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Hallo allerseits,
ich wiederhole gerade das Potenzieren und das Wurzelziehen.
Es gibt doch auch die Möglichkeit eine Wurzel in Potenzschreibweise darzustellen...oder?
Also wenn ich mich recht erinnere, dann war das wie folgt:
[mm] \wurzel{4} [/mm] ist identisch mit der Schreibweise [mm] \left(4\right)^\bruch{1}{2}
[/mm]
Das würde dann bedeuten [mm] \bruch{4}{1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = 2
Nun aber Mal ein anderes Beispiel:
[mm] \wurzel{16} [/mm] würde dann bedeuten [mm] \left(16\right)^\bruch{1}{2}
[/mm]
also [mm] \bruch{16}{1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{16}{2} [/mm] = 8
Die Wurzel [mm] \wurzel{16} [/mm] ist jedoch 4 !
Kann mir jemand erklären wo mein Denkfehler liegt?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Sa 17.09.2005 | | Autor: | mazi |
Hallo!
Dein Denkfehler liegt in der Behauptung, dass $ [mm] \left(4\right)^\bruch{1}{2} [/mm] $ das gleiche ist, wie $ [mm] \bruch{4}{1} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ = 2.
$ [mm] \left(4\right)^\bruch{1}{2} [/mm] $ ist allerdings das gleiche wie (2 hoch 2)hoch [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] was wiederum das gleiche ist, wie 2 hoch (2mal1/2) und das ist [mm] 2^{1} [/mm] = 2.
Das gleiche kannst du dann auch auf [mm] \wurzel{16} [/mm] anwenden.
16 = [mm] 2^{4} [/mm] und 4 mal [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist 2, also ist [mm] 2^{2} [/mm] gleich 4.
Maria
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hallo nochmal und danke für die schnelle Rückmeldung,
ok...soweit so gut,
aber wie ist es dann bei einer Wurzel, bei welcher ich nicht gleich erkenne
wie die Potenz dann in der Klammer aussehen muß?
Bei [mm] \wurzel{8} [/mm] kann ich das ja nachvollziehen mit [mm] 2^2 [/mm] ist 4, das ganze dann [mm] 4^2 [/mm] ist 16* [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Aber an dem Beispiel:
[mm] \wurzel{32}
[/mm]
Wie würde denn hier die Potenzschreibweise lauten?
Geht das dann überhaupt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo Stromberg,
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> Bei [mm]\wurzel{8}[/mm] kann ich das ja nachvollziehen mit [mm]2^2[/mm] ist
> 4, das ganze dann [mm]4^2[/mm] ist 16* [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Aber an dem Beispiel:
>
> [mm]\wurzel{32}[/mm]
>
> Wie würde denn hier die Potenzschreibweise lauten?
> Geht das dann überhaupt?
>
[mm]\wurzel{32} = 32^{\bruch{1}{2}[/mm]
Durch die Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen mit rationalen Exponenten erhält man durch die Festlegung
[mm] a^\bruch{m}{n} [/mm] = [mm]\wurzel[n]{a^m} = (a^m)^\bruch{1}{n}[/mm]
In dem Ausdruck [mm](\wurzel[n]{a})^n = a[/mm] wird die n-te Wurzel aus a mit n potenziert, und man erhält wieder a. Daraus ergibt sich:
1. Das Potenzieren macht das Wurzelziehen wieder rückgängig.
2. Schreibt man statt [mm]\wurzel[n]{a}[/mm] die Potenz [mm]a^\bruch{1}{n}[/mm] , so erhält man
[mm](\wurzel[n]{a})^n = (a^\bruch{1}{n})^n = a^{\bruch{1}{n}*n} = a^1 = a[/mm]
Wurzeln lassen sich daher durch Potenzen mit Bruchzahlen als Exponenten scheiben.
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Hallo Stromberg,
> Die Wurzel [mm]\wurzel{16}[/mm] ist jedoch 4 !
>
> Kann mir jemand erklären wo mein Denkfehler liegt?
