Wurzelfunktion integrieren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
beim integrieren von wurzelfunktionen stellt sich ja häufig die Frage ob man jetzt dnur den Integradn oder gleich die gesamte wurzel substituieren soll.
Ich bin bei dieser Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{(3x\wurzel{4-x}) dx}
[/mm]
und das hab cih quasi als hinweis gefunden: ( obwohl man das auch nru durch die substituion des radikanten lösen kann)
2. Methode: Substitution der ganzen Wurzel :
u = [mm] \wurzel{4-x}; u^2 [/mm] = 4 − x ⇒ x = 4 − [mm] u^2
[/mm]
Nun ist x eine Funktion von u, also bilden wir das Differential von x:
dx = x du = - 2u du.
Meine Frage ist eigentlich nur wie man auf dx= x' * du kommt . du = y'*dx ist für mich nachvollziehbar.
Wenn ich das nur mit der substitution des radikanten löse habe ich ja u= 4-x dementsprechend u'=-1
bei u= [mm] \wurzel{4-x} [/mm] lautet die Ableitung [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{4-x}}
[/mm]
hat es etwas damit zu tun, dass man nun hier eine neue "Funktion" schafft? Also x= [mm] 4-u^2. [/mm] Ich meine nach x habe ich sonst ja auch imemr aufgelöst, aber halt nur um andere x durhc u zu ersetzten, wäre diese nun hier "neu" gezeigt methode bei diesen "leichteren" aufgaben wo u' nur absolut wird auch möglich gewesen?
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> Hallo,
> beim integrieren von wurzelfunktionen stellt sich ja
> häufig die Frage ob man jetzt dnur den Integradn oder
> gleich die gesamte wurzel substituieren soll.
> Ich bin bei dieser Aufgabe
>
> [mm]\integral_{}^{}{(3x\wurzel{4-x}) dx}[/mm]
>
> und das hab cih quasi als hinweis gefunden: ( obwohl man
> das auch nru durch die substituion des radikanten lösen
> kann)
>
> 2. Methode: Substitution der ganzen Wurzel :
> u = [mm] \wurzel{4-x};[/mm] [mm]u^2[/mm] = 4 − x ⇒ x = 4
> − [mm]u^2[/mm]
> Nun ist x eine Funktion von u, also bilden wir das
> Differential von x:
> dx = x du = - 2u du.
>
> Meine Frage ist eigentlich nur wie man auf dx= x' * du
> kommt . du = y'*dx ist für mich nachvollziehbar.
Hallo,
was hast Du nur mit dem y?
Was soll y sein? Hier gibt's doch gar keins.
- Vielleicht verstehe ich Dein Problem mit dem x':
Statt x=4-u² schriebe man vielleicht deutlicher x(u)=4-u².
Gegen x'(u) hast Du nichts einzuwenden, oder? x'(u)=-2u.
> Wenn ich das nur mit der substitution des radikanten löse
> habe ich ja u= 4-x dementsprechend u'=-1
> bei u= [mm]\wurzel{4-x}[/mm] lautet die Ableitung
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{4-x}}[/mm]
> hat es etwas damit zu tun, dass man nun hier eine neue
> "Funktion" schafft? Also x= [mm]4-u^2.[/mm]
Achso, hier schreibst Du es selbst. Ja, man gibt x in Abhängigkeit v. u an.
> Ich meine nach x habe
> ich sonst ja auch imemr aufgelöst, aber halt nur um andere
> x durhc u zu ersetzten, wäre diese nun hier "neu" gezeigt
> methode bei diesen "leichteren" aufgaben wo u' nur absolut
> wird auch möglich gewesen?
Versteh ich nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die schnelle antwort.
Was ich meine ist , dass ich zwar verstehe, dass du= u' * dx gilt aber ich nicht weis wie man auf
dx= x'* du kommt. Zur Verdeutlichung hab ich dann noch gefragt ob man diese beschriebene Methode ,also ich "schaffe" diese neue Funktion x(u) auch schon auf Beispiele anwenden hätte können, wo u' nur absolut wird wie für u= 2x+5 oder ob man sie jetzt halt extra für den Fall eingeführt hat, dass u'(x) nicht nru noch absolut werden wprde sondern z.B. 2x oder so .
Was ich noch gefragt hab ist ob das den der Grund dafür ist, dass wir aufeinmal eine Funktion x(u) angeben und nicht wie zuvor immer die Funktion u(x)? Am kürzesten ist die Frage vllt. gefasst wenn ich frage:
wie kommt man denn auf einmal von du= u' *dx zu dx= x'*du
und sogar
[Dateianhang nicht öffentlich]
.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Do 17.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
Bilde von $x \ = \ x(u) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(u^2-1\right)$ [/mm] die Ableitung $x'(u) \ = \ [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] \ = \ ...$ .
