Wurzelkriterium, lim sup < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 04.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha:= [/mm] lim sup [mm] |a_n|^{1/n}, [/mm] dann ist [mm] \sum a_n
[/mm]
1) absolut konvergent, wenn [mm] \alpha [/mm] <1
2) divergent, wenn [mm] \alpha [/mm] >1 |
Hallo ich habs das Wurzelkriterium immer so angewendet und gelernt:
Die Reihe [mm] \sum a_n [/mm] ist
1) absolut konvergent, wenn [mm] \exists [/mm] q in [mm] \IR [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] q < 1 und [mm] n_0 \in \IN [/mm] so dass:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0: |a_n|^{1/n} \le [/mm] q
2) divergent, wenn
[mm] |a_n|^{1/n} \ge [/mm] 1 für unendlich viele n.
Nun will ich einmal das Wurzelkriterium wie es im Aufgabentext steht beweisen und dannach die Äquivalenz von den beiden Wurzelkriterien..
Würde mich freuen, wenn wer drüberschaut und es absegnet oder sagt, wo Fehler sind.
> Sei [mm] \alpha:= [/mm] lim sup [mm] |a_n|^{1/n}, [/mm] dann ist [mm] \sum a_n
[/mm]
> 1) absolut konvergent, wenn [mm] \alpha [/mm] <1
> 2) divergent, wenn [mm] \alpha [/mm] >1
1) [mm] b_n [/mm] = [mm] |a_n|^{1/n}
[/mm]
Es existiert also eine Teilfolge [mm] (b_{n_k})_{k \in \IN} [/mm] mit Grenzwert [mm] \alpha<1.
[/mm]
Sei [mm] \epsilon [/mm] so gewählt, dass [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] <1
Dann folgt [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] N: [mm] b_m \in (\alpha [/mm] - [mm] \epsilon, \alpha [/mm] + [mm] \epsilon) [/mm]
Woraus folgt [mm] b_m [/mm] < [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] für unendlich viele m [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \gdw |a_m|^{1/m} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] für unendlich viele m [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \gdw |a_m| [/mm] < [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \epsilon)^m [/mm] für unendlich viele m [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \sum(\alpha [/mm] + [mm] \epsilon)^m [/mm] ist konvergent und somit eine konvergente Majorante.
[mm] \Box
[/mm]
2)
Wieder existiert also eine Teilfolge [mm] (b_{n_k})_{k \in \IN} [/mm] mit Grenzwert [mm] \alpha>1.
[/mm]
Wähle [mm] \epsilon [/mm] sodass [mm] \alpha [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] > 1
[mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] N: [mm] b_m \in [/mm] ( [mm] \alpha [/mm] - [mm] \epsilon, \alpha [/mm] + [mm] \epsilon)
[/mm]
D.h. für unendlich viele [mm] m\in \IN [/mm] ist [mm] b_m [/mm] > [mm] \alpha [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] >1
Umgeform:für unendlich viele [mm] m\in \IN: |a_m| [/mm] >1
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert demnach nicht gegen 0, somit divergiert [mm] \sum a_n [/mm] .
[mm] \Box
[/mm]
Nun zur Äquivalenz der beiden Wurzelkriterien.
Erstmal nur (1)
[mm] \Rightarrow:
[/mm]
Sei zunächst $ [mm] b_n=\sqrt[n]{a_n}\le [/mm] q $ für alle $ [mm] n\ge n_0 [/mm] $ und $ [mm] q\in[0;1) [/mm] $
ZZ.: lim sup [mm] |a_n|^{1/n}=\alpha [/mm] < 1
Da [mm] (b_n)_{n\ge n_0} [/mm] beschränkt ist durch q existiert ein Häufungswert nach Bolzano. Ang [mm] \alpha \ge [/mm] 1. Dann würde auch eine Teilfolge [mm] (b_{n_{k}})_{k\in \IN} [/mm] mit Limes [mm] \alpha [/mm] existieren.
Es gilt [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN: b_{n_k} \le [/mm] q
Übergang zu Limes: [mm] lim_{k->\infty} b_{n_k} \le [/mm] q
[mm] \gdw \alpha \le [/mm] q < 1
-> Wid.
[mm] \Box
[/mm]
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Sei lim sup [mm] |a_n|^{1/n}=\alpha [/mm] < 1
Ich weiß somit, dass es eine Teilfolge von [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] gibt, wo fast alle Glieder < 1 sind.
Aber da komme ich nicht so recht weiter....
