Wurzel aus 9 < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Fr 06.04.2012 | | Autor: | matheman |
Hallo,
bisher dachte ich immer, dass [mm] \wurzel{9} [/mm] = 3 wäre. Bis ich diese ![[]](/images/popup.gif) Vorlesung mir angesehen habe (Nr. 35, Zeit 5:51).
Sehe ich das falsch, oder behauptet der Prof. da, dass [mm] \wurzel{9} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 3
Danke für Aufklärung.
matheman
|
|
| |
|
Hallo, schaue dir mal diese Artikel an, dann sollte alles klar sein, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Fr 06.04.2012 | | Autor: | matheman |
Hallo Steffi,
ja, diese Definition einer Wurzel kenne ich. Aber in dem Video wir doch gesagt, dass die Wurzel nicht eindeutig ist. Auch wenn es ein Matheprof. ist würde ich sagen: das ist falsch. Die Wurzel ist def.gemäß [mm] \ge [/mm] 0.
matheman
|
|
|
| |
|
Naja,in der engl. Wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root wird es etwas ausführlicher erklärt:
Jede positive (genauer: nicht-negative) reelle Zahl hat (nur) eine nicht-negative Zahl als Wurzel, die auch als erste Wurzel(-Zahl) / erster/vorrangiger Wuzel-Wert bezeichnet wird.
Every non-negative real number a has a unique non-negative square root, called the principal square root,
Jede positive Zahl hat (aber) zwei Werte als Wurzel: [mm] \wurzel{a} [/mm] als positiven und [mm] -\wurzel{a} [/mm] als negativen Wert. Zusammengefasst wird auch geschrieben: [mm] \pm\wurzel{a}. [/mm]
Every positive number a has two square roots: [mm] \wurzel{a}, [/mm] which is positive, and [mm] -\wurzel{a}, [/mm] which is negative. Together, these two roots are denoted [mm] \pm\wurzel{a}. [/mm]
Although the principal square root of a positive number is only one of its two square roots, the designation "the square root" is often used to refer to the principal square root.
Link: http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root
LG Eisfisch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Fr 06.04.2012 | | Autor: | matheman |
Hallo Eisfish
> Jede positive (genauer: nicht-negative) reelle Zahl hat
> (nur) eine nicht-negative Zahl als Wurzel
Das deckt sich mit meinen Schulkenntnissen.
> Jede positive Zahl hat (aber) zwei Werte als Wurzel:
> [mm]\wurzel{a}[/mm] als positiven und [mm]-\wurzel{a}[/mm] als negativen
> Wert. Zusammengefasst wird auch geschrieben:
> [mm]\pm\wurzel{a}.[/mm]
Das widerspricht doch dem, was zuerst gesagt wurde. Wieso sollte jetzt jede Zahl zwei Wurzeln haben.
Ich kenne das so: [mm] x^{2}=9 [/mm] <=> [mm] x=\wurzel{9} [/mm] v [mm] x=-\wurzel{9}. [/mm] Aber dabei ist jeded Mal [mm] \wurzel{9} [/mm] > 0.
Was soll das jetzt mit den zwei Werten? Habe ich noch in keinem Mathebuch so gelesen.
matheman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Fr 06.04.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo Eisfish
>
> > Jede positive (genauer: nicht-negative) reelle Zahl hat
> > (nur) eine nicht-negative Zahl als Wurzel
>
> Das deckt sich mit meinen Schulkenntnissen.
>
> > Jede positive Zahl hat (aber) zwei Werte als Wurzel:
> > [mm]\wurzel{a}[/mm] als positiven und [mm]-\wurzel{a}[/mm] als negativen
> > Wert. Zusammengefasst wird auch geschrieben:
> > [mm]\pm\wurzel{a}.[/mm]
>
> Das widerspricht doch dem, was zuerst gesagt wurde. Wieso
> sollte jetzt jede Zahl zwei Wurzeln haben.
>
> Ich kenne das so: [mm]x^{2}=9[/mm] <=> [mm]x=\wurzel{9}[/mm] v [mm]x=-\wurzel{9}.[/mm]
> Aber dabei ist jeded Mal [mm]\wurzel{9}[/mm] > 0.
>
> Was soll das jetzt mit den zwei Werten? Habe ich noch in
> keinem Mathebuch so gelesen.
