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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 21.09.2013 | | Autor: | Peon |
Hallo zusammen,
es geht um folgendes Phänomen:
Man hat 10 Würfel und wenn bei einem Würfel eine 1 fällt, steht dies für eine positive Mutation. Nun gibt es zwei Ansätze:
1) Man wirft alle 10 Würfel und nur wenn ALLE Würfel eine 1 zeigen, kommt es zu einer positiven Mutation. Also Wkt. (1/6)^10.
2) Man wirft 10 Würfel und man nimmt immer alle Würfel mit einer 1 (positive Mutation) aus dem Spiel und macht mit dem Rest weiter, bis man mit allen Würfeln eine 1 geworfen hat.
Wie groß ist da die Wkt.? Ich bin mir nicht sicher, ob man da mit bedingter Wkt rechnen muss oder einfach sagen kann 1/6*10 + 1/6*9 + ... + 1/6 ?
Vielleicht hat einer eine Idee dazu?
Danke
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Hallo,
> Hallo zusammen,
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> es geht um folgendes Phänomen:
> Man hat 10 Würfel und wenn bei einem Würfel eine 1
> fällt, steht dies für eine positive Mutation. Nun gibt es
> zwei Ansätze:
> 1) Man wirft alle 10 Würfel und nur wenn ALLE Würfel
> eine 1 zeigen, kommt es zu einer positiven Mutation. Also
> Wkt. (1/6)^10.
> 2) Man wirft 10 Würfel und man nimmt immer alle Würfel
> mit einer 1 (positive Mutation) aus dem Spiel und macht mit
> dem Rest weiter, bis man mit allen Würfeln eine 1 geworfen
> hat.
> Wie groß ist da die Wkt.?
Welche Wahrscheinlichkeit? Das was du hier schilderst, hört sich eher so an, als ob du einen Erwartungswert suchst.
> Ich bin mir nicht sicher, ob
> man da mit bedingter Wkt rechnen muss oder einfach sagen
> kann 1/6*10 + 1/6*9 + ... + 1/6 ?
>
Letzteres macht schon deshalb als Wahrscheinlichkeit keinen Sinn, weil es auf einen Wert >1 fürht. Wenn du den Erwartungswert haben möchtest für die Anzahl der Durchführungen des Experiments, dann ist das oben definitiv falsch.
Ich muss noch darüber nachdenken, aber der Erwartungswert für die Anzahl der Würfe scheint mir so wie geschildert eher ein ziemlich anspruchsvolles Problem zu sein.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Sa 21.09.2013 | | Autor: | abakus |
Es seien die Zufallsgrößen [mm] $W_1$ [/mm] bis [mm] $W_{10}$ [/mm] die Anzahl der Würfe, die man mit dem jeweiligen Würfel braucht, um eine 1 zu erhalten.
Mir schwirrt im Hinterkopf der Begriff "mittlere Wartezeit" herum.
Wir suchen wahrscheinlich den Erwartungswert für das Maximum der 10 Erwartungswerte...
Gruß Abakus
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> Es seien die Zufallsgrößen [mm]W_1[/mm] bis [mm]W_{10}[/mm] die Anzahl der
> Würfe, die man mit dem jeweiligen Würfel braucht, um eine
> 1 zu erhalten.
>
> Mir schwirrt im Hinterkopf der Begriff "mittlere Wartezeit"
> herum.
> Wir suchen wahrscheinlich den Erwartungswert für das
> Maximum der 10 Erwartungswerte...
>
> Gruß Abakus
Hallo Abakus,
netter Versuch, der Aufgabe irgendeinen Sinn abzugewinnen.
Was dies dann aber noch mit dem Aufhänger-Stichwort
"Mutation" zu tun haben soll, bleibt dann wohl auf der
Strecke ...
Gruß , Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Di 24.09.2013 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Stellen Sie sich folgendes Szenario vor: Es kommt zu einerm drastischen Klimawandel, wie schon so oft in der Erdgeschichte. Nur wer sich schnell genug an die kälteren Temperaturen und die schneebedeckte Landschaft anpassen kann, hat Chancen zu überleben. Eine Population von Kaninchen mit dünnem, dunkelbraunem Fell benötigt einen dichten Pelz zur Wärmeisolation und außerdem einen Farbwechsel von braun nach weiß, um von herumstreunenden, hungringen Wölfen und anderen Raubtieren möglichst schlecht gesehen zu werden.