Anschließend nach $dx \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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> Was ich meine ist , dass ich zwar verstehe, dass du= u' *
> dx gilt aber ich nicht weis wie man auf
> dx= x'* du kommt.
> .......
> .......
> Was ich noch gefragt hab ist ob das den der Grund dafür
> ist, dass wir aufeinmal eine Funktion x(u) angeben und
> nicht wie zuvor immer die Funktion u(x)? Am kürzesten ist
> die Frage vllt. gefasst wenn ich frage:
> wie kommt man denn auf einmal von du= u' *dx zu dx= x'*du
Eine Substitution kann man auf zwei Arten beschreiben,
entweder durch eine Funktion u=u(x) oder durch deren
Umkehrfunktion x=x(u). Die Ableitungen dieser beiden
Funktionen:
u'(x) [mm] =\bruch{d}{dx}u(x)=\bruch{du}{dx}
[/mm]
und
x'(u) [mm] =\bruch{d}{du}x(u)=\bruch{dx}{du}
[/mm]
sind zueinander reziprok:
[mm] \bruch{1}{\bruch{du}{dx}}=\bruch{dx}{du}
[/mm]
Hier zeigt sich, wie praktisch die Leibnizsche Schreibweise
mit den Differentialen "dx" und "du" wirklich ist.
Viele Leute betrachten aber leider das "dx" in einem Integral
nur als ein lästiges Anhängsel.
Siehe z.B. auch da:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage169/
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ahh okay das macht einiges klarer.
Aber sag mal ist es ein unterschied ob an mit der Funktion oder mit der Umkehrfuntkion substituiert? ( also jetzt außer in der rechnung)
Ich hab noch eine Frage zur Berechnung der Umkehrfunktion :
du= u'(x)*dx das ist ja unsere original Funktion
und es gilt
[mm] \bruch{1}{f'(x)}= f^{-1}(y)
[/mm]
jetzt wird ja für f'(x) = u'(x) eingesetzt oder [mm] \bruch{du}{dx}
[/mm]
aber eigentlich sollte es ja die Ableitung der original Funktion sein also doch eigentlich u''(x) oder? Weil wir doch eiegtnlcih die Ableitung der original Funktion einsetzten sollen
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> hallo,
> ahh okay das macht einiges klarer.
> Aber sag mal ist es ein unterschied ob an mit der Funktion
> oder mit der Umkehrfunktion substituiert? ( also jetzt
> außer in der rechnung)
ob du nun z.B. u=3x+1 und [mm] \bruch{du}{dx}=3 [/mm] setzt
oder aber [mm] x=\bruch{u-1}{3} [/mm] und [mm] \bruch{dx}{du}=\bruch{1}{3}
[/mm]
kommt auf dasselbe heraus
> Ich hab noch eine Frage zur Berechnung der Umkehrfunktion
> :
> du= u'(x)*dx das ist ja unsere original Funktion
????? was soll "original Funktion" hier heissen - und
"du" ist eben keine Funktion, sondern ein Differential
>
> und es gilt
> [mm]\bruch{1}{f'(x)}= f^{-1}(y)[/mm] ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
nun sage bitte nicht, ich hätte sowas behauptet...
> jetzt wird ja für f'(x) = u'(x) eingesetzt oder [mm]\bruch{du}{dx}[/mm]
> aber eigentlich sollte es ja die Ableitung der original
> Funktion sein also doch eigentlich u''(x) oder? Weil wir
> doch eiegtnlcih die Ableitung der original Funktion
> einsetzten sollen
lass bitte mal diese "Originalfunktion" aus dem
Spiel - die Substitution hat zwar den Zweck, aus
dem ursprünglichen Integral ein neues zu machen,
das dann hoffentlich einfacher zu berechnen ist.
Man wählt statt dem ursprünglichen x eine neue
Variable u (die Bezeichnungen könnten auch anders
sein). Diese Variablentransformation wird nun durch
eine "Hilfs-" Funktion u=u(x) beschrieben, welche mit
der "Originalfunktion", also mit der Integrandenfunktion,
unmittelbar gar nix zu tun hat, ausser dass ein gewisser
Bestandteil davon vielleicht gleich aussieht. Und da
das Ganze mit Differential- und Integralrechnung zu
tun hat, muss man auch das Differential transformieren:
anstelle von dx schreibt man nun
[mm] \bruch{dx}{du}*du [/mm] oder [mm] \bruch{1}{\bruch{du}{dx}}*du
[/mm]
Auch die Integrationsgrenzen müssen transformiert
werden - ausser man lässt sie einmal vorläufig ganz
weg und transformiert nachher von den u wieder
zurück zu den x und setzt dann die "originalen" Grenzen
für x ein.
