Würfelflächen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | | Welchen Winkel [mm] \alpha [/mm] bilden die sich in einer Ecke schneidenden Flächendiagonalen zweier aneinander grenzender Würfelflächen ? |
Uhm.. mit der Aufgabe kann ich gar nichts anfangen...
Also ich weiß wie ich von einem Vektor den Winkel [mm] \alpha [/mm] ausrechne, aber hier ist ja nichts weiter gegeben...
Winkel [mm] \alpha [/mm] eines Vektors [mm] \overrightarrow{a} [/mm] :
[mm] \alpha [/mm] = [mm] cos^{-1}(cos(\alpha)) [/mm] = [mm] cos^{-1}(\bruch{ \overrightarrow{ex}}{|\overrightarrow{a}|})
[/mm]
Ein Link mit der eierlegenden Wollmilchsau wäre prima :)
Alles was helfen kann wird genommen...
Danke für Hilfe
Gruss
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
Lege Dir Deinen Würfel mal derart in ein Koordinatensystem, dass der gesuchte Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] am Koordinatenursprung anliegt.
Dann gehen die beiden betrachteten Flächendiagonalen jeweils schräg weg vom Ursprung (einmal z.B. in der x/z-Ebene und einmal in der y/z-Ebene).
Dabei haben wir dann folgende Diagonalen als Vektor (bei einer Kantenlänge von $a_$) in der x/z-Ebene:
[mm] $\vec{d}_{xz} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{a\\0\\a}$
[/mm]
Wie lautet nun der entsprechende Diagonalen-Vektor [mm] $\vec{d}_{yz}$ [/mm] der y/z-Ebene?
Und dann in die Winkelformel einsetzen: [mm] $\cos(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\vec{d}_{xz}*\vec{d}_{yz}}{\left|\vec{d}_{xz}\right|*\left|\vec{d}_{yz}\right|} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Lars_B. |
> Lege Dir Deinen Würfel mal derart in ein Koordinatensystem,
> dass der gesuchte Winkel [mm]\alpha[/mm] am Koordinatenursprung
> anliegt.
Ok.
> Dann gehen die beiden betrachteten Flächendiagonalen
> jeweils schräg weg vom Ursprung (einmal z.B. in der
> x/z-Ebene und einmal in der y/z-Ebene).
>
> Dabei haben wir dann folgende Diagonalen als Vektor (bei
> einer Kantenlänge von [mm]a_[/mm]) in der x/z-Ebene:
>
> [mm]\vec{d}_{xz} \ = \ \vektor{a\\0\\a}[/mm]
>
>
> Wie lautet nun der entsprechende Diagonalen-Vektor
> [mm]\vec{d}_{yz}[/mm] der y/z-Ebene?
[mm]\vec{d}_{yz} \ = \ \vektor{0\\a\\a}[/mm] ?
Gruss
Lars
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
> [mm]\vec{d}_{yz} \ = \ \vektor{0\\a\\a}[/mm] ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig! Also weiter ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Lars_B. |
So in etwa ?
> Und dann in die Winkelformel einsetzen: [mm]\cos(\alpha) \ = \ \bruch{\vec{d}_{xz}*\vec{d}_{yz}}{\left|\vec{d}_{xz}\right|*\left|\vec{d}_{yz}\right|} \ = \ ...[/mm]
[mm]\vec{d}_{xz}*\vec{d}_{yz} \ = \ \vektor{0 \\ a^{2} \\ 0}[/mm]
[mm]|\vec{d}_{xz}| \ = \ |\vec{d}_{yz}| \ = \ 2a [/mm]
[mm]cos(\alpha) \ = \ \bruch{a^{2}}{4a}[/mm]
Überhaupt der Denkansatz hat mein Verständnis erheblich gesteigert :)
Prima Danke
Gruss
Lars
PS: Schreibe am Freitag eine Examensklausur über Analysis und Lineare Algebra ( 2 Stunden)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Lars_B. |
> [mm]cos(\alpha) \ = \ \bruch{a^{2}}{4a}[/mm]
öhm...
> [mm]cos(\alpha) \ = \ \bruch{a^{2}}{4a^{2}} \ = \ \bruch{1}{4}}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lars!
Der Faktor $4_$ im Nenner ist falsch, hier solltest Du Dir die Betragsrechnung nochmal ansehen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 01.03.2006 | | Autor: | Lars_B. |
Hallo Loddar,
> Hier handelt es sich um das Skalarprodukt (da muss also eine Zahl, kein Vektor!, herauskommen):
[mm]\vec{d}_{xz}*\vec{d}_{yz} \ = \ \vektor{a \\ 0 \\ a} *\vektor{0 \\ a \\ a} \ = \ a*0+0*a+a*a \ = \ a^{2}[/mm]
> > [mm]|\vec{d}_{xz}| \ = \ |\vec{d}_{yz}| \ = \ 2a[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie berechnet man denn den Betrag eines Vektors?
>
> [mm]\left|\vec{v}\right| \ = \ \left|\vektor{x\\y\\z}\right| \ = \ \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
Das hab ich hier auch so stehen.. hm wieso ist das nicht 2a ?
[mm]\wurzel{0^2+a^2+a^2} \ \not= \ a+a [/mm]
Nichts mit Wurzel aus der Summe ?
[mm]\wurzel{2a^2} = a * \wurzel{2} [/mm] ?
*durcheinander*
Da muss ich mir wohl nochmal die Wurzel Rechenregeln angucken *stöhn*
Zweiter Versuch:
[mm]cos(\alpha) \ = \ \bruch{a^{2}}{2a^{2}} \ = \ \bruch{1}{2} \ = \ .. [/mm]
[mm]\alpha \ = \ 60° [/mm]
?
Gruss
Lars
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Skalarprodukt![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Genau so!!
