X~Bin(n,p) - maximiere P(X=k) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 27.01.2013 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] p\in(0,1) [/mm] fest. Sei [mm] X\sim\operatorname{Bin}(n,p). [/mm] Finden Sie einen Wert k, so dass P(X=k) maximal wird.
Tipp: Betrachten Sie Quotienten für aufeinanderfolgende k. |
Hallo.
Mit dem Tipp betrachtet man also den Quotienten [mm] \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\vektor{n \\ k+1}*p^{k+1}*(1-p)^{n-(k+1)}}{\vektor{n \\ k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}}, [/mm] was man kürzen kann zu
[mm] \frac{n-k}{k+1}\frac{p}{1-p}. [/mm] Wie kann ich hiervon nun das Maximum bestimmen?
Kann mir jemand dabei helfen?
Vielen Dank
gruß triad
|
|
| |
|
Hallo triad,
> Sei [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]p\in(0,1)[/mm] fest. Sei
> [mm]X\sim\operatorname{Bin}(n,p).[/mm] Finden Sie einen Wert k, so
> dass P(X=k) maximal wird.
> Tipp: Betrachten Sie Quotienten für aufeinanderfolgende
> k.
> Hallo.
>
> Mit dem Tipp betrachtet man also den Quotienten
> [mm]\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\vektor{n \\
k+1}*p^{k+1}*(1-p)^{n-(k+1)}}{\vektor{n \\
k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}},[/mm]
> was man kürzen kann zu
>
> [mm]\frac{n-k}{k+1}\frac{p}{1-p}.[/mm] Wie kann ich hiervon nun das
> Maximum bestimmen?
>
> Kann mir jemand dabei helfen?
Von dem Quotienten benötigst du nicht das Maximum. Hinter dem Tipp steckt wohl folgende Idee: die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung besitzt genau ein Maximum, das darf man wohl voraussetzen. Wenn du dich mit dem Quotienten jetzt links von diesem Maximum bewegst, dann ist er größer als 1, rechts vom Maximum kleiner als 1. Mehr verrate ich jetzt aber wirklich nicht. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 27.01.2013 | | Autor: | triad |
> Hallo triad,
>
> > Sei [mm]n\in\IN[/mm] und [mm]p\in(0,1)[/mm] fest. Sei
> > [mm]X\sim\operatorname{Bin}(n,p).[/mm] Finden Sie einen Wert k, so
> > dass P(X=k) maximal wird.
> > Tipp: Betrachten Sie Quotienten für aufeinanderfolgende
> > k.
> > Hallo.
> >
> > Mit dem Tipp betrachtet man also den Quotienten
> > [mm]\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{\vektor{n \\
k+1}*p^{k+1}*(1-p)^{n-(k+1)}}{\vektor{n \\
k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}},[/mm]
> > was man kürzen kann zu
> >
> > [mm]\frac{n-k}{k+1}\frac{p}{1-p}.[/mm] Wie kann ich hiervon nun das
> > Maximum bestimmen?
> >
> > Kann mir jemand dabei helfen?
>
> Von dem Quotienten benötigst du nicht das Maximum. Hinter
> dem Tipp steckt wohl folgende Idee: die
> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung besitzt
> genau ein Maximum, das darf man wohl voraussetzen. Wenn du
> dich mit dem Quotienten jetzt links von diesem Maximum
> bewegst, dann ist er größer als 1, rechts vom Maximum
> kleiner als 1. Mehr verrate ich jetzt aber wirklich nicht.
>
>
>
> Gruß, Diophant
Das verstehe ich nicht ganz. Wenn gilt P(X=k)<P(X=k+1), dann ist der Quotient doch größer als 1 und bei P(X=k)>P(X=k+1) ist er kleiner als 1. Was bedeutet es denn mit dem Quotienten links vom Maximum zu sein? Ich möchte wissen für welches k (also nicht der Quotient sondern) P(X=k) maximal wird.
gruß triad
|
|
|
| |
|
Hallo,
schau dir doch mal irgendein Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeitsfunktion so einer binomialverteilten ZV an, oder stelle es dir vor. Wenn man alle Werte von k=0 bis k=n durchgeht, dann wächst die Wahrscheinlichkeit zunächst bis zu ihrem Maximum an, dann fällt sie wieder. Also muss für den Quotienten (in Abhängigkeit von k!) links und rechts von diesem maximum was ( := >1 oder <1? )gelten?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 27.01.2013 | | Autor: | triad |
> Hallo,
>
> schau dir doch mal irgendein Stabdiagramm der
> Wahrscheinlichkeitsfunktion so einer binomialverteilten ZV
> an, oder stelle es dir vor. Wenn man alle Werte von k=0 bis
> k=n durchgeht, dann wächst die Wahrscheinlichkeit
> zunächst bis zu ihrem Maximum an, dann fällt sie wieder.
Ja.
> Also muss für den Quotienten (in Abhängigkeit von k!)
> links und rechts von diesem maximum was ( := >1 oder <1?
> )gelten?
>
Angenommen, die Säule k ist die größte (also P(X=k) hat dort den höchsten Wert), dann ist der Quotient der 2 aufeinanderfolgenden k, weil die Wkeit bis dahin immer steigt, bis dahin (links vom Maximum) immer größer 1, weil man bis dahin das größere durch das kleinere teilt [mm] \frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}. [/mm] Sobald P(X=k+1) das Maximum überschreitet, d.h. P(X=k)>P(X=k+1), wird der Quotient <1.
>
> Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo triad,
deine obigen Feststellungen sind alle richtig. Jetzt musst du über eine geeignete Ungleichung versuchen, k in Abhängigkeit von n und p zu bestimmen. Das sollte machbar sein, nach den bisherigen Vorüberlegungen.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