Hallo,
das hängt wohl mit der Übersetzung zusammen, indem "root" als "Lösung" übersetzt wird.
Die Gleichung [mm] $x^2=9$ [/mm] hat zwei Lösungen.
Die Zahl 9 hingegen hat nur eine Wurzel.
Gruß Abakus
>
> matheman
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Sa 07.04.2012 | | Autor: | matheman |
Hallo Abakus,
hast du dir mal die Stelle in dem Video angesehen? Ich meine, dass man das doch so nicht an die Tafel schreiben kann, oder?
Grüße
matheman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Abakus,
> hast du dir mal die Stelle in dem Video angesehen? Ich
> meine, dass man das doch so nicht an die Tafel schreiben
> kann, oder?
> Grüße
> matheman
solange wir im reellen arbeiten, würde ich das so niemals hinschreiben: Du hast dann vollkommen recht: [mm] $\sqrt{9}=3\,,$ [/mm] denn
[mm] $$x^2=9 \gdw [/mm] (x+3)(x-3)=0 [mm] \gdw [/mm] x=3 [mm] \vee x=-3\,,$$
[/mm]
und $-3 < [mm] 0\,$ [/mm] kann daher nicht [mm] $\sqrt{9} \ge [/mm] 0$ sein, und wegen $3 [mm] \ge [/mm] 0$ muss dann [mm] $\sqrt{9}=3$ [/mm] sein.
Im Bereich der komplexen Zahlen würde ich (vielleicht entgegen anderer gängiger Konventionen) sowas schreiben
[mm] $$\sqrt[2]{9}=\{\pm 3\}\,.$$
[/mm]
Wobei ich dann vielleicht auch [mm] $\sqrt[2]{9}$ [/mm] durch ein anderes Symbol ersetzen sollte... aber nun gut: So oft habe ich eh noch nicht mit komplexen Wurzeln (also wirklich dem Symbol [mm] $\sqrt[n]{z}$) [/mm] gearbeitet. Das hat mich schon öfters verwirrt. Ich arbeite einfach lieber mit der Gleichung, die dieses Symbol widerspiegelt!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Sa 07.04.2012 | | Autor: | matheman |
Ok. Ich verstehe jetzt, was du meinst.
Ich habe mir die Stelle in der VL nochmal angesehen. Der Prof. sagt ja vorher, dass der eine Zahl sucht, die quadriert 9 ergibt. D.h. er will die quadr. Gleichung [mm] x^{2}=9 [/mm] lösen. Dann hat er natürlich seine zwei Lösungen. Bloß er darf es geben nicht [mm] \wurzel{9}=\pm [/mm] 3 aufschreiben.
Danke für deine Erklärungen.
matheman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok. Ich verstehe jetzt, was du meinst.
>
> Ich habe mir die Stelle in der VL nochmal angesehen. Der
> Prof. sagt ja vorher, dass der eine Zahl sucht, die
> quadriert 9 ergibt. D.h. er will die quadr. Gleichung
> [mm]x^{2}=9[/mm] lösen. Dann hat er natürlich seine zwei
> Lösungen. Bloß er darf es geben nicht [mm]\wurzel{9}=\pm[/mm] 3
> aufschreiben.
das Problem ist halt, dass das Symbol [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] etwas ist, was sozusagen "auf der ganzen Welt in einer gängigen Art und Weise benutzt wird". Der Prof. benutzt es halt in einer anderen Weise - und da hast Du Recht: Das sollte er nicht und in einem gewissen Sinne "darf" er es auch nicht.
> Danke für deine Erklärungen.
Gerne. Frohes Fest!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Meines Erachtens fehlt ein entscheidendes Detail in der Definition des Video-Profs: "... diejenige nicht-negative Zahle, welche ...".
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Fr 06.04.2012 | | Autor: | matheman |
Hi Loddar,
das sehe ich genauso. Jede Zahl a [mm] \in \IR [/mm] ist eindeutig, damit auch [mm] \wurzel{9}.
[/mm]
matheman
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Loddar,
> das sehe ich genauso. Jede Zahl a [mm]\in \IR[/mm] ist eindeutig,
> damit auch [mm]\wurzel{9}.[/mm]
das ist eine witzige Interpretation. Es geht ja nicht darum, ob eine Zahl $a [mm] \in \IR$ [/mm] eindeutig ist, sondern ob die Definition [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$ eindeutig eine Zahl [mm] $\in \IR$ [/mm] ergibt.