Annahme a: Um das zu erreichen, muss jeweils eine einzig mögliche, vorteilhafte Mutation in jedem von 6 verschiedenen Genen erfolgen. In jedem Gen kann es 6 verschiedene Mutationen geben, die eine merkliche Auswirkung haben (nur die werden hier beachtet!), von denen aber wie gesagt 5 nachteilig sind.
-a-1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, wenn alle 6 Vorteilsmutationen spontan in einer Generation (=auf einmal) auftreten sollen?
-a-2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, wenn alle 6 Vorteilsmutationen schrittweise erfolgen können, da jede von diesen für sich allein einen Schritt in die richtige Richtung bedingt (Fell etwas heller oder etwas dichter, d.h. jeder Würfel der eine 6 zeigt wird aus dem Spiel genommen und mit dem Rest weitergewürfelt) und deshalb einer positiven Selektion unterliegt.
Testen Sie die Wahrscheinlichkeiten einemal mit Hilfe von 6 üblichen Würfeln (1 Würfel = 1 Gen; Zahlen = Allele: "1-5" = nachteilige Mutationen, Zahl "6" = vorteilhafte Mutation) und zum anderen berechnen Sie diese mit Hilfe eines Taschenrechners. [...]
Annahme b: DIe Grundbedingungen seinen wie unter a) angegeben, aber jetzt kann jedes Gen in 12 (bzw. 20) verschiedenen Varianten (Allelen) vorliegen, von denen wieder nur eine vorteilhaft ist. Nutzen Sie dafür 6 Würfel mit jeweils 12 Flächen. Was sind die Ergebnisse?
Annahme c: Die Grundbedingungen seien wie unter a) angegeben, aber jetzt werden 12 Gene benötgit, die jeweils zu der einzigen vorteilhaften Allelvarianten von 6 möglichen mutieren müssen. Nutzen Sie dafür 12 Würfel mit je 6 Flächen. Was sind Ihre Ergebnisse?
Annahme d: DIe Grundbedingungen seien wie unter a) angegeben, aber die 6 Vorteilsallele müssen entweder (1) alle zusammen gleichzeitig auftreten (s. a-2) oder (2) zumindest in einer bestimmten Reihenfolge vorliegen, da deren Genprodukte eine Funktionskaskade darstellen. Also erst wenn von Gen 6 (grau) das geeignete Genprodukt (=6 Augen) vorliegt, bringt die Bildung eines positiv mutierten Genprodukts von Gen 5 (=6 Augen; weinrot) einen kleien Vorteil (z.B. Haare grau statt braun). Erst wenn das passiert ist, wirkt sich eine günstige Mutation on Gen 4 (hellblau) positiv aus usw. Nutzen Sie dafür 6 verschiedenfarbige Würfel. Eine "6" in der falschen Reiehnfolge schadet aber nützt auch nicht.
Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeiten für Fall (1) und (2) |
So nachdem ich die Aufgabenstellung wohl etwas verwirrend bzw. falsch wiedergegeben habe, habe ich den Zettel von vor 2 Jahren noch in meinen Unterlagen gefunden und die Aufgaben exakt übernommen. Ich kann euch auch mal die Ergebnisse dazu nennen, die wir heraus bekommen haben.
a-1: P=1/46656 (bzw. mit eurem einwand, eine EW von 46656 Würfen?)
a-2: P= 1/15, keine Ahnung wie man darauf gekommen ist. Hier geht es ja jetzt darum, dass man mit 6 Würfeln würfelt und man immer alle 6 herausnimmt und mit dem Rest weitermacht. Dafür will man dann den EW, wieviel Würfe man benötigt? Oder?
b) P=1/3000000 [mm] (1/(12^6))
[/mm]
bzw. P =1/64000000 [mm] (1/20^6))
[/mm]
c) P=1/2176782336 (1/6^12)
d (2): P=1/36 (1/6+1/6+...+1/6)
Und ich bin mir bei der a-2: unsicher ob man das so rechnen kann und bei der b (2) auch, weil man da doch beachten muss, was vorher eingetreten ist, als beispiel zu a-2:
Man wirft alle 6 Würfel, dann kann ja theoretisch keine, eine, zwei..., sechs 6 fallen und davon hängt ja der zweite Wurf ab? Kann man das mit einem Wahscheinlichkeitsbaum mal druchgehen?
