Wurzel aus Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 So 29.11.2009 | | Autor: | psybrain |
| Aufgabe | Zeigen Sie: wenn [mm] a_{n} \to [/mm] für n [mm] \to \infty, [/mm] und vorausgesetzt [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 für alle n, dann gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{a_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{a}
[/mm]
Hinweis: Falls [mm] a_{n} [/mm] > 0 und a > 0, so [mm] \wurzel{a_{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{a} [/mm] = [mm] \bruch{(\wurzel{a_{n}} - \wurzel{a})(\wurzel{a_{n}} + \wurzel{a})}{ (\wurzel{a_{n}} + \wurzel{a})} [/mm] |
Hallo,
Bitte um Hilfe bei diesem Beispiel.
Ich habe den gesamten Samstag verbracht, dieses Beispiel zu lösen. Dementsprechend groß ist gerade mein Frust.
Ich habe in vier sehr guten Mathematik Büchern gestörbert und nicht gefunden wie sich das Beweisen lässt. Wie löst man sowas ohne wertvolle Zeit zu verschwenden? War euch das auf anhieb alles klar? :(
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 So 29.11.2009 | | Autor: | max3000 |
Hallo.
Also ich helf mal ein bisschen.
Du musst zeigen dass wenn du dir ein [mm] \epsilon [/mm] vorgibst, dass dann [mm] \wurzel{a_n}-\wurzel{a}<\epsilon [/mm] für ein [mm] n>n_0 [/mm] gilt.
Als Hinweis hast du ja schon was gegeben. Was da im Zähler steht kann man mit binomische Formel zusammenfassen, da hast du dann:
[mm] \wurzel{a_n}-\wurzel{a}=\bruch{a_n-a}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}}<\bruch{\epsilon}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}}
[/mm]
Also hier hast du ausgenutzt, dass ja [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert.
Als nächstes müssen wir uns noch um den Nenner kümmern.
Wir wissen, dass [mm] a_n>0 [/mm] und a>0 gilt. Darum lässt sich das ganze mit einer Konstante abschätzen. Wie man da jetzt genau argumentiert weiss ich leider auch nicht. Ich würde einfach den Nenner durch eine Konstante C, die >0 ist ersetzen. Also folgt dann
[mm] \wurzel{a_n}-\wurzel{a}<\bruch{\epsilon}{C} [/mm] für [mm] $n\ge n_0$
[/mm]
Ich hoffe ich hab dir helfen können.
Den Fall a=0, der glaube ich auch noch zu behandeln ist, wirst du schon irgendwie selbst hinbekommen.
Schönen Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 29.11.2009 | | Autor: | psybrain |
Danke für die rasche Antwort,
Allerdings kommt es mir genau um die Sache mit der Konstante an...
Kann mir das irgendjemand bitte erklären?> Hallo.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
$ [mm] |\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|=\bruch{|a_n-a|}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}}<\bruch{\epsilon}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}} [/mm] $ für n > N
Weiter ist
[mm] \bruch{1}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}} \le \bruch{1}{\wurzel{a}}
[/mm]
FRED
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Danke recht herzlichst, Fred!
Wie ist denn jetzt eigentlich das Ergebnis
[mm] <\bruch{\epsilon}{\wurzel{a}}
[/mm]
für einen Anfänger zu interpretieren?
Wenn an gegen a konvergiert, dann tut die Folge dies ab einem gewissen ne.
Dieselbe Folge "durch die Wurzel gezogen" konvergiert gegen die Wurzel aus dem Grenzwert. Der Epsilon Streifen verändert dann seine Dicke um den Faktor 1/Wurzel(a) ?
Stimmt dies? Und ich habe mir die Rechnung nochmal für den Fall an = 0 angesehen, und bin der Meinung dass ich den Fall nicht extra anführen muss. Stimmt dies auch?
Danke! Ich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Mo 30.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
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> Also ich helf mal ein bisschen.
Dann hilf auch richtig. In Deiner ganzen Hilfestellung warst Du geizig mit Betragsstrichen !!
Aus
> [mm]\wurzel{a_n}-\wurzel{a}<\epsilon[/mm]
sollte
[mm]|\wurzel{a_n}-\wurzel{a}|<\epsilon[/mm]
werden
FRED
>
> Du musst zeigen dass wenn du dir ein [mm]\epsilon[/mm] vorgibst,
> dass dann [mm]\wurzel{a_n}-\wurzel{a}<\epsilon[/mm] für ein [mm]n>n_0[/mm]
> gilt.
>
> Als Hinweis hast du ja schon was gegeben. Was da im Zähler
> steht kann man mit binomische Formel zusammenfassen, da
> hast du dann:
>
> [mm]\wurzel{a_n}-\wurzel{a}=\bruch{a_n-a}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}}<\bruch{\epsilon}{\wurzel{a_n}+\wurzel{a}}[/mm]
>
> Also hier hast du ausgenutzt, dass ja [mm]a_n[/mm] gegen a
> konvergiert.
>
> Als nächstes müssen wir uns noch um den Nenner kümmern.
> Wir wissen, dass [mm]a_n>0[/mm] und a>0 gilt. Darum lässt sich das
> ganze mit einer Konstante abschätzen. Wie man da jetzt
> genau argumentiert weiss ich leider auch nicht. Ich würde
> einfach den Nenner durch eine Konstante C, die >0 ist
> ersetzen. Also folgt dann
>
> [mm]\wurzel{a_n}-\wurzel{a}<\bruch{\epsilon}{C}[/mm] für [mm]n\ge n_0[/mm]
>
> Ich hoffe ich hab dir helfen können.
> Den Fall a=0, der glaube ich auch noch zu behandeln ist,
> wirst du schon irgendwie selbst hinbekommen.
>
> Schönen Gruß
>
> Max
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