Wenn der Prof. nur sagt [mm] "$\sqrt{x}$ [/mm] ist eine reelle Zahl [mm] $a\,,$ [/mm] die die Gleichung [mm] $a^2=x$ [/mm] erfüllt", dann hat er recht: Mit dieser Definition ist für $x [mm] \ge [/mm] 0$ dann [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] NICHT EINDEUTIG definiert.
Aber diese Definition ist dann eine eigene Definition des Profs., die nicht mit der gängigen gleichwertig ist. Er kann ruhig sowas sagen:
"Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ soll [mm] $w(x)=\pm \sqrt{x}$ [/mm] bedeuten."
Dann ist aber [mm] $w\,$ [/mm] sicher keine Funktion mehr auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
Allerdings wäre dann [mm] $w(9)=\pm [/mm] 3$ sinnvoll...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:36 Sa 07.04.2012 | | Autor: | matheman |
Hallo Marcel,
> das ist eine witzige Interpretation. Es geht ja nicht
> darum, ob eine Zahl [mm]a \in \IR[/mm] eindeutig ist, sondern ob die
> Definition [mm]\sqrt{x}[/mm] für [mm]x \ge 0[/mm] eindeutig eine Zahl [mm]\in \IR[/mm]
> ergibt.
Aber jede Zahl in R ist doch eindeutig. Es gibt keine zwei Bedeutungen irgendeier Zahl. Also kann man auch nicht schreiben [mm] \wurzel{9}=\pm [/mm] 3
So meinte ich es.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > das ist eine witzige Interpretation. Es geht ja nicht
> > darum, ob eine Zahl [mm]a \in \IR[/mm] eindeutig ist, sondern ob die
> > Definition [mm]\sqrt{x}[/mm] für [mm]x \ge 0[/mm] eindeutig eine Zahl [mm]\in \IR[/mm]
> > ergibt.
>
> Aber jede Zahl in R ist doch eindeutig. Es gibt keine zwei
> Bedeutungen irgendeier Zahl. Also kann man auch nicht
> schreiben [mm]\wurzel{9}=\pm[/mm] 3
> So meinte ich es.
aber es ist per Definitionem erstmal gar nicht so klar, ob [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] stets in eindeutiger Weise eine reelle Zahl ergibt. (Man definiert aber das Wurzelsymbol [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] eben so, dass für eine nichtnegative reelle Zahl auch in eindeutiger Weise eine nichtnegative reelle Zahl rauskommt. Selbst das ist nicht so klar: Da bedarf's der Vollständigkeit von [mm] $\IR\,,$ [/mm] damit sowas überhaupt als existent angenommen werden darf!)
Definiere ich das Symbol $w(x)$ als "eine reelle Zahl, deren Quadrat [mm] $x\,$ [/mm] ergibt", so ist $w(9)$ nicht eindeutig definiert: Es kann dann $w(9)=3$ oder $w(9)=-3$ sein: Da steht ja nicht [mm] $w(9)=3=-3\,,$ [/mm] wenn ich [mm] $w(9)=\pm [/mm] 3$ schreibe, sondern es bedeutet eben $w(9) [mm] \in \{-3,3\}\,,$ [/mm] oder anders gesagt: [mm] $w(9)=3\,$ [/mm] ODER [mm] $w(9)=-3\,.$ [/mm]
Das ist also wirklich eine "Definition mit eigentlich vielen Überlegungen, die man in der Schule etwa einfach unter den Tisch fallen läßt". Diese "einfache Definition" bedarf also eigentlich einiges an mathematischem Hintergrundwissen! (Damit Eindeutigkeit und Existenz gesichert sind. Natürlich nicht etwa bei [mm] $\sqrt{9}\,,$ [/mm] sondern bei [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] für jedes $x [mm] \ge [/mm] 0.$)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> bisher dachte ich immer, dass [mm]\wurzel{9}[/mm] = 3 wäre. Bis ich
> diese
> Vorlesung
> mir angesehen habe (Nr. 35, Zeit 5:51).
in den reellen Zahlen definiert man [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$ als diejenige Zahl $a [mm] \ge [/mm] 0,$ die [mm] $a^2=x$ [/mm] erfüllt. Natürlich ist diese eindeutig definiert - der Prof. redet diesbezüglich dort daher Unsinn - was man auch merkt, als er von [mm] $\sqrt{-4}$ [/mm] zu reden anfängt. Natürlich existiert sowas, vielleicht nicht im Bereich der reellen Zahlen, und man muss klären, was das "Symbol" bedeuten soll - mehr aber auch nicht: Schließlich ist [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] ja eh erstmal nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$ definiert.
