Würfelproblem mit 2 Würfeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
ich habe folgende Aufgabe die ich nicht komplett lösen kann:
Es wird in einem Spiel mit 2 Würfeln gewürfelt und die zwei Zahlen so zusammengesetzt, dass die größere vorne steht. So ergeben z.B. die Würfe 3 und 4 die Zahl 43.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 52 zu würfeln?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 eine größere Punktezahl wirft als Spieler 1?
-> zu a)
Das geht ja noch:
Die Zahl 52 kann man aus der Kombination 5 (1ter Wurf) und 2 (2ter Wurf) oder aus der Kombination 2 (1ter Wurf) und 5 (2ter Wurf) erhalten. Die Wahrscheinlichkeit ist somit:
1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 1/18 = 5,56 %
Aber wie löst sich b) ?
Ich hoffe mal Ihr könnt mir da weiterhelfen.
Gruss Hummingbird
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Bei Frage a) komme ich auch auf [mm] $\bruch [/mm] 1{18}$.
Bei Frage b) kannst du im Prinzip genauso vorgehen. Zähle am besten zunächst, wieviele Möglichkeiten es gibt, mehr Punkte zu erreichen:
Wenn Spieler 1 $(x,y)$ - wobei [mm] $y\le [/mm] x$ - geworfen hat, gibt es zwei Möglichkeiten, mehr Punkte zu haben.
Die erste ist folgende: Spieler 2 wirft mit einem Würfel mehr als $x$, mit dem anderen beliebig. Dafür gibt es nur ein ungünstiges Ereignis: Er wirft mit beiden Würfeln $x$ oder weniger. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist [mm] $\bruch x6*\bruch x6=\bruch{x^2}{6}$. [/mm] Die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr wirft, ist also [mm] $1-\bruch{x^2}{36}$.
[/mm]
Die zweite Möglichkeit ist, dass Spieler 2 $x$ würfelt und eine Zahl, die zwischen $x$ und $y$ liegt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür liegt bei [mm] $\bruch 16*\bruch{x-y}6=\bruch [/mm] {x-y}{36}$.
Insgesamt gilt also: Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 2 etwas höheres wirft, ist [mm] $1+\bruch {x-y}{36}-\bruch{x^2}{36}$.
[/mm]
Jetzt machst du $x$ und $y$ variabel, du musst also darüber summieren. Die endgültige Wahrscheinlichkeit beträgt also:
$ [mm] \bruch [/mm] {1}{18} [mm] \summe_{x=1}^6 \summe_{y=1}^x\left(1+\bruch {x-y}{36}-\bruch{x^2}{36}\right) -\bruch 1{36}\summe_{x=1}^6 \left(1-\bruch{x^2}{36}\right)$.
[/mm]
Dass ich hinten noch etwas abziehe liegt daran, dass die Kombination $(x,x)$ ja nur die Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch [/mm] 1{36}$ hat.
Jetzt müsstest du eigentlich mit Formeln wie [mm] $\summe_{k=1}^n k=\bruch{n(n+1)}2$ [/mm] zum Ziel kommen...
Vielleicht gibt es noch eine elegantere Methode, mir ist aber leider keine eingefallen. Überhaupt hoffe ich, dass das hier richtig ist, Kombinatorik ist immer ganz schön kniffelig...
Gruß, banachella
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Betrachte bei b) die drei Ereignisse
[mm]A_1 = \text{Spieler 1 gewinnt}[/mm]
[mm]A_2 = \text{Spieler 2 gewinnt}[/mm]
[mm]B = \text{unentschieden}[/mm]
Aus Symmetriegründen haben die ersten beide dieselbe Wahrscheinlichkeit [mm]p[/mm]:
[mm]P(A_1) = P(A_2) = p[/mm]
Alle drei Ereignisse bilden aber eine Zerlegung des gesamten Wahrscheinlichkeitsraumes. Also kannst du das gesuchte [mm]p[/mm] aus der Formel
[mm]2p + P(B) = 1[/mm]
berechnen. Jetzt brauchst du nur noch [mm]P(B)[/mm]. Das ist aber nicht allzu schwer.
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Hmmh, hänge irgendwo noch fest.
Ist die Wahrscheinlichkeit, das beide Spieler einen bestimmten Pasch werfen 1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/1296 bzw. dass Sie überhaupt einen Pasch werfen 1/216 ?
Weiss irgenwie nicht richtig weiter...
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Richtig. Und die Wahrscheinlichkeit für diejenigen Fälle, wo beide denselben Nicht-Pasch werfen, mußt du für ein Unentschieden noch addieren. Wie du schon bemerkt hattest, war die Wahrscheinlichkeit, daß ein Spieler einen konkreten Nicht-Pasch, z.B. 52 (zu identifizieren mit 25), wirft, [mm]\frac{1}{18}[/mm], daß also beide diesen Nicht-Pasch werfen, kommt mit Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{18}[/mm] vor. Und jetzt brauchst du noch, wieviele verschiedene Nicht-Pasch es gibt. Das kann man mit Kombinatorik berechnen, hier wegen der geringen Zahl aber sogar von Hand abzählen.
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So, also wenn ich mal durchrechne ergibt sich bei mir folgendes:
1) Die Wahrscheinlichkeit, das beide denselben Pasch werfen ist:
1/216, = 0,463 %
2) Die Wahscheinlichkeit, das beide dieselbe Zahl werfen ist:
1/18 * 1/18 * 30 = 0,0926 = 9,26 %
(die 30 sind abgezählt, wie kriegt man das mit Kominatorik hin ???)
Somit ergibt sich als Wahrscheinlichkeit: 1 - 0,00463 - 0,0926 = 0,90277, was man durch 2 teilen (wegen Symmetrie) muss also 0,4514 = 45,14 %, dass Spieler B eine höhere Augenzahl als Spieler A wirft.
Ist das richtig so? Und wie komme ich an die 30 mit Hilfe der Kombinatorik?
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Beachte, daß du in die Wahrscheinlichkeit [mm]\frac{1}{18}[/mm] schon hineingepackt hast, daß du z.B. 52 und 25 identifizierst. Du darfst daher jedes Paar nur einmal zählen. Die Reihenfolge darf nicht berücksichtigt werden:
61 51 41 31 21
62 52 42 32
63 53 43
64 54
65
Und das sind gerade [mm]15[/mm] Stück, und zwar deshalb, weil man aus 6 unterscheidbaren Objekten 1,2,3,4,5,6 zwei mit einem Griff auswählt:
[mm]{6 \choose 2} = 15[/mm]
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