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
achso sry hab da den strich bei der umkehrfuntkion vergessen.
nur wenn du= u' * dx keine funktion ist wei soll man dann davon eien umkehrFUNKTION bilden können?
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> achso sry hab da den strich bei der umkehrfuntkion
> vergessen.
> nur wenn du= u' * dx keine funktion ist wei soll man dann
> davon eien umkehrFUNKTION bilden können?
u: [mm] x\to [/mm] u(x) und x: [mm] u\to [/mm] x(u) sind hier Funktion und Umkehrfunktion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
das heißt man kann nur u(x) und x(u) als Funktionen ansehen , aber wenn an beweist dass es wirklich umkehrfunktionen sind kann man sie durch dx/ du bzw du/dx ersetzten wie du das bei deinen Beweis gemacht hast?
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> hallo,
> das heißt man kann nur u(x) und x(u) als Funktionen
> ansehen , aber wenn an beweist dass es wirklich
> umkehrfunktionen sind kann man sie durch dx/ du bzw du/dx
> ersetzten wie du das bei deinen Beweis gemacht hast?
nee, man ersetzt doch nicht einfach Funktionen durch
ihre Ableitungen ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja und wie schaffst du es dann du = u'(x) * dx
zu dx= x'(u) * du umzuformen?
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> hallo,
> ja und wie schaffst du es dann du = u'(x) * dx
> zu dx= x'(u) * du umzuformen?
weil [mm] u'(x)=\bruch{du}{dx} [/mm] und [mm] x'(u)=\bruch{dx}{du}
[/mm]
(und weil man mit den Leibnizschen Differentialen im
Normalfall ungestraft ziemlich locker umgehen kann)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:26 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
und noch eine Frage bei der Umkehrfunktion wo gilt
x'(u) * du= dx
ist ja aber das dx nicht mehr infinitesimal klein so wie es eigentlich sonst immer für dx gilt oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Fr 18.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
> und noch eine Frage bei der Umkehrfunktion wo gilt x'(u) * du= dx
> ist ja aber das dx nicht mehr infinitesimal klein so wie
> es eigentlich sonst immer für dx gilt oder?
Gegenfrage: warum soll das denn nicht so sein?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja gute frage ^^
ich meiene Leibniz schreibt ja von anfang an
[mm] \bruch{d}{dx}
[/mm]
und das "delta x" ist aj eiegntlich immer "reserviert" gegen 0 zu streben oder deswegn denk ich dass das net geht..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja gute frage ^^
ich meiene Leibniz schreibt ja von anfang an
$ [mm] \bruch{d}{dx} [/mm] $
und das "delta x" ist aj eiegntlich immer "reserviert" gegen 0 zu streben oder deswegn denk ich dass das net geht..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Sa 19.07.2008 | | Autor: | chrisno |
Das df vom df/dx soll ja nun auch gegen Null gehen, sonst wird es nichts mit einem Grenzwert. Das gilt natürlich entsprechend auch für die Umkehrfunktion also für dx/df
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Do 17.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> beim integrieren von wurzelfunktionen stellt sich ja
> häufig die Frage ob man jetzt dnur den Integradn oder
> gleich die gesamte wurzel substituieren soll.
> Ich bin bei dieser Aufgabe
>
> [mm]\integral_{}^{}{(3x\wurzel{4-x}) dx}[/mm]
>
Hallo,
ich glaube, dass du hier mit partieller Integration weiterkommst.
Ich würde u=3x und [mm] v'=\wurzel{4-x} [/mm] ansetzen.
Gruß Abakus
> und das hab cih quasi als hinweis gefunden: ( obwohl man
> das auch nru durch die substituion des radikanten lösen
> kann)
>
> 2. Methode: Substitution der ganzen Wurzel :
> u = [mm]\wurzel{4-x}; u^2[/mm] = 4 − x ⇒ x = 4 −
> [mm]u^2[/mm]
> Nun ist x eine Funktion von u, also bilden wir das
> Differential von x:
> dx = x’ du = - 2u du.
>
> Meine Frage ist eigentlich nur wie man auf dx= x' * du
> kommt . du = y'*dx ist für mich nachvollziehbar.
>
> Wenn ich das nur mit der substitution des radikanten löse
> habe ich ja u= 4-x dementsprechend u'=-1
> bei u= [mm]\wurzel{4-x}[/mm] lautet die Ableitung
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{4-x}}[/mm]
> hat es etwas damit zu tun, dass man nun hier eine neue
> "Funktion" schafft? Also x= [mm]4-u^2.[/mm] Ich meine nach x habe
> ich sonst ja auch imemr aufgelöst, aber halt nur um andere
> x durhc u zu ersetzten, wäre diese nun hier "neu" gezeigt
> methode bei diesen "leichteren" aufgaben wo u' nur absolut
> wird auch möglich gewesen?
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