Wurzelgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 So 13.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo,
ich hatt einen Test geschrieben, und habe da eine Aufgabe nicht lösen können, deswegen habe ich diese zu haus noch einmal probiert, aber bin trotzdem nicht auf die Lösung gekommen, (bin auch nur zu 99% sicher ob die Aufgabenstellung, wie ich sie jetzt poste stimmt, sorry dafür)
Aufgabe:
[mm] \wurzel{x+10}-\wurzel{2x-3}=1
[/mm]
Meine Lösung:
[mm] \wurzel{x+10} [/mm] = [mm] 1+\wurzel{2x-3}
[/mm]
[mm] (\wurzel{x+10})^_{2} [/mm] = [mm] (1+\wurzel{2x-3})^{2}
[/mm]
x+10 = [mm] 1+2(1+\wurzel{2x-3})+2x-3
[/mm]
x+10 = [mm] 2x-2+2(1+\wurzel{2x-3})
[/mm]
x+10 = [mm] 2x-2+(1\wurzel{2x-3}+1\wurzel{2x-3})
[/mm]
x+10 = 2x-2+1+2x-3
x+10 = 4x-4
-5x = -14
x = 2,8
Das stimmt ja leider nicht.
Kann mir jemand einen Tipp geben, wo mein Fehler ist.
Danke
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Hallo Ice-Man,
> Hallo,
> ich hatt einen Test geschrieben, und habe da eine Aufgabe
> nicht lösen können, deswegen habe ich diese zu haus noch
> einmal probiert, aber bin trotzdem nicht auf die Lösung
> gekommen, (bin auch nur zu 99% sicher ob die
> Aufgabenstellung, wie ich sie jetzt poste stimmt, sorry
> dafür)
>
> Aufgabe:
> [mm]\wurzel{x+10}-\wurzel{2x-3}=1[/mm]
>
> Meine Lösung:
> [mm]\wurzel{x+10}[/mm] = [mm]1+\wurzel{2x-3}[/mm]
> [mm](\wurzel{x+10})^_{2}[/mm] = [mm](1+\wurzel{2x-3})^{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> $x+10 = [mm] 1+2(1\red{+}\wurzel{2x-3})+2x-3$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das [mm] $\red{+}$ [/mm] ist falsch! [mm] $(a+b)^2=a^2+2\cdot{}a\red{\bullet}b+b^2$
[/mm]
Also nochmal ab der Zeile darüber rechnen, nach dem Quadrieren dann alle Terme ohne Wurzel auf eine Seite und dei Wurzel auf die andere Seite.. dann nochmal quadrieren
> x+10 = [mm]2x-2+2(1+\wurzel{2x-3})[/mm]
> x+10 = [mm]2x-2+(1\wurzel{2x-3}+1\wurzel{2x-3})[/mm]
> x+10 = 2x-2+1+2x-3
> x+10 = 4x-4
> -5x = -14
> x = 2,8
>
> Das stimmt ja leider nicht.
> Kann mir jemand einen Tipp geben, wo mein Fehler ist.
>
> Danke
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 13.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ok, danke erst einmal.
Ich probier es jetzt noch einmal.
Würde es dann so auschreiben.
[mm] \wurzel{x+10} [/mm] = [mm] 1+\wurzel{2x-3}
[/mm]
[mm] (\wurzel{x+10})^_{2} [/mm] = [mm] (1+\wurzel{2x-3})^_{2}
[/mm]
x+10 = [mm] 1+2(1*\wurzel{2x-3})+2x-3
[/mm]
-x+12 = [mm] 2(1*\wurzel{2x-3})
[/mm]
-x+12 = [mm] (1*\wurzel{2x-3}+1*\wurzel{2x-3})
[/mm]
-x+12 = [mm] \wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ok, danke erst einmal.
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> Ich probier es jetzt noch einmal.
> Würde es dann so auschreiben.
>
> [mm]\wurzel{x+10}[/mm] = [mm]1+\wurzel{2x-3}[/mm]
> [mm](\wurzel{x+10})^_{2}[/mm] = [mm](1+\wurzel{2x-3})^_{2}[/mm]
> x+10 = [mm]1+2(1*\wurzel{2x-3})+2x-3[/mm]
> -x+12 = [mm]2(1*\wurzel{2x-3})[/mm]
Ja, sehr gut soweit, nun quadriere beide Seiten nochmal ...
Dann bist du alle Wurzeln los ...
Ganz am Schluss musst du aber für deine erhaltene(n) Lösung(en) durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung die Probe machen, denn das Quadrieren ist keine Äauivalenzumformung und du "pfuscht" dir evtl. vermeintliche Lösungen dazu ..