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Do 04.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\alpha:=[/mm] lim sup [mm]|a_n|^{1/n},[/mm] dann ist [mm]\sum a_n[/mm]
> 1)
> absolut konvergent, wenn [mm]\alpha[/mm] <1
> 2) divergent, wenn [mm]\alpha[/mm] >1
> Hallo ich habs das Wurzelkriterium immer so angewendet und
> gelernt:
> Die Reihe [mm]\sum a_n[/mm] ist
> 1) absolut konvergent, wenn [mm]\exists[/mm] q in [mm]\IR[/mm] mit 0 [mm]\le[/mm] q <
> 1 und [mm]n_0 \in \IN[/mm] so dass:
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge n_0: |a_n|^{1/n} \le[/mm] q
> 2) divergent, wenn
> [mm]|a_n|^{1/n} \ge[/mm] 1 für unendlich viele n.
>
> Nun will ich einmal das Wurzelkriterium wie es im
> Aufgabentext steht beweisen und dannach die Äquivalenz von
> den beiden Wurzelkriterien..
> Würde mich freuen, wenn wer drüberschaut und es absegnet
> oder sagt, wo Fehler sind.
>
>
> > Sei [mm]\alpha:=[/mm] lim sup [mm]|a_n|^{1/n},[/mm] dann ist [mm]\sum a_n[/mm]
> > 1)
> absolut konvergent, wenn [mm]\alpha[/mm] <1
> > 2) divergent, wenn [mm]\alpha[/mm] >1
> 1) [mm]b_n[/mm] = [mm]|a_n|^{1/n}[/mm]
> Es existiert also eine Teilfolge [mm](b_{n_k})_{k \in \IN}[/mm] mit
> Grenzwert [mm]\alpha<1.[/mm]
> Sei [mm]\epsilon[/mm] so gewählt, dass [mm]\alpha[/mm] + [mm]\epsilon[/mm] <1
> Dann folgt [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] m [mm]\ge[/mm] N: [mm]b_m \in (\alpha[/mm]
> - [mm]\epsilon, \alpha[/mm] + [mm]\epsilon)[/mm]
> Woraus folgt [mm]b_m[/mm] < [mm]\alpha[/mm] + [mm]\epsilon[/mm] für unendlich viele m
> [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\gdw |a_m|^{1/m}[/mm] < [mm]\alpha[/mm] + [mm]\epsilon[/mm] für
> unendlich viele m [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\gdw |a_m|[/mm] < [mm](\alpha[/mm] +
> [mm]\epsilon)^m[/mm] für unendlich viele m [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\sum(\alpha[/mm] +
> [mm]\epsilon)^m[/mm] ist konvergent und somit eine konvergente
> Majorante.
Nein, so geht das nicht.
Du hast nur [mm] |a_m| [/mm] < [mm] (\alpha +\epsilon)^m [/mm] für unendlich viele m.
Und nicht für fast alle. Wie Du das retten kannst sage ich Dir unten.
>
> 2)
> Wieder existiert also eine Teilfolge [mm](b_{n_k})_{k \in \IN}[/mm]
> mit Grenzwert [mm]\alpha>1.[/mm]
> Wähle [mm]\epsilon[/mm] sodass [mm]\alpha[/mm] - [mm]\epsilon[/mm] > 1
> [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] m [mm]\ge[/mm] N: [mm]b_m \in[/mm] ( [mm]\alpha[/mm] -
> [mm]\epsilon, \alpha[/mm] + [mm]\epsilon)[/mm]
> D.h. für unendlich viele [mm]m\in \IN[/mm] ist [mm]b_m[/mm] > [mm]\alpha[/mm] -
> [mm]\epsilon[/mm] >1
> Umgeform:für unendlich viele [mm]m\in \IN: |a_m|[/mm] >1
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] konvergiert demnach nicht gegen 0, somit
> divergiert [mm]\sum a_n[/mm] .
> [mm]\Box[/mm]
>
Das ist O.K.
>
> Nun zur Äquivalenz der beiden Wurzelkriterien.
> Erstmal nur (1)
> [mm]\Rightarrow:[/mm]
> Sei zunächst [mm]b_n=\sqrt[n]{a_n}\le q[/mm] für alle [mm]n\ge n_0[/mm]
> und [mm]q\in[0;1)[/mm]
> ZZ.: lim sup [mm]|a_n|^{1/n}=\alpha[/mm] < 1
> Da [mm](b_n)_{n\ge n_0}[/mm] beschränkt ist durch q existiert ein
> Häufungswert nach Bolzano. Ang [mm]\alpha \ge[/mm] 1. Dann würde
> auch eine Teilfolge [mm](b_{n_{k}})_{k\in \IN}[/mm] mit Limes [mm]\alpha[/mm]
> existieren.
> Es gilt [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN: b_{n_k} \le[/mm] q
> Übergang zu Limes: [mm]lim_{k->\infty} b_{n_k} \le[/mm] q
> [mm]\gdw \alpha \le[/mm] q < 1
> -> Wid.