So, ich hoffe ich habe nicht noch mehr Verwirrung gestiftet und ihr habt noch Lust zu antworten?
DAnke Peon
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> Stellen Sie sich folgendes Szenario vor: Es kommt zu einerm
> drastischen Klimawandel, wie schon so oft in der
> Erdgeschichte. Nur wer sich schnell genug an die kälteren
> Temperaturen und die schneebedeckte Landschaft anpassen
> kann, hat Chancen zu überleben. Eine Population von
> Kaninchen mit dünnem, dunkelbraunem Fell benötigt einen
> dichten Pelz zur Wärmeisolation und außerdem einen
> Farbwechsel von braun nach weiß, um von herumstreunenden,
> hungringen Wölfen und anderen Raubtieren möglichst
> schlecht gesehen zu werden.
>
> Annahme a: Um das zu erreichen, muss jeweils eine einzig
> mögliche, vorteilhafte Mutation in jedem von 6
> verschiedenen Genen erfolgen. In jedem Gen kann es 6
> verschiedene Mutationen geben, die eine merkliche
> Auswirkung haben (nur die werden hier beachtet!), von denen
> aber wie gesagt 5 nachteilig sind.
> -a-1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, wenn alle 6
> Vorteilsmutationen spontan in einer Generation (=auf
> einmal) auftreten sollen?
> -a-2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, wenn alle 6
> Vorteilsmutationen schrittweise erfolgen können, da jede
> von diesen für sich allein einen Schritt in die richtige
> Richtung bedingt (Fell etwas heller oder etwas dichter,
> d.h. jeder Würfel der eine 6 zeigt wird aus dem Spiel
> genommen und mit dem Rest weitergewürfelt) und deshalb
> einer positiven Selektion unterliegt.
>
> Testen Sie die Wahrscheinlichkeiten einmal mit Hilfe von 6
> üblichen Würfeln (1 Würfel = 1 Gen; Zahlen = Allele:
> "1-5" = nachteilige Mutationen, Zahl "6" = vorteilhafte
> Mutation) und zum anderen berechnen Sie diese mit Hilfe
> eines Taschenrechners. [...]
>
> Annahme b: DIe Grundbedingungen seien wie unter a)
> angegeben, aber jetzt kann jedes Gen in 12 (bzw. 20)
> verschiedenen Varianten (Allelen) vorliegen, von denen
> wieder nur eine vorteilhaft ist. Nutzen Sie dafür 6
> Würfel mit jeweils 12 Flächen. Was sind die Ergebnisse?
>
> Annahme c: Die Grundbedingungen seien wie unter a)
> angegeben, aber jetzt werden 12 Gene benötgit, die jeweils
> zu der einzigen vorteilhaften Allelvarianten von 6
> möglichen mutieren müssen. Nutzen Sie dafür 12 Würfel
> mit je 6 Flächen. Was sind Ihre Ergebnisse?
>
> Annahme d: Die Grundbedingungen seien wie unter a)
> angegeben, aber die 6 Vorteilsallele müssen entweder (1)
> alle zusammen gleichzeitig auftreten (s. a-2) oder (2)
> zumindest in einer bestimmten Reihenfolge vorliegen, da
> deren Genprodukte eine Funktionskaskade darstellen. Also
> erst wenn von Gen 6 (grau) das geeignete Genprodukt (=6
> Augen) vorliegt, bringt die Bildung eines positiv mutierten
> Genprodukts von Gen 5 (=6 Augen; weinrot) einen kleien
> Vorteil (z.B. Haare grau statt braun). Erst wenn das
> passiert ist, wirkt sich eine günstige Mutation on Gen 4
> (hellblau) positiv aus usw. Nutzen Sie dafür 6
> verschiedenfarbige Würfel. Eine "6" in der falschen
> Reiehnfolge schadet aber nützt auch nicht.
> Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeiten für Fall (1) und
> (2)
> So nachdem ich die Aufgabenstellung wohl etwas verwirrend
> bzw. falsch wiedergegeben habe, habe ich den Zettel von vor
> 2 Jahren noch in meinen Unterlagen gefunden und die
> Aufgaben exakt übernommen. Ich kann euch auch mal die
> Ergebnisse dazu nennen, die wir heraus bekommen haben.
>
> a-1: P=1/46656 (bzw. mit eurem Einwand, eine EW von 46656
> Würfen?)
> a-2: P= 1/15, keine Ahnung wie man darauf gekommen ist.
> Hier geht es ja jetzt darum, dass man mit 6 Würfeln
> würfelt und man immer alle 6 herausnimmt und mit dem Rest
> weitermacht. Dafür will man dann den EW, wieviel Würfe
> man benötigt? Oder?
>
> b) P=1/3000000 [mm](1/(12^6))[/mm]
> bzw. P =1/64000000 [mm](1/20^6))[/mm]
>
> c) P=1/2176782336 (1/6^12)
>
> d (2): P=1/36 (1/6+1/6+...+1/6)
>
> Und ich bin mir bei der a-2: unsicher ob man das so rechnen
> kann und bei der b (2) auch, weil man da doch beachten
> muss, was vorher eingetreten ist, als Beispiel zu a-2:
> Man wirft alle 6 Würfel, dann kann ja theoretisch keine,
> eine, zwei..., sechs 6 fallen und davon hängt ja der
> zweite Wurf ab? Kann man das mit einem
> Wahscheinlichkeitsbaum mal durchgehen?
>
> So, ich hoffe ich habe nicht noch mehr Verwirrung gestiftet
> und ihr habt noch Lust zu antworten?
>
> Danke Peon
Hallo Peon,
auf diese Weise wird irgendwie klarer, was gemeint war.
Vorteilhafte Teil-Mutationen, die jeweils nur einen kleinen
Schritt in die richtige Richtung bedeuten, können akkumuliert
werden; es müssen nicht alle Mutationen wie durch ein
Wunder auf einen Schlag eintreffen.
In den Diskussionen zwischen religiös ausgerichteten
Kreisen und Evolutionstheoretikern geht es ja zu einem
Teil ziemlich genau um solche Alternativen ...
Zu a-2 :
Ich habe diesen Erwartungswert nun selber auch hergeleitet
und den erhaltenen Wert auch durch eine umfangreiche
Computersimulation getestet. Die Berechnung war allerdings
doch nicht ganz einfach - und auch nicht kurz, weshalb ich
sie hier nicht vorführen will. Der Baum, den ich da durch-
forsten (und dann die Resultate in geeigneter Form zusam-
menfassen) musste, war doch recht komplex.
Vielleicht kennt ja aber jemand einen eleganteren Weg und
könnte den hier allenfalls zeigen.
Ich bin rechnerisch auf ungefähr 13.94 gekommen, und die
viermalige Simulation von jeweils 300'000 Wurfserien
führte jedesmal zu einem Wert zwischen 13.9 und 14.0 .
Der angegebene Wert 15 ist also ein wenig zu hoch.
Auf eine Untersuchung der anderen Fälle habe ich verzichtet.
LG , Al-Chwarizmi
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> Zu a-2 :
>
> Ich habe diesen Erwartungswert nun selber auch hergeleitet
> und den erhaltenen Wert auch durch eine umfangreiche
> Computersimulation getestet. Die Berechnung war allerdings
> doch nicht ganz einfach - und auch nicht kurz, weshalb ich
> sie hier nicht vorführen will. Der Baum, den ich da
> durch-
> forsten (und dann die Resultate in geeigneter Form zusam-
> menfassen) musste, war doch recht komplex.
> Vielleicht kennt ja aber jemand einen eleganteren Weg und
> könnte den hier allenfalls zeigen.
> Ich bin rechnerisch auf ungefähr 13.94 gekommen, und die
> viermalige Simulation von jeweils 300'000 Wurfserien
> führte jedesmal zu einem Wert zwischen 13.9 und 14.0 .
