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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
| Aufgabe | | Lösungsmenge der Gleichung [mm] (z-j-1)^4 [/mm] =-4 in arithmetischer Form |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo, da mein prof mich bei meiner frage zu dieser Aufgabe nur auf mein Unwissen hinweist wende ich mich an euch.
ich habe versucht folgendermaßen ranzugehen:
1. wurzel ziehen -> (z-j-1)² = 2j
2. vereinfachen -> z(z-2j-2)=0
meine erste frage wäre: ist der ansatz, die gleichung in der form aufzulösen richtig?
so erhält man als erste Lösung ja z=0, als zweite Lösung z= 2+2j .
an sich würde ich meinen das sind die beiden lösungen, da man die gleichung auf den grad 2 reduzieren konnte. oder gibt es hier doch 4 lösungen?
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> hallo, da mein prof mich bei meiner frage zu dieser Aufgabe
> nur auf mein Unwissen hinweist wende ich mich an euch.
Immer die bösen Profs.  Aber gleich zu Beginn sei gesagt, dass er Recht hat mit seiner Kritik.
> ich habe versucht folgendermaßen ranzugehen:
> 1. wurzel ziehen -> (z-j-1)² = 2j
Das würde schon im Reellen so nicht stimmen, beim Ziehen der Quadratwurzel müssen ja schon zwei Lösungen herauskommen.
> 2. vereinfachen -> z(z-2j-2)=0
Öhm, das hast du jetzt irgendwie aus dem Hut gezaubert, aber es scheint richtig zu sein.
> meine erste frage wäre: ist der ansatz, die gleichung in
> der form aufzulösen richtig?
>
> so erhält man als erste Lösung ja z=0, als zweite Lösung
> z= 2+2j .
Also die beiden LÖsungen stimmen, wie man durch Einsetzen leicht prüft.
>
> an sich würde ich meinen das sind die beiden lösungen, da
> man die gleichung auf den grad 2 reduzieren konnte. oder
> gibt es hier doch 4 lösungen?
So ist es, es müssen vier Lösungen sein. Und deine Herangehensweise ist umständlich, da sie - korrekt ausgeführt - von Fallunterscheidungen wimmeln müsste.
Wenn ihr die Eulersche bzw. trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen bereits durchgenommen habt und verwenden dürft, dann kann man die Aufgabe leicht lösen, indem man den Betrag und die vier möglichen Argumente des Klammerinhalts bestimmt. Diese ergeben dann die vier Lösungen.
Vermutlich steht das aber noch nicht zur Verfügung (sonst hättest du es angewendet). Dann würde ich folgendermaßen ansetzen:
Sei v=x+iy
Finde alle Zahlen, die
[mm] v^4=-4
[/mm]
erfüllen, indem du [mm] (x+iy)^4 [/mm] explizit ausrechnest, mit -4 gleichsetzt und x und y durch Koeffizientenvergleich bestimmst.
Danach kommst du über v=z-j-1 leicht auf die 4 Lösungen für z.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
danke für die schnelle antwort. dass der prof recht hat hab ich auch nicht bezweifelt ^^
doch, die eulersche form haben wir behandelt, nur eben in der form z²= ... bzw. z³= ... . mir fehlt der ansatz wie ich mit einem solchem ausdruck, wie er gegeben ist, umgehen muss. das anwenden der eulerschen form ist weniger das problem, das steht ja in jeder formelsammlung.
also, wie ist die herangehensweise? müsste ich den ausdruck in der klammer substituieren? was anderes würde mir nicht einfallen
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Hallo trbo,
> also, wie ist die herangehensweise? müsste ich den
> ausdruck in der klammer substituieren? was anderes würde
> mir nicht einfallen
Warum machst Du nicht erstmal, was Diophant vorgeschlagen hat? Die Empfehlung macht schon Sinn:
Finde alle Lösungen von [mm] v^4=-4
[/mm]
Lass übrigens mal die blöden ASCII-Hochzahlen. Da gibts ja sowieso nur die 2 und die 3. [mm] e^x [/mm] oder [mm] z^{4\sin{\alpha}} [/mm] kannst Du damit also nicht schreiben.