Was ist z.B. [mm] $3^{\red{2}}$? [/mm] Das ist doch eigentlich nur eine andere Schreibweise für den Term
[mm] $\underbrace{3*3}_{\textcolor{red}{2}\texttt{ Faktoren}}$
[/mm]
Das kannst Du nun kompakter als eine Zahl aufschreiben, denn die Schreibweise [mm] $3\cdot{}\green{3}$ [/mm] ist eine Abkürzung für folgende Operation:
[mm] $\underbrace{3 + 3 + 3}_{\textcolor{green}{3}\texttt{ Summanden}} [/mm] = 9$
9 ist also eine andere Schreibweise für [mm] $3^2$. [/mm] Stelle dir nun vor, Du hättest diese Beziehung [mm] $3^2 [/mm] = 9$ auf zwei Zettel geschrieben: Auf dem einen steht 9 auf dem anderen [mm] $3^2$. [/mm] Jetzt geht der 2te Zettel verloren. Deine Aufgabe ist jetzt eine solche Zahl [mm] $a\!$ [/mm] zu finden, für die [mm] $a^2 [/mm] = 9$ gilt. Jetzt erinnerst Du dich an die obigen Regeln:
[mm] $a^{\textcolor{red}{2}} [/mm] = [mm] \underbrace{a\cdot{}\textcolor{green}{a}}_{\textcolor{red}{2}\texttt{ Faktoren}} [/mm] = [mm] \underbrace{a + \dotsb +a}_{\textcolor{green}{a}\texttt{ Summanden}} [/mm] = 9$
Jetzt probieren wir durch:
$1 [mm] \ne [/mm] 9, 2 + 2 = 4 [mm] \ne [/mm] 9, 3 + 3 + 3 = [mm] 9\quad\checkmark$
[/mm]
Dann gilt aber in unserer Kurzschreibweise [mm] $3^2 [/mm] = 9$. Jedoch sind wir hier anders vorgegangen um dieses [mm] $a\!$ [/mm] zu finden. Um diese andere Methode zum Ausdruck zu bringen, benutzt man die Schreibweise $3 = [mm] \sqrt{9}$. [/mm] Und in deinem Fall:
$1 [mm] \ne [/mm] 16,2 + 2 = 4 [mm] \ne [/mm] 16, 3 + 3 + 3 = 9 [mm] \ne [/mm] 16, 4 + 4 + 4 + 4 = 16$
Wir schreiben kompakt: $4 = [mm] \sqrt{16}$ [/mm] bzw. $4 = [mm] 16^{\frac{1}{2}}$ [/mm] (ich gehe im Moment nur von positiven Zahlen aus). Wie ist es mit $a = [mm] 16^{\frac{1}{4}}$? [/mm] Das wäre: [mm] $a\cdot{}a\cdot{}a\cdot{}a [/mm] = [mm] 16\!$.
[/mm]
Man könnte auch hier noch bis zur Summendarstellung gehen, aber es gibt keinen Grund dazu, denn wir können auch so durchprobieren:
[mm] $1\cdot{}1\cdot{}1\cdot{}1 [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 16, [mm] 2\cdot{}2\cdot{}2\cdot{}2 [/mm] = 16$
Viele Grüße
Karl
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Hallo nochmal und danke für die ausführliche Erklärung.
Bitte schreibe mir doch mal in dieser Schreibweise [mm] \wurzel{32} [/mm] auf.
Wie würdest du hier vorgehen um zur korrekten Potenzschreibweise zu kommen?
Danke im Voraus
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Ich bin zwar nicht Karl_pech, aber:
> Bitte schreibe mir doch mal in dieser Schreibweise
> [mm]\wurzel{32}[/mm] auf.
Mit Hilfe der Wurzelgesetze (Potenzgesetze) kann man [mm] \wurzel{32} [/mm] zerlegen:
[mm] \wurzel{32} [/mm] = [mm] \wurzel{2*16} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] \wurzel{16}
[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] ist eine irrationale Zahl, bleibt also so stehen und [mm] \wurzel{16} [/mm] funktioniert jetzt genauso wie in der vorherigen Antwort.
Gruß Patrick
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