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| Aufgabe | DGL y´´ -4y´+4y [mm] =3xe^{2x}
[/mm]
Bestimme die allgemeine Lösung im homogenen Fall und bestätige mit der Wronski-Determinante die lineare Unabhängigkeit des Fundamentalsystems. |
Hallo zusammen,
ich habe Probleme damit die Wronski-Determiante aufzustellen.
Als erstes habe ich die DGL = 0 gesetzt um Nullstellen heraus zu bekommen.
[mm] (x^2 [/mm] - 4 [mm] \lambda [/mm] +4) = 0 -> y=2
y(x)= [mm] C1e^{2x} [/mm] + [mm] C2xe^{2x}
[/mm]
...das kommt bei y(x)= 0 heraus. Aber was mache ich mit dem rechten Teil?
Die Wronski-Determinante würde sich mit den Werten wie folgt zusammen setzen:
w= [mm] \vmat{ e^{2x} & e^{2x} \\ 2e^{2x} & 2e^{2x} } [/mm]
Die Determinante wäre 0, aber darf diese überhaupt 0 sein? Bei 0 wäre doch einen linerare Abhängigkeit vorhanden.
Oder vertausche ich da etwas?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Di 19.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> DGL y´´ -4y´+4y [mm]=3xe^{2x}[/mm]
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> Bestimme die allgemeine Lösung im homogenen Fall und
> bestätige mit der Wronski-Determinante die lineare
> Unabhängigkeit des Fundamentalsystems.
> Hallo zusammen,
> ich habe Probleme damit die Wronski-Determiante
> aufzustellen.
>
> Als erstes habe ich die DGL = 0 gesetzt um Nullstellen
> heraus zu bekommen.
>
> [mm](x^2[/mm] - 4 [mm]\lambda[/mm] +4) = 0 -> y=2
>
> y(x)= [mm]C1e^{2x}[/mm] + [mm]C2xe^{2x}[/mm]
Dann ist Dein Fundamentalsystem
(*) [mm] e^{2x}, xe^{2x}
[/mm]
> ...das kommt bei y(x)= 0 heraus. Aber was mache ich mit
> dem rechten Teil?
Du sollst doch nur die homogene Gl. betrachten !
>
> Die Wronski-Determinante würde sich mit den Werten wie
> folgt zusammen setzen:
> w= [mm]\vmat{ e^{2x} & e^{2x} \\ 2e^{2x} & 2e^{2x} }[/mm]
Das ist nicht die zu (*) geh. W.-Determinante !
FRED
> Die Determinante wäre 0, aber darf diese überhaupt 0
> sein? Bei 0 wäre doch einen linerare Abhängigkeit
> vorhanden.
> Oder vertausche ich da etwas?
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Danke für die schnelle Antwort.
Leider weiß ich nicht was du damit meinst.
Als Ergebnis der DGL kommt heraus:
y(x)= [mm] \bruch{1}{2}e^{2x}x^3 [/mm] + [mm] C_{1}e^{2x} [/mm] + [mm] C_{2}xe^{2x}
[/mm]
...muss ich also eine 3x3 Matrix aufstellen?
[mm] \vmat{\bruch{1}{2}e^{2x]x^3 & e^{2x} & e^{2x}\\ x^3e^{2x}+\bruch{3x^2e^{2x}}{2} & 2e^{2x} & 2e^{2x} \\ 2x^3e^{2x}+6x^2e^{2x}+3xe^{2x} & 4e^{2x} & 4e^{2x}}}
[/mm]
und dann die Determiante bilden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Di 19.06.2012 | | Autor: | teo |
> Danke für die schnelle Antwort.
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> Leider weiß ich nicht was du damit meinst.
>
> Als Ergebnis der DGL kommt heraus:
> y(x)= [mm]\bruch{1}{2}e^{2x}x^3[/mm] + [mm]C_{1}e^{2x}[/mm] + [mm]C_{2}xe^{2x}[/mm]
>
> ...muss ich also eine 3x3 Matrix aufstellen?
>
> [mm]\vmat{\bruch{1}{2}e^{2x]x^3 & e^{2x} & e^{2x}\\ x^3e^{2x}+\bruch{3x^2e^{2x}}{2} & 2e^{2x} & 2e^{2x} \\ 2x^3e^{2x}+6x^2e^{2x}+3xe^{2x} & 4e^{2x} & 4e^{2x}}}[/mm]
>
> und dann die Determiante bilden?
Du hast in der ersten Zeile einen Fehler hinten fehlt ein x vor [mm] e^{2x}, [/mm] das meinte Fred.
Und du sollst doch nur die Lösung vom homogenen System betrachten!
vgl. Antwort von Fred
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@ teo: stimmt .....da hat sich mal wieder ein kleiner Fehler eingeschlichen.
Also habe ich folgendes:
w= [mm] \vmat{ e^{2x} & xe^{2x} \\ 2e^{2x} & 2xe^{2x}+e^{2x} }
[/mm]
wenn ich jetzt die Determinante berechen kommt heraus:
[mm] (e^{2x} [/mm] * [mm] (2xe^{2x} [/mm] + [mm] e^{2x}) [/mm] - [mm] 2e^{2x} [/mm] * [mm] x^{2x} [/mm] = [mm] e^{2x} [/mm] * [mm] e^{2x}
[/mm]
und das ist [mm] \not= [/mm] 0 und somit bestätige ich die lineare Unabhängigkeit.
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Mi 20.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> @ teo: stimmt .....da hat sich mal wieder ein kleiner
> Fehler eingeschlichen.
>
> Also habe ich folgendes:
>
> w= [mm]\vmat{ e^{2x} & xe^{2x} \\ 2e^{2x} & 2xe^{2x}+e^{2x} }[/mm]
>
> wenn ich jetzt die Determinante berechen kommt heraus:
> [mm](e^{2x}[/mm] * [mm](2xe^{2x}[/mm] + [mm]e^{2x})[/mm] - [mm]2e^{2x}[/mm] * [mm]x^{2x}[/mm] = [mm]e^{2x}[/mm]
> * [mm]e^{2x}[/mm]
> und das ist [mm]\not=[/mm] 0 und somit bestätige ich die lineare
> Unabhängigkeit.
>
> Stimmt das so?
Ja
FRED
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