Wir verwenden hier LaTeX, da schreibt man Exponenten nach dem "Dach" (Caret-Zeichen) und in geschweiften Klammern.
x^{2k+1} ergibt [mm] x^{2k+1} [/mm] usw.
Man kann die Klammern weglassen, wenn der Exponent aus einem einzigen Zeichen besteht: j^2=-1 ergibt [mm] j^2=-1
[/mm]
So, und jetzt tu was.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
es liegt nicht am nichts-tun sondern am nicht-verstehen...
so ich hab als lösungen
1+j; -1+j; -1-j; 1-j
berechnet über die eulersche form.
ist das korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Do 21.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> es liegt nicht am nichts-tun sondern am
> nicht-verstehen...
> so ich hab als lösungen
> 1+j; -1+j; -1-j; 1-j
>
> berechnet über die eulersche form.
> ist das korrekt?
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
cool.
wenn ich die ergebnisse für v jetzt einsetze erhalte ich
2; 2j; 0; 2+2j
und das ist quasi die gesuchte lösungsmenge?
die rangehensweise ist also
1. den ausdruck in der klammer substituieren
2. die lösungen berechnen über eulersche form
3. rücksubstitution
?
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Hallo nochmal,
> cool.
> wenn ich die ergebnisse für v jetzt einsetze erhalte ich
> 2; 2j; 0; 2+2j
> und das ist quasi die gesuchte lösungsmenge?
Wenn Du das quasi noch streichst, ja.
> die rangehensweise ist also
> 1. den ausdruck in der klammer substituieren
> 2. die lösungen berechnen über eulersche form
> 3. rücksubstitution
> ?
Das ist ein Weg, meist auch der einfachste. Hängt halt von der Aufgabe ab. Im Normalfall findest Du aber so ohne Fallunterscheidung alle Lösungen, und da verliert man sonst leicht mal welche aus dem Blick.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
gut danke.
eine andere Aufgabe lautet [mm] (z-1)^3 [/mm] = 8
ist es hier möglich aus beiden termen einfach die dritte wurzel zu ziehen, da hier ja eine ungerade potenz vorliegt?
ich habe nämlich gerade versucht diese aufgabe zu lösen, um das ganze noch ein wenig zu verinnerlichen. das ist sicher prinzipiell auch möglich, jedoch dürfen wir bei dem prof keine taschenrechner verwenden, was die berechnung von ausdrücken wie cos(2 [mm] \pi/3) [/mm] schwierig macht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
nur zur kontrolle, mittels tabelle habe ich für die letzte aufgabe folgende ergebnisse errechnet:
3; [mm] j\wurzel{3}; -j\wurzel{3}
[/mm]
das kann doch eigentlich nicht stimmen, denn die winkel zwischen den lösungen müssten doch 120° grad sein oder irre ich mich?
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Hallo nochmal,
> nur zur kontrolle, mittels tabelle habe ich für die letzte
> aufgabe folgende ergebnisse errechnet:
> 3; [mm]j\wurzel{3}; -j\wurzel{3}[/mm]
>
> das kann doch eigentlich nicht stimmen, denn die winkel
> zwischen den lösungen müssten doch 120° grad sein oder
> irre ich mich?
Da fehlt bei den beiden komplexen Lösungen auch noch der Realteil: -1
...und die rein reelle Lösung ist natürlich 2, nicht 3. Ich vermute einen Tippfehler.
Richtig wäre also: $ 2;\ [mm] -1+j\wurzel{3};\ -1-j\wurzel{3} [/mm] $
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
ich habe substituiert z-1= v .
über die eulersche form bekomme ich für v die lösungen
2; [mm] -1+j\wurzel{3}; -1-j\wurzel{3}
[/mm]
diese lösungen habe ich zur rücksubstitution dann eingesetzt:
[mm] z_{n} [/mm] - 1 = [mm] v_{n}
[/mm]
und so komm ich auf die genannten lösungen.
macht an sich auch sinn denk ich: [mm] (3-1)^3 [/mm] = 8
wo lag jetzt mein denkfehler?
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Oh, pardon.
Diesmal war es mein Denkfehler!
> ich habe substituiert z-1= v .
