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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:09 Mi 12.05.2004 | | Autor: | phymastudi |
Hallo.
Folgende Frage soll ich lösen:
wir haben drei manipulierte Würfel W1,W2,W3. beim ersten Würfel ist die 6 durch die 1 ersetzt, beim zweiten die 6 durch die 2 und beim dritten die 6 durch die 3. gesuch ist zu je ein Wurf der manipulierten Würfel
a) der W'raum (G,P)
b) wieviele Elemente gehören zu P(G)?
c) Sei für i=1,2,3 Ai:={(a1,a2,a3) Element aus G| ai=1}. Gesucht sind P(A1) und P(A1 vereinigt A2).
d) Sei Z:= Summe (von i=1 bis 3) 1Ai die Zählvariable aus c). Beweise oder widerlege : Z:G--{0,1,2,3} ist (i) injektiv (ii) surjektiv
e) Sei X die Zufallsvariable, die jedem Ergebnis die Augensumme zuordnet. Gesucht dind P(X=5) und P(X kleinergleich 13).
Danke euch!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo phymastudi!
Eins vorweg: Wir haben ja jetzt schon mehrere solcher Aufgaben besprochen, da wirst du doch bei dieser Aufgabe wenigstens ein paar Ansätze haben, oder falls nicht, wenigstens konkrete Fragen stellen können.
> Folgende Frage soll ich lösen:
> wir haben drei manipulierte Würfel W1,W2,W3. beim ersten
> Würfel ist die 6 durch die 1 ersetzt, beim zweiten die 6
> durch die 2 und beim dritten die 6 durch die 3. gesuch ist
> zu je ein Wurf der manipulierten Würfel
Ich verstehe die Aufgabe so, dass alle drei Würfel gleichzeitig geworfen werden.
> a) der W'raum (G,P)
Die Grundmenge $G$ ist dann [mm] $G=\{1,2,3,4,5\}^3$, [/mm] da alle drei Würfel Werte Augenzahlen zwischen 1 und 5 haben.
Als Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ kannst du das Produktmaß der einzelnen W'keitsmaße [mm] $P_i$ [/mm] der Würfel nehmen.
(z.B. [mm] $P_1(W_1=1)=\bruch{2}{6}, P_1(W_1=2)=\bruch{1}{6},\ldots$)
[/mm]
Also: [mm] $P((i,j,k))=P_1(W_1=i)*P_2(W_2=j)*P_3(W_3=k)$
[/mm]
> b) wieviele Elemente gehören zu P(G)?
Das kannst du auch mit a) beantworten, indem du zunächst die Frage für die [mm] $P_i$s [/mm] beantwortest:
[mm] $P_1$ [/mm] hat zwei verschiedene W'keiten für Elementarereignisse, und [mm] $P_2$ [/mm] und [mm] $P_3$?
[/mm]
> c) Sei für i=1,2,3 Ai:={(a1,a2,a3) Element aus
> G| ai=1}. Gesucht sind P(A1) und P(A1 vereinigt A2).
Das ist nicht schwierig, wenn du --wie oben-- wieder über das Produktmaß gehst.
Für die zweite W'keit [mm] $P(A_1\cup A_2)$ [/mm] machst du dir erst mal eigene Gedanken 
> d) Sei Z:= Summe (von i=1 bis 3) 1Ai die
> Zählvariable aus c). Beweise oder widerlege :
> Z:G--{0,1,2,3} ist (i) injektiv (ii) surjektiv
Das dürfte ebenfalls nicht schwierig sein, versuche es lieber erstmal selbst und frage bei Problemen nach.
> e) Sei X die Zufallsvariable, die jedem Ergebnis die
> Augensumme zuordnet. Gesucht dind P(X=5) und P(X
> kleinergleich 13).
Siehe d.)
Das wichtigste ist hier, sich über die Elemente von $G$ und das darauf definierte W'keitsmaß klar zu werden (siehe Teil a)). Danach ist alles nur noch Rechnerei. Probier' es mal selbst, wir sind ja immer für dich da, 24 Stunden am Tag und 7 Tage die Woche
Viel Erfolg,
Marc
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Hallo, ich versuche mal einen Kösungansatz:
Zu a)
Wenn G:={1,2,3,4,5}³ ist, dann ist P((i,j,k))= 1/27 oder, weil
W1: P(1)=2/6; P(2)=1/6; P(3)=1/6; P(4)=1/6; P(5)=1/6
W2: P(1)=1/6; P(2)=2/6; P(3)=1/6; P(4)=1/6; P(5)=1/6
W3: P(1)=1/6; P(2)=1/6; P(3)=2/6; P(4)=1/6; P(5)=1/6
daraus folgt: P((i,j,k))= 2/6*1/6*1/6+1/6*2/6*1/6+1/6*1/6*2/6+1/6*1/6*1/6+1/6*1/6*1/6=1/27
ist das richtig??? ich bin echt verzweifelt, weil ich hier nicht weiterkomme und bis morgen eine LÖsung braueh:-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo phymastudi,
> Hallo, ich versuche mal einen Kösungansatz:
Super!
