wählen um ypa auszurechnen,
> wenn [mm]yhom=c1*e^{x}+c2{-x}[/mm] ist, ich steh irgendwie aufm
> Schlauch, weil mein Prof das b, in der Übung, als Vektor
> angenommen hat, deshalb habe ich es auch so ausgeschrieben
Dann hat er die DGL 2.Ordnung in ein DGL-System 1. Ordnung umgewandelt.
Dann nimm diesen Ansatz und mache für die Bestimmung
der partikulären Lösung, die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm]
zusätzlich von x abhängig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Dante19 |
hi
vllt. kann mal jemand drüber schauen und mir sagen ob es stimmt.Ich möchte die spezielle Lsg. der inhomogenen DGL ausrechnen
[mm] (x-x^{2})y"+x^{2}y'-xy=(2x-x^{2})e^{x}
[/mm]
y1=y
y1'=y'=y2
y2=y'
[mm] y2''=y''=\bruch{-x^{2}}{(x-x^{2})}y2+\bruch{x}{(x-x^{2})}y1+\bruch{(2-x)e^{x}}{(1-x)}
[/mm]
Als Matrix:
[mm] \vmat{ y \\ y' }'=\vmat{ 0 & 1 \\ \bruch{1}{(1-x)} & \bruch{-x}{(1-x)} }*\vmat{ y \\ y' }+\vmat{ 0 \\ \bruch{(2-x)e^{x}}{(1-x)} }
[/mm]
[mm] Fundamentalsystem:Y:\vmat{ e^{x} & (-x) \\ e^{x}' & (-x)' }
[/mm]
[mm] \vmat{ e^{x} & (-x) \\ e^{x} & -1 }
[/mm]
[mm] yp=Y*\integral{(Y^{-1}*b) dx}
[/mm]
det [mm] Y=(x-1)*e^{x}
[/mm]
[mm] Y^{-1}=\bruch{1}{(x-1)*e^{x}}*\vmat{ -1 & x \\ -e^{x} & e^{x} }=\vmat{ \bruch{-1}{(x-1)*e^{x}} & \bruch{x}{(x-1)*e^{x}} \\ \bruch{-1}{(x-1)} & \bruch{1}{(x-1)} }
[/mm]
[mm] \integral {(Y^{-1}*b) dx}=\integral {(\vmat{ \bruch{-1}{(x-1)*e^{x}} & \bruch{x}{(x-1)*e^{x}} \\ \bruch{-1}{(x-1)} & \bruch{1}{(x-1)} }*\vmat{ 0 \\ \bruch{(2-x)*e^{x}}{(1-x)} }) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral {(\vmat{ \bruch{x*(2-x)}{(x-1)*(1-x)} \\ \bruch{(2-x)*e^{x}}{(x-1)*(1-x)} } )dx}
[/mm]
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Hallo Dante19,
> hi
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> vllt. kann mal jemand drüber schauen und mir sagen ob es
> stimmt.Ich möchte die spezielle Lsg. der inhomogenen DGL
> ausrechnen
>
> [mm](x-x^{2})y"+x^{2}y'-xy=(2x-x^{2})e^{x}[/mm]
>
> y1=y
> y1'=y'=y2
> y2=y'
>
> [mm]y2''=y''=\bruch{-x^{2}}{(x-x^{2})}y2+\bruch{x}{(x-x^{2})}y1+\bruch{(2-x)e^{x}}{(1-x)}[/mm]
>
> Als Matrix:
> [mm]\vmat{ y \\ y' }'=\vmat{ 0 & 1 \\ \bruch{1}{(1-x)} & \bruch{-x}{(1-x)} }*\vmat{ y \\ y' }+\vmat{ 0 \\ \bruch{(2-x)e^{x}}{(1-x)} }[/mm]
>
> [mm]Fundamentalsystem:Y:\vmat{ e^{x} & (-x) \\ e^{x}' & (-x)' }[/mm]
>
> [mm]\vmat{ e^{x} & (-x) \\ e^{x} & -1 }[/mm]
>
> [mm]yp=Y*\integral{(Y^{-1}*b) dx}[/mm]
> det [mm]Y=(x-1)*e^{x}[/mm]
> [mm]Y^{-1}=\bruch{1}{(x-1)*e^{x}}*\vmat{ -1 & x \\ -e^{x} & e^{x} }=\vmat{ \bruch{-1}{(x-1)*e^{x}} & \bruch{x}{(x-1)*e^{x}} \\ \bruch{-1}{(x-1)} & \bruch{1}{(x-1)} }[/mm]
>
> [mm]\integral {(Y^{-1}*b) dx}=\integral {(\vmat{ \bruch{-1}{(x-1)*e^{x}} & \bruch{x}{(x-1)*e^{x}} \\ \bruch{-1}{(x-1)} & \bruch{1}{(x-1)} }*\vmat{ 0 \\ \bruch{(2-x)*e^{x}}{(1-x)} }) dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral {(\vmat{ \bruch{x*(2-x)}{(x-1)*(1-x)} \\ \bruch{(2-x)*e^{x}}{(x-1)*(1-x)} } )dx}[/mm]
>
Bis hierher stimmt's.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Dante19 |
Ich komme nach dem letzten Integral einfach nicht weiter, ich kann diesen Vektor nicht integrieren, habe ich vllt. irgenwo einen Zahlendreher oder habe ich einen Rechnschritt vergessen
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Hallo Dante19,
> Ich komme nach dem letzten Integral einfach nicht weiter,
> ich kann diesen Vektor nicht integrieren, habe ich vllt.
> irgenwo einen Zahlendreher oder habe ich einen Rechnschritt
> vergessen
Nein, einen Zahlendreher hast Du und auch keinen Rechenschritt vergessen.
Nun, da die Variation der Konstanten nicht zum Ziel führt,
muss die partikuläre Lösung der DGL anders ermittelt werden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 10.12.2011 | | Autor: | Dante19 |
kannst du mir vllt. einen Hinweis geben, weil ich weiß echt nicht wie ich jetzt vorgehen soll.
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Hallo Dante19,
> kannst du mir vllt. einen Hinweis geben, weil ich weiß
> echt nicht wie ich jetzt vorgehen soll.
Setze für die partikuläre Lösung so an:
[mm]y_{p}\left(x\right)=q\left(x\right)*e^{x}[/mm]
, wobei [mm]q\left(x\right)[/mm] ein ganzrationales Polynom ist.
Gruss
MathePower
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