> Der angegebene Wert 15 ist also ein wenig zu hoch.
Hallo,
gerade habe ich beim Suchen im Netz eine Diskussion zu
genau dieser Aufgabe gefunden:
http://gruppen.niuz.biz/w-t560863.html
Die dort erwähnte Rekursionsformel lautet, etwas besser dargestellt:
. $\ 1 + [mm] B(n,\frac{1}{6},n-1)*E_1 [/mm] + [mm] B(n,\frac{1}{6},n-2)*E_2 [/mm] +\ .....\ + [mm] B(n,\frac{1}{6},1)*E_{n-1}$
[/mm]
. [mm] E_n [/mm] = __________________________________________________
.
. $\ 1 - B(n,1/6,0)$
Es wird mit [mm] E_1=6 [/mm] gestartet, und als Ergebnis für [mm] E_6
[/mm]
wird angegeben: $\ [mm] E_6\ [/mm] =\ 13.94$
Man könnte auch mit [mm] E_0=0 [/mm] starten und die Rekursionsformel
so schreiben:
$\ [mm] E_n\ [/mm] =\ \ [mm] \frac{1\ +\ \summe_{k=1}^{n-1}B(n,p,n-k)*E_k}{1-B(n,p,0)}$
[/mm]
Dabei ist $\ B(n,p,k)\ =\ [mm] \pmat{n\\k}*p^k*(1-p)^{n-k}\quad [/mm] und [mm] \quad [/mm] p\ =\ [mm] \frac{1}{6}$
[/mm]
Dies entspricht, falls ich mich nicht verschrieben habe,
dem Ergebnis, das ich ebenfalls hergeleitet habe.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Do 26.09.2013 | | Autor: | Peon |
Genau darum geht es! Wir haben das im Bio-Studium besprochen und damals war mir die Rechnung, die der Dozent angegeben hat schon nicht ganz koscher, habe aber mein Gehirnschmalz damals nicht genutzt. Brauche dieses Arbeitsblatt nun selber für ein Seminar und dachte, jetzt versuchst du es mal mit der richtigen Berechnung. Die Frage ist jetzt nur, ob ich das so machen kann, weil es dann keiner im Bio-Seminar versteht... mmh naja, anderes Problem.
Danke für eure Hinweise!
EDIT: Gibt es den Würfelsimulator im Netz?
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Hallo Peon
Nein, dieses Simulationsprogramm habe ich so wie
in vielen anderen Fällen so ad hoc geschrieben, und
zwar in einer Version der Programmiersprache
Pascal, welche mit den meisten heute verwendeten
Betriebssystemen nicht mehr verträglich ist.
Allenfalls könnte ich Interessierten den Programm-
text zur Verfügung stellen, den sie dann in ihre
eigene Programmierumgebung übersetzen könnten.
LG , Al-Chwarizmi
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> Gibt es den Würfelsimulator im Netz?
Ja, genau ab jetzt: Hier ist der Programmtext
des Simulationsprogramms, das ich in TopPascal
geschrieben habe:
PROGRAM WuerfelSequenz;
{Text in geschweiften Klammern: Kommentar oder
Programmzeilen, die nicht ausgeführt werden
sollen}
const laufzahl = 30000 ; {kann auch erhöht werden}
var t,n,k,j,summe: longint;
function wuerfelrest(n:integer):integer;
var w,rest,augen: integer;
begin
rest:=n;
for w:=1 to n do
begin
augen:=uRandom1n(6); {Zufallszahl aus 1..6}
{write(augen:6);}
if augen=6 then rest:=rest-1;
end;
{writeln;}
wuerfelrest:=rest;
end;
{----------------------------------------------------}
BEGIN
cleartext;
summe:=0;
for j:=1 to laufzahl do
begin
n:=6; t:=0;
while n>0 do
begin
t:=t+1;
n:=wuerfelrest(n);
end;
{writeln(j:6 , ' t = ', t:6);}
summe:=summe+t;
end;
writeln;
writeln(' Laufzahl = ' , j:13); writeln;
writeln(' Mittelwert = ' , summe/laufzahl:12:4)
END.
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