Im Bereich der komplexen Zahlen sieht das evtl. ein wenig anders aus: Man schreibt dort [mm] $\sqrt[n]{z}=a$ [/mm] für eine jede Lösung der Gleichung [mm] $a^n=z$ [/mm] - derer gibt es dort genau [mm] $n\,$ [/mm] an der Zahl. Ich selber interpretiere im Bereich der komplexen Zahlen [mm] $\sqrt[n]{z}$ [/mm] als die Menge alle komplexen Lösungen [mm] $a\,,$ [/mm] die die Gleichung [mm] $a^n=z$ [/mm] lösen. Und eine spezielle Lösung dieser in einem gewissen Sinne als Repräsentant dieser Menge.
> Sehe ich das falsch, oder behauptet der Prof. da, dass
> [mm]\wurzel{9}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 3
Nein, das siehst Du nicht falsch.
> Danke für Aufklärung.
Du hast es im Bereich der reellen Zahlen absolut korrekt erkannt - und in diesem ist erstmal [mm] $\sqrt{9}$ [/mm] auch anzusehen, denn es ist ja $9 [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Daher ist [mm] $\sqrt{9}=3$ [/mm] die einzig richtige Gleichung, die Behauptung [mm] $\sqrt[2]{9}=\sqrt{9}=\pm [/mm] 3$ ist einfach falsch.
Im Bereich der komplexen Zahlen vielleicht nicht ganz so falsch... schließlich ist ja auch [mm] $-3\,$ [/mm] eine Lösung der Gleichung [mm] $x^2=9\,.$ [/mm] Aber der Prof. hat ja anscheinend nur im Bereich von Wurzeln aus reellen Zahlen gearbeitet. Also: Vergiss' seine Behauptung, halte Dich lieber an altbewährte Lehrbücher (etwa Heuser, Analysis I) und lasse Dich nicht verwirren. Eigentlich dürfte dieser Patzer dem Prof. dort nicht passieren, es sei denn, er hat generell "die Wurzel aus einer Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$" auf seine eigene Weise definiert. Und wie Loddar schon bemerkte: Er hat bei seiner Definition tatsächlich etwas wichtiges vergessen, und nur bzgl. seiner (so nicht gängigen!) Definition macht auch seine Schreibweise [mm] $\sqrt{9}=\pm [/mm] 3$ Sinn:
D.h. nennen wir seine Wurzel aus [mm] $x\,$ [/mm] mal [mm] $w(x)\,,$ [/mm] so stimmt sowas wie [mm] $w(9)=\pm \sqrt{9}=\pm 3\,.$ [/mm] Aber sein Symbol [mm] $w\,$ [/mm] (was dann auch keine Funktion [mm] $[0,\infty) \to \IR$ [/mm] mehr sein kann) passt nicht zu dem Symbol [mm] $\sqrt{.}\,.$ [/mm] Das heißt: [mm] $w\,$ [/mm] und [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] sind dann so definiert, dass sie "nicht gleichwertiges widerspiegelen"!
(Anders gesagt: Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt NICHT $a=w(x) [mm] \gdw a=\sqrt{x}\,.$)
[/mm]
(Denn bekanntermaßen gilt per Definitionem [mm] $\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}$ [/mm] - also auch die Schreibweise [mm] $\sqrt[2]{x}$ [/mm] hat er nicht neu definiert, sondern nur etwas hingeschrieben, was aber nicht mit der gägngigen Definition übereinstimmt.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Sa 07.04.2012 | | Autor: | matheman |
Hallo,
> ist diese eindeutig definiert - der Prof. redet
> diesbezüglich dort daher Unsinn
Gut. Das wollte ich wissen.
Vielen Dank Marcel.
matheman
|
|
|
|