> über die eulersche form bekomme ich für v die lösungen
> 2; [mm]-1+j\wurzel{3}; -1-j\wurzel{3}[/mm]
> diese lösungen habe ich
> zur rücksubstitution dann eingesetzt:
> [mm]z_{n}[/mm] - 1 = [mm]v_{n}[/mm]
>
> und so komm ich auf die genannten lösungen.
> macht an sich auch sinn denk ich: [mm](3-1)^3[/mm] = 8
> wo lag jetzt mein denkfehler?
Also: alles gut bei Dir. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
aber müssten die winkel zwischen den lösungen nicht alle 120° groß sein? bei meinen lösungen sind es ja 90, 180, 90.
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Hallo nochmal,
> aber müssten die winkel zwischen den lösungen nicht alle
> 120° groß sein?
Doch, natürlich.
> bei meinen lösungen sind es ja 90, 180,
> 90.
Der Mittelpunkt liegt nicht bei 0, du hast die Lösungen doch verschoben.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Do 21.06.2012 | | Autor: | trbo |
das versteh ich leider überhaupt nicht, wie hab ich den mittelpunkt denn verschoben und wohin?
als weiterer teil der aufgabe sollen die ergebnisse in der gaußschen zahlenebene skizziert werden, wie müsste ich das dann machen?
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Hallo trbo,
erlaube mir ein offenes Wort: du frägst hier Sachen zu absoluten Basics. Nicht das wir das nicht gerne beantworten, aber wir tun dir damit eigentlich keinen Gefallen, auch wenn du das vielleicht noch nicht sehen kannst. Im Studium ist man in einer anderen Situation als in der Schule. Nicht mehr der Dozent ist dafür verantwortlich, dass du die Dinge verstehst, sondern du bist es, und zwar ganz alleine. Ein guter Dozent zeigt in seiner Vorlesung den Umfang des Stoffes auf, d.h. er sagt dir, was du zu lernen hast, macht den dahinterstehenden wissenschaftlichen Aufbau deutlich, und wenn er besonders gut ist, dann lässt er die Studenten auch noch etwas an der Motivation teilhaben, warum er sein Fach gerne betreibt, was ihn antreibt, es zu tun. Deswegen ist mir auch deine kleine Professorenschelte zu Beginn etwas sauer aufgestoßen, weil da einfach eine Erwartungshaltung durchgeklungen ist, die man im Studium nicht haben sollte. Lass dir das mal in deinem eigenen Interesse ein wenig durch den Kopf gehen.
Nun zu deinen Fragen, ohne Antwort will ich dich auch nicht schmoren lassen.
Die Lösungen der Gleichung
[mm] z^n=1
[/mm]
liegen in der Komplexen Ebene auf dem Einheitskreis, und zwar mit jeweils paarweise gleichen Winkeln, so dass eine Art aufgeschnittener Kuchen entsteht.
Daraus gewinnt man sofort die Erkenntnis, dass auch die Lösungen der etwas allgemeineren Gleichung
[mm] z^n=c [/mm] ; [mm] c\in\IR
[/mm]
wiederum auf einem Kreis liegen, der seinen Mittelpunkt bei z=0 hat und dessen Radius gleich [mm] \wurzel[n]{|c|} [/mm] ist.
Deine Gleichung
[mm] (z-1)^3=8
[/mm]
kann man durch eine Substitution
v=z-1 <=> z=v+1
so verschieben, dass die Lösungen wiederum auf einem Kreis um die Null liegen. Dabei kann man an der Umformung auf der rechten Seite schön sehen, dass die Lösungen z im Vergleich zu denen von v um eins nach rechts (also in Richtung der Reellen Achse) verschoben sein müssen.