> -x+12 = [mm](1*\wurzel{2x-3}+1*\wurzel{2x-3})[/mm]
> -x+12 = [mm]\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 So 13.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
-x+12 = [mm] \wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}
[/mm]
[mm] (-x+12)^{2} [/mm] = [mm] (\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3})^_{2}
[/mm]
[mm] x^{2}-24x+144 [/mm] = [mm] (2x-3)+2(\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3})+(2x-3)
[/mm]
[mm] x^{2}-24x+144 [/mm] = [mm] 4x-6+2(\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3})
[/mm]
[mm] x^{2}-24x+144 [/mm] = [mm] 4x-6+(\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3})
[/mm]
[mm] x^{2}-28x+150 [/mm] = [mm] (\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3}
[/mm]
Jetzt wäre meine Frage, ob da jetzt jeweils nicht 2x-3 herauskommt, da ich ja die gleiche Wurzel mal nehme???
Denn ich würde denken [mm] \wurzel{2x-3}*\wurzel{2x-3} [/mm] = 2x-3
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Hallo nochmal,
du machst es dir aber höllisch umständlich ...
> -x+12 = [mm]\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}[/mm]
> [mm](-x+12)^{2}[/mm] = [mm](\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3})^_{2}[/mm]
Wieso nicht rechterhand einfacher [mm] $(2\sqrt{2x-3})^2=4(2x-3)=8x-12$ [/mm] ??
> [mm]x^{2}-24x+144[/mm] =
> [mm](2x-3)+2(\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3})+(2x-3)[/mm]
> [mm]x^{2}-24x+144[/mm] = [mm]4x-6+2(\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3})[/mm]
> [mm]x^{2}-24x+144[/mm] =
> [mm]4x-6+(\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3})[/mm]
> [mm]x^{2}-28x+150[/mm] =
> [mm](\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3}[/mm]
>
> Jetzt wäre meine Frage, ob da jetzt jeweils nicht 2x-3
> herauskommt, da ich ja die gleiche Wurzel mal nehme???
> Denn ich würde denken [mm]\wurzel{2x-3}*\wurzel{2x-3}[/mm] = 2x-3
na klar: [mm] $\sqrt{z}\cdot{}\sqrt{z}=\sqrt{z}^2=z$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 13.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ich rechne irgendwie immer kompliziert und umständlich... ;)
Ok, ich rechne jetzt mal beides vor, weil ich bin doch ein wenig irritiert.
1.Lösung:
[mm] x^{2} -28x+150=(\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3})
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] -28x+150=2x-3+2x-3
[mm] x^{2} [/mm] -32x+156=0
[mm] x_{1}=6
[/mm]
[mm] x_{2}=26
[/mm]
2.Lösung:
[mm] x^{2}-28x+150=8x-12
[/mm]
[mm] x^{2}-36x+162=0
[/mm]
[mm] x_{1}=30,7
[/mm]
[mm] x_{2}=5,3
[/mm]
Wenn ich jetzt bsp.weise 26 in die Gleichung einsetzte komme ich ja nicht auf das Ergebnis.
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Hallo nochmal,
> Ich rechne irgendwie immer kompliziert und umständlich...
> ;)
>
> Ok, ich rechne jetzt mal beides vor, weil ich bin doch ein
> wenig irritiert.
>
> 1.Lösung:
> [mm]x^{2} -28x+150=(\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3}+\wurzel{2x-3}\wurzel{2x-3})[/mm]
>
> [mm]x^{2}[/mm] -28x+150=2x-3+2x-3
> [mm]x^{2}[/mm] -32x+156=0
> [mm]x_{1}=6[/mm]
> [mm]x_{2}=26[/mm]
>
> 2.Lösung:
> [mm] $x^{2}\red{-28x+150}=8x-12$
[/mm]
Nein, zu dem Zeitpunkt steht da linkerhand noch [mm] $\red{-24x+144}$
[/mm]
> [mm]x^{2}-36x+162=0[/mm]
> [mm]x_{1}=30,7[/mm]
> [mm]x_{2}=5,3[/mm]
>
> Wenn ich jetzt bsp.weise 26 in die Gleichung einsetzte
> komme ich ja nicht auf das Ergebnis.
Genau, diese vermeintliche Lösung hat dir das Quadrieren beschert, daher die notwendige Probe.
Bleibt $x=6$ als einzige Lösung der Ausgangsgleichung
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 13.09.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Klar du hast recht.
Habe mich in der Zeile geirrt.
[mm] x^{2}-24x+144=8x-12
[/mm]
[mm] x^{2}-32x+156=0
[/mm]
[mm] x_{1}=6
[/mm]
[mm] x_{2}=26
[/mm]
Es muss ja das gleich herauskommen.
Danke für deine Hilfe.
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Hallo nochmal,
> Klar du hast recht.
> Habe mich in der Zeile geirrt.
>
> [mm]x^{2}-24x+144=8x-12[/mm]
> [mm]x^{2}-32x+156=0[/mm]
> [mm]x_{1}=6[/mm]
> [mm]x_{2}=26[/mm]
>
> Es muss ja das gleich herauskommen.
Jo, sonst wär's ja auch komisch 
> Danke für deine Hilfe.
Gerne
Schönen Abend noch
schachuzipus
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