> Zu a)
>
> Wenn G:={1,2,3,4,5}³ ist, dann ist P((i,j,k))= 1/27 oder,
> weil
> W1: P(1)=2/6; P(2)=1/6; P(3)=1/6; P(4)=1/6; P(5)=1/6
> W2: P(1)=1/6; P(2)=2/6; P(3)=1/6; P(4)=1/6; P(5)=1/6
> W3: P(1)=1/6; P(2)=1/6; P(3)=2/6; P(4)=1/6; P(5)=1/6
>
> daraus folgt: P((i,j,k))=
> 2/6*1/6*1/6+1/6*2/6*1/6+1/6*1/6*2/6+1/6*1/6*1/6+1/6*1/6*1/6=1/27
> ist das richtig??? ich bin echt verzweifelt, weil ich hier
Was soll das denn sein? Wieso stehen das Plus-Zeichen? (i,j,k) bezeichnet doch ein einziges Elementarereignis, z.B.
[mm] $P((1,1,1))=P_1(W_1=1)*P_2(W_2=1)*P_3(W_3=1)\stackrel{\mbox{\scriptsize{s.o.}}}{=}\bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}$
[/mm]
So kannst du für alle 125 Elementareignisse die W'keit angeben, oder einfach kurz schreiben:
[mm] $P((i,j,k))=P_1(W_1=i)*P_2(W_2=j)*P_3(W_3=k)$ ($P_1, P_2, P_3$ [/mm] siehe oben)
Wie sieht's mit den anderen Teilaufgaben aus?
Viele Grüße,
Marc
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hi, also schreib ich als Lösung der Aufgabe a):
(G,P)1= ({1,2,3,4,5}³,1/108)
(G;P)2=({1,2,3,4,5}³,1/108] usw???
die anderen versteh ich leider garnicht. bin wahrscheinlich einfach zu bescheuert. können wir die zusammen jetzt erarbeiten???
Mfg Björn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo phymastudi,
> hi, also schreib ich als Lösung der Aufgabe a):
>
> (G,P)1= ({1,2,3,4,5}³,1/108)
> (G;P)2=({1,2,3,4,5}³,1/108] usw???
Nein, ich denke nicht.
Du schreibst:
[mm] $G=\{1,2,3,4,5\}^3$
[/mm]
[mm] $P_i(W_i=k)=\bruch{2}{6}$, [/mm] falls $k=i$ und [mm] $P_i(W_i=k)=\bruch{1}{6}$, [/mm] falls [mm] $k\not=i$ [/mm] für $i=1,2,3$
[mm] $P((i,j,k))=P_1(W_1=1)*P_2(W_2=j)*P_3(W_3=k)$
[/mm]
Der W'keitsraum ist dann (G,P).
> die anderen versteh ich leider garnicht. bin wahrscheinlich
> einfach zu bescheuert. können wir die zusammen jetzt
> erarbeiten???
Okay, die kommen gleich.
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo phymastudi,
> Folgende Frage soll ich lösen:
> wir haben drei manipulierte Würfel W1,W2,W3. beim ersten
> Würfel ist die 6 durch die 1 ersetzt, beim zweiten die 6
> durch die 2 und beim dritten die 6 durch die 3. gesuch ist
> zu je ein Wurf der manipulierten Würfel
> a) der W'raum (G,P)
> b) wieviele Elemente gehören zu P(G)?
Hinweis: Hier ist wahrscheinlich [mm] $\cal{P}\rm(G)$ [/mm] gemeint und nicht $P(G)$, weswegen folgende Überlegungen überflüssig sind. Übrigens sind sie auch für sich genommen noch erweiterungsbedürftig, da ich nur die W'keiten von Elementarereignissen berechne und die W'keiten allgemeiner Ereginisse ausser Acht lasse.
P(G) ist (wohl) die Menge aller W'keiten von Elementarereignissen (wenn ich die Teilaufgabe richtig verstehe, es kann hier ja nicht ernsthaft die W'keit der Grundmenge G gesucht sein, die wäre ja 1: P(G)=1).
Wie in a) erläutert, sind die W'keiten von P Produkte der W'keiten von [mm] $P_1, P_2, P_3$; [/mm] es ergeben sich also zunächst formal nur diese 8 möglichen Produkte:
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{2}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{2}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}
[/mm]
Nach umfangreichen Berechnungen sieht man aber, dass sich hier nur 4 verschiedene Zahlenwerte ergeben:
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{2}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}
[/mm]
Also enthält P(G) vier verschiedene W'keiten.
So, wenn du das verstanden hast, können wir mit den anderen Teilaufgaben weitermachen.