Wenn du mit Komplexen Zahlen Mühe hast, und dich ein wenig besser einarbeiten möchtest, schaue doch mal in einer dir zugänglichen Bibliothek nach dem Werk
T. Needham, Anschauliche Funktionentheorie
Daraus arbeitest du mal die ersten ein, zwei Kapitel durch. Es ist wahnsinnig spannend und auch humorvoll geschrieben, mit vielen Abbildungen versehen, gar nicht wie ein Lehrbuch üblicherweise daherkommt. Nur es ist nicht ganz billig, daher der Tipp mit der Bibliothek...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Fr 22.06.2012 | | Autor: | trbo |
hallo,
ich erwarte natürlich nicht einfach die lösung hingeklatscht zu bekommen, denn, da hast du recht, das bringt nichts. als das thema in der vorlesung behandelt wurde hatte ich das gefühl das eigentlich ganz gut verstanden zu haben, daher habe ich mich nicht viel intensiver damit beschäftigt als ebenda. und bei meinem prof ärgert mich nicht dass er mir nicht das ergebnis verraten hat, ich hab ihm in einer mail erklärt wie ich an die sache rangegangen bin und es kam nur der hinweis dass ich keinen dunst hab. danke, wenn ich vom gegenteil überzeugt wär müsste ich keine fragen stellen. ein hinweis, wo der denkfehler liegt hätte gereicht.
vielleicht noch ein wort zu meinem hintergrund. ich studiere kommunikations-/medientechnik im letzten semester, arbeite bereits in einer entsprechenden firma und habe dort hauptsächlich mit programmierung und serververwaltung zu tun. die einzig offene prüfung ist eben diese matheprüfung. natürlich sind die grundlagen wichtig und so weiter..aber es zeichnet sich ab dass ich diese prüfung nur des curriculum wegen schreiben werde und nicht weil mein berufsbild hohe anforderungen an mein mathematisches verständnis stellt. deßhalb verzeiht mir bitte wenn sich mein interesse an mathematik letztlich nur auf das bestehen dieser prüfung konzentriert (nach dem buch werde ich trotzdem mal schauen, danke für den tip!). aber ich kann euch natürlich verstehen, denen die mathematik wahrscheinlich mehr ist als ein mittel zum zweck.
ich hab mir das ganze mal skizziert, jetzt seh ich auch was ihr meint, legt man den mittelpunkt des kreises auf 1 und zeichnet die lösungen von dort als vektoren ein stimmen die winkel. auf die gefahr hin, dass ihr hier noch verrückt werdet mit mir, müssen die lösungen dann tatsächlich von diesem verschobenen mittelpunkt aus eingezeichnet werden?
vielen dank für eure (sehr schnellen!) antworten!
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Hallo,
> ich hab mir das ganze mal skizziert, jetzt seh ich auch was
> ihr meint, legt man den mittelpunkt des kreises auf 1 und
> zeichnet die lösungen von dort als vektoren ein stimmen
> die winkel. auf die gefahr hin, dass ihr hier noch
> verrückt werdet mit mir, müssen die lösungen dann
> tatsächlich von diesem verschobenen mittelpunkt aus
> eingezeichnet werden?
Die Lösungen liegen genau so, wie du es beschrieben hast. Und der Sinn solcher Aufgabe besteht im Wesentlichen darin, das zu erkennen.
Und wenn man irgendwas mit Computern beruflich zu tun hat, könnte man gerade den Komplexen Zahlen etwas mehr Hochachtung entgegenbringen. 
Síe sind eine der mathematischen Grundlagen der Elektronik...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Fr 22.06.2012 | | Autor: | trbo |
> Síe sind eine der mathematischen Grundlagen der
> Elektronik...
..das ist ja schlimme dabaei
also ich glaub ich habe es jetzt einigermaßen verstanden, danke für eure hilfe!!
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Hallo trbo,
> gut danke.
> eine andere Aufgabe lautet [mm](z-1)^3[/mm] = 8
> ist es hier möglich aus beiden termen einfach die dritte
> wurzel zu ziehen, da hier ja eine ungerade potenz
> vorliegt?
Die Regel vergisst Du bei komplexen Zahlen auch besser...
> ich habe nämlich gerade versucht diese aufgabe zu lösen,
> um das ganze noch ein wenig zu verinnerlichen. das ist
> sicher prinzipiell auch möglich, jedoch dürfen wir bei
> dem prof keine taschenrechner verwenden, was die berechnung
> von ausdrücken wie cos(2 [mm]\pi/3)[/mm] schwierig macht
... genau weil Du solche Lösungen sonst verlierst.
Man erwartet übrigens, dass die Sinus- und Cosinus-Werte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° aus der Schule bekannt sind. Damit kann man sich eine Menge herleiten, auch [mm] \cos{\bruch{2\pi}{3}}.
[/mm]
Grüße
reverend
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