> [mm]\Box[/mm]
Das ist O.K. Aber eine Widerspruchsbeweis musst Du nicht machen.
>
> [mm]\Leftarrow[/mm]
> Sei lim sup [mm]|a_n|^{1/n}=\alpha[/mm] < 1
> Ich weiß somit, dass es eine Teilfolge von [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm]
> gibt, wo fast alle Glieder < 1 sind.
> Aber da komme ich nicht so recht weiter....
Zu Deinem letzte Punkt und zur Rettung oben:
Ist [mm] (c_n) [/mm] eine beschränkte Folge und [mm] \alpha= [/mm] lim sup [mm] c_n, [/mm] so gilt:
ist [mm] \varepsilon [/mm] >0, so ist [mm] c_n<\alpha+ \varepsilon [/mm] für fast alle n.
Mach Dir das klar, wenn Dir das nicht geläufig ist.
FRED
>
> LG,
> sissi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:51 Do 04.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo fred,
> Zu Deinem letzte Punkt und zur Rettung oben:
> Ist $ [mm] (c_n) [/mm] $ eine beschränkte Folge und $ [mm] \alpha= [/mm] $ lim sup $ [mm] c_n, [/mm] $ so gilt:
> ist $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0, so ist $ [mm] c_n<\alpha+ \varepsilon [/mm] $ für fast alle n.
> Mach Dir das klar, wenn Dir das nicht geläufig ist.
Zu meinen Verständnis:
Also für jeden Häufungswert [mm] \alpha [/mm] einer beschränkten Folge [mm] (c_n) [/mm] gilt, dass
$ [mm] c_n<\alpha+ \varepsilon [/mm] $ für unendlich viele n.
Bei "für unendlich viele n" kann es sein, dass es auch für unendlich viele n nicht gilt.
Der Ausdruck "Fast alle" ist äquivalent zu "alle bis auf endlich viele".
Wir hatten in einer Proposition:
lim [mm] sup_{n->\infty} c_n [/mm] = [mm] lim_{n->\infty} (sup\{c_k:k\ge n\})
[/mm]
[mm] M_n :=\{c_k:k\ge n\}
[/mm]
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] c_n \le [/mm] sup [mm] M_n
[/mm]
Wir wählen N [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N:|lim (sup [mm] M_n) [/mm] - sup [mm] M_n [/mm] |< [mm] \epsilon
[/mm]
So gilt [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N: [mm] c_n \le [/mm] sup [mm] M_n [/mm] < lim (sup [mm] M_n) [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] = lim [mm] sup_{n->\infty} c_n [/mm] + [mm] \epsilon
[/mm]
Ich glaub das kann man einfacher zeigen oder?
Noch eine Frage: Aber [mm] c_n [/mm] > [mm] \alpha [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] gilt nicht für fast alle n, sonst hätten wir ja einen Grenzwert.
Und beim Limes inferior ist es dann genau umgekehrt:
Ist $ [mm] (c_n) [/mm] $ eine beschränkte Folge und $ [mm] \alpha= [/mm] $ lim inf $ [mm] c_n, [/mm] $ so gilt:
ist $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0, so ist $ [mm] c_n>\alpha- \varepsilon [/mm] $ für fast alle n.
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 06.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 18:46 Do 04.12.2014 | | Autor: | sissile |
Zu (2):
ZZ.:
[mm] |a_n|^{1/n} \ge [/mm] 1 für unendlich viele n
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \alpha:= [/mm] lim sup [mm] |a_n|^{1/n} [/mm] >1
[mm] \Leftarrow [/mm] )
[mm] b_n [/mm] = [mm] |a_n|^{1/n}
[/mm]
[mm] \exists \epsilon>0 [/mm] : [mm] \alpha [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] >1
[mm] \exists [/mm] Teilfolge [mm] (b_n__k)_{k \in \IN} [/mm] mit Grenzwert [mm] \alpha [/mm] >1
[mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] N: [mm] b_m \in (\alpha [/mm] - [mm] \epsilon, \alpha [/mm] + [mm] \epsilon)
[/mm]
-> für unendlich viele m gilt [mm] b_m= |a_m|^{1/n} [/mm] > [mm] \alpha [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] >1
[mm] \Rightarrow [/mm] )
[mm] |a_n|^{1/n} \ge [/mm] 1 für unendlich viele n
Hier weiß ich dann, dass es einen Häufungswert gibt der [mm] \ge [/mm] 1 ist. Insbesondere ist der größte Häufungswert [mm] \ge [/mm] 1.
Aber wieso sollte sogar die strenge Ordnung folgen?
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 06.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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