Viele Grüße,
Marc
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Ich raff das echt nicht:
Ist i:= 1,2,3 die ersetzte 6 auf den Würfeln??
Was ist mit Ai:={(a1,a2,a3) Element G mit der Eigenschaft ai=1}denn überhaupt gemeint???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo phymastudi,
sorry, dass ich erst jetzt wieder Zeit hab und es so lange gedauert hat.
> Ich raff das echt nicht:
>
> Ist i:= 1,2,3 die ersetzte 6 auf den Würfeln??
Bist du jetzt bei Aufgabenteil c)? Hast du b) verstanden?
> Was ist mit Ai:={(a1,a2,a3) Element G mit der
> Eigenschaft ai=1}denn überhaupt gemeint???
Okay. Also, dieses i ist eine Art Zählvariable, die hier nur für eine abkürzende Schreibweise missbraucht werde
Wenn man schreibt "Sei für $i=1,2,3$ [mm] $A_i:=\{(a_1,a_2,a_3) \in G| a_i=1\}$" [/mm] dann bedeutet das, dass du dieselbe Aussage mit den verschiedenen Werten für i bilden sollst, also:
Für i=1: [mm] $A_1:=\{(a_1,a_2,a_3) \in G| a_1=1\}$
[/mm]
Für i=2: [mm] $A_2:=\{(a_1,a_2,a_3) \in G| a_2=1\}$
[/mm]
Für i=3: [mm] $A_3=\{(a_1,a_2,a_3) \in G| a_3=1\}$
[/mm]
Es sind also drei Mengen zu bilden.
Die erste Menge besteht aus allen Tripeln [mm] $(a_1,a_2,a_3)$, [/mm] die an ihrer ersten Position eine 1 stehen haben (denn [mm] $a_1=1$).
[/mm]
Das sind folgende 25 Stück:
[mm] $A_1=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,2,1),\ldots,(1,5,4),(1,5,5)\}$
[/mm]
Im ersten Teil der Aufgabe c) ist nun die W'keit [mm] $P(A_1)$ [/mm] zu berechnen. Leider haben die Tripel von [mm] $A_1$ [/mm] nicht alle die gleiche Wahrscheinlichkeit, weswegen ich jetzt die Tripel in Mengen gleicher W'keit sortiere:
[mm] $P((1,2,3))=\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}$
[/mm]
[mm] $P((1,2,1))=P((1,2,2))=P((1,2,4))=P((1,2,5))=\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}$
[/mm]
[mm] $P((1,1,3))=P((1,3,3))=P((1,4,3))=P((1,5,3))=\bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{2}{6}$
[/mm]
und der ganze Rest (16 Tripel), der jeweils die W'keit [mm] $\bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}$ [/mm] hat.
Deswegen ist [mm] $P(A_1)=1*\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}+8*\bruch{2}{6}*\bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}+16*\bruch{2}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{1}{6}$.
[/mm]
Das gleiche müßtest du nun mit [mm] $A_2$ [/mm] und [mm] $A_3$ [/mm] machen -- es sei denn, du überlegst dir, dass alles bis auf die Tripel identisch ist und deswegen [mm] $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)$ [/mm] gilt.
Für [mm] $P(A_1\cup A_2)$ [/mm] überlegst du dir, welche Tripel überhaupt in der Menge [mm] $A_1\cup A_2$ [/mm] liegen, und summierst dann --wie bei [mm] $P(A_1)$-- [/mm] über deren W'keiten.
Viele Grüße,
Marc
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Du, da in b) ist aber nach der Anzahl der Elemente gefragt und nicht nach den Wahrscheinölichkeiten. Ist dam,it dasselbe gemeint?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo phymastudi,
> Du, da in b) ist aber nach der Anzahl der Elemente gefragt
> und nicht nach den Wahrscheinölichkeiten. Ist dam,it
> dasselbe gemeint?
In diesem speziellen Fall schon, denke ich, da die Elemente von $P(G)$ W'keiten sind.
$P$ ist ja eine Funktion $P: [mm] \cal{P}\rm(G)\to \lbrack0,1\rbrack$, [/mm] und $P(G)$ verstehe ich als "Bild" der Menge $G$, also alle W'keiten, die herauskommen, wenn man alle möglichen Ereignisse einsetzt.
Moment mal -- kann es sein, dass du in der Aufgabenstellung [mm] $\cal{P}\rm(G)$ [/mm] (also die Potenzmenge von G) meinst und nicht $P(G)$ (also das W'keitsmaß P)?
Dann würde die Aufgabe auch mehr Sinn machen.
Wie viele Elemente die Potenzmenge einer n-elementigen Menge enthält, weißt du aber, oder?
Es gilt: [mm] $|\cal{P}\rm(M)|=2^n$, [/mm] wenn $|M|=n$
Nun ist $|G|=125$, [mm] $|\cal{P}\rm(G)|=2^{125}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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