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| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \wurzel{12i-5} = a+ib [/mm] |
Das grundsätzliche Vorgehen habe ich verstanden, bin mir jedoch bei meinen Lösungen unsicher und würde mich über eine Korrektur freuen.
[mm] \wurzel{12i-5} = a+ib
12i-5 = (a+ib)^2
12i-5 = a^2+2aib-b^2
12i-5 = (a^2-b^2)+i*(2ab)
Realteil und Imaginärteil getrennt:
(I) a^2-b^2=-5
(II) 2ab = 12
aus (II): a = 6/b
in (I):
(6/b)^2-b^2=-5
(36/b^2) -b^2=-5
36 - b^4 = -5b^2
-b^4 + 5b^2 + 36 = 0
es sei b=c
-> Mitternachtsformel
c_1/2= (-5+- \wurzel{25-144} ) / -2
(irgendwie bin ich mir hier unsicher, darf ich denn die Wurzel überhaupt so einfach zerlegen? Wenn nicht hab ich dort Wurzel 119 stehen und alle Ergebnisse sind krumm.)
c_1/2= (-5+- 5 - 12 ) / -2
-> c_1= 6,
c_2=-1
-> b_1 = \wurzel{6} ,
b_2 = \wurzel{-1} = i.
-> a_1= 6 / \wurzel{6} ,
a_2 = 6 / \wurzel{-1} = 6 / i.
also lautet: z_1= \wurzel{12i-5} = 6 / \wurzel{6} +i* \wurzel{6}
und z_2= \wurzel{12i-5} = 6 / i +i*i = -1 + 6/i
[/mm]
Also das ist eine Aufgabe aus einer Altklausur, aber die Ergebnisse erscheinen mir falsch.
Wäre schön wenn sich das jemand zeitnah anschauen könnte, Dienstag wird das evtl geprüft (Klausur). Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo umbertoGecko,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Nein, Du darfst die Wurzel nicht so einfach zerlegen, da im Allgemeinen gilt:
[mm] $\wurzel{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}$
[/mm]
Jedoch solltest Du Deine Eingaben in der Mitternachtsformel überprüfen (Vorzeichen). Du erhältst dann auch ein Ergebnis mit Wurzeln, welche aufgehen.
Gruß
Loddar
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Vielen Dank - jetzt habe ich zumindest die Form die mein Taschenrechner ausgespuckt hat raus: [mm] z_1 [/mm] = 2 + 3i.
Aber eine Unsicherheit mit [mm] z_2 [/mm] habe ich noch immer:
über die Mitternachtformel erhalte ich: [mm] c_1= [/mm] 9 und [mm] c_2=-4
[/mm]
das bedeutet [mm] b_2 [/mm] = [mm] \wurzel{4} [/mm] * [mm] \wurzel{-1} [/mm] = 2i
-> [mm] a_2= [/mm] 6/2i = 3/i
also ist [mm] z_2= [/mm] (3/i) + 2i - wie kann ich denn nun das i aus dem Realteil wieder loswerden oder habe ich hier die endgültige Form?
Grüße und danke nochmals für deine schnelle Antwort.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast vergessen, dass a,b reelle Zahlen sind. d.h. [mm] b^2=-5 [/mm] ist keine mögliche lösung!
also ist nur [mm] b^2=9 [/mm] Lösung!
damit bist du fertig. i.a. löst man aber Wurzeln besser, indem man [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] umschreibt und dann [mm] \wurzel{z}=\wurzel{r}*e^{\pm i\phi/2}
[/mm]
gruss leduart
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Bedenke, dass $a_$ und $b_$ reelle Zahlen sind. Aus [mm] $c_2 [/mm] \ = \ -4$ können also keine weiteren Lösungen entstehen.
