Wurzelziehen in Exponentialfor < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo,
ich muss mehrere Aufgaben zu Wurzelziehen in Exponentialform lösen. Leider war ich in der VOrlesung nicht da und nu stehe ich auf dem Schlauch, da ich aus den Übungen nicht so recht schlau werde.
z.B:
es heisst in der Definition für die n-te Wurzel einr komplexen Zahl:
[mm] \wurzel[n]{z}=\left\{{\wurzel[n]r*e^{i* \bruch{\varphi}{n} }}, {\wurzel[n]r*e^{i* \bruch{\varphi+2\pi}{n} }}, ... , {\wurzel[n]r*e^{i* \bruch{\varphi+(n-1)*2\pi}{n} }}\right\} [/mm] |
Jetzt muss ich die 3te, 4te und 8te Wurzel beispielsweie von i ausrechnen.
Ich habe auch die Lösungen dieser Aufgaben, nur verschliesst sich mir der Zusammenhang, so daß ich z.B. die 5te Wurzel alleine rechnen könnte.
Kann mir jemand einen Denkanstoss geben?
Gruss
André
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Sa 28.01.2006 | | Autor: | ocram |
Also mal ganz von vorn, das ist eigentlich einfach mit den Wurzeln aus komplexen zahlen:
Es werden die Zahlen z gesucht, die die Gleichung
[mm] z^{n}=q [/mm] mit z,q [mm] \inC [/mm] und [mm] n\inN
[/mm]
in der trigonometrscieh Form wäre das:
[mm] |z|^{n}(cos\nalpha [/mm] + [mm] isin\nalpha)=r(cos\varphi [/mm] + [mm] isin\varphi)
[/mm]
(gemäß satz von Moivre)
Da zwei Komplexe Zahlen nur dann gleich sind, wenn real - und imaginärteil übereinstimme, muss gelten
[mm] |z|^{n}=r [/mm]
und [mm] cosn\alpha =cos\varphi [/mm] bzw. [mm] sinn\alpha=sin\varphi
[/mm]
um beide Gleichungen zu erfüllen, muss man [mm] \alpha [/mm] folgendermaßen wählen:
[mm] n\alpha=\varphi [/mm] + k*360° (wegen der Periodizität der winkelfunktion=
[mm] \alpha=\varphi/n [/mm] + k*360°/n
da der Winkel zwischen 0 und 360° liegen muss (def.), ergeben sich genau n verschiedene Ergebnisse, wenn man für k=0;1;2;...n-1 setzt
also das ganze zusammengefasst und in die exponetialform umgeformt ergibt sich deine Gleichung für das wurzelziehen.
Ich hoffe der Zusammenhang ist jetzt klarer, du musst zum Lösen nur i in Exponentialform bringen und dann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Sa 28.01.2006 | | Autor: | ocram |
Sorry mein Internet hat mich rausgeschmissen und ich konnt antwort nicht zu ende schreiben:
und dann nimmst die Formel, zum beispiel für
[mm] z=i³=1*e^{i90°}
[/mm]
--> r=1
[mm] \varphi_{k}=\bruch{90° + k360°}{3}
[/mm]
mit k=0;1;2
[mm] \varphi_{0}=30° \varphi_{1}=150° \varphi_{2}=270°
[/mm]
und zusammengefasst einfach
[mm] z_{0}=e^{i30°} z_{1}=e^{i150°} z_{2}=e^{i270°} [/mm]
mfg
ocram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 So 29.01.2006 | | Autor: | webraccoon |
Hallo Ocram,
vielen Dank für Deine Antwort. Nachdem ich Deine Antwort mit meinen Aufzeichnungen verglichen habe, ist es auch deutlich, daß es wahrlich nicht so schwer erscheint. Habe mal die 3te Wurzel von -i ausgerechnet und kam auf folgendes Ergebnis:
[mm] z_{0}= e^{i90°}, z_{1}= e^{i210°}, z_{2}= e^{i330°}
[/mm]
Danke
André
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