(X/U)'\cong U^{\perp} < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein normierter Raum und U ein abgeschlossener Unterraum. Es existieren kanonische isometrische Isomorphismen
[mm](X/U)'\cong U^{\perp}\qquad U'\cong X'/U^{\perp}[/mm]
Wobei [mm] U^{\perp}=\{x'\in X' : x'(x)=0\forall x\in U\} [/mm] ' bezeichnet Dualräume |
Hallo!
Zunächst mal die 1. Isomorphie:
Ich habe die Funktion [mm] f:(X/U)'->U^{\perp}\quad x'=l\circ [/mm] w, w:X->X/U Quotientenabb. und [mm] l\in [/mm] (X/U)' gegeben und soll zeigen das sie die verlangten Eigenschaften besitzt!
Wegen [mm] w(x)=0\forall x\in [/mm] U und der Linearität von l gilt [mm] l\circ [/mm] w(x)=0 [mm] \forall x\in [/mm] U .Außerdem ist da l ein Funktional und w linear auch [mm] l\circ [/mm] w ein Funktional mit DB X. Somit liegen die Bilder tatsächlich in [mm] U^{\perp}
[/mm]
[mm] l\not= [/mm] l'-> [mm] x'\not= [/mm] x also ist f inj.
[mm] \forall x'\in U^{\perp} \exists [/mm] wegen [mm] x'(x)=x'(x+u)\forall u\in [/mm] U [mm] x\in [/mm] X ein l mit [mm] l\circ w(x)=x'(x)\forall x\in [/mm] X woraus die surj. folgt.
Weiters ist wegen [mm] ||w||\le [/mm] 1 [mm] ||l\circ w||\le ||l||\cdot ||w||\le [/mm] ||l||
Stimmt das soweit?
Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich [mm] ||l\circ w|\ge [/mm] ||l|| zeigen kann?
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 19.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo nochmal,
könnte mir zur 1. Isomorphie vlt. noch wer einige kleine Tipps geben?
Bei der 2. Isomorphie habe ich mir folgendes überlegt:
Die Abbildung [mm] U'<-X'/U^\perp \quad x'+U^\perp\mapsto x'|_U
[/mm]
Da [mm] x'|_U\in [/mm] U' ist die Funktion wohldefiniert. Zur inj. :
[mm] x'+U^\perp\not=y'+U^\perp-> x'-y'\not\in U^\perp->\exists x\in [/mm] U : [mm] (x'-y')(x)\not=0->\exists x\in [/mm] U : [mm] x'(x)\not=y'(x)->x'|_U\not=y'|_U
[/mm]
Surj. : [mm] \exists [/mm] zu [mm] x'|_U\in [/mm] U' ein [mm] z+U^\perp\in X'/U^\perp [/mm] mit z=x' da z alle [mm] x'\in [/mm] X' durchläuft
Linearität:
[mm] \forall c\in [/mm] K und [mm] x',y'\in [/mm] X' [mm] :c(x'+U^\perp+y'+U^\perp)=c(x'+y')+U^\perp\mapsto c(x'+y')|_U=cx'|_U+cy'|_U
[/mm]
weil U' ein VR ist.
[mm] ||[x']||=||x'|_U|| [/mm] :
Aus [mm] ||[x']||\le [/mm] ||x'|| folgt [mm] ||[x']||\le ||x'|_U||
[/mm]
Stimmt das soweit?
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mi 22.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Angelika!
> könnte mir zur 1. Isomorphie vlt. noch wer einige kleine
> Tipps geben?
> Bei der 2. Isomorphie habe ich mir folgendes überlegt:
>
> Die Abbildung [mm]U'<-X'/U^\perp \quad x'+U^\perp\mapsto x'|_U[/mm]
>
> Da [mm]x'|_U\in[/mm] U' ist die Funktion wohldefiniert. Zur inj. :
>
> [mm]x'+U^\perp\not=y'+U^\perp-> x'-y'\not\in U^\perp->\exists x\in[/mm]
> U : [mm](x'-y')(x)\not=0->\exists x\in[/mm] U :
> [mm]x'(x)\not=y'(x)->x'|_U\not=y'|_U[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Surj. : [mm]\exists[/mm] zu [mm]x'|_U\in[/mm] U' ein [mm]z+U^\perp\in X'/U^\perp[/mm]
> mit z=x' da z alle [mm]x'\in[/mm] X' durchläuft
Das ist Quark. Wenn du mit [mm] $x'|_U$ [/mm] anfaengst, gehst du davon aus, dass du ein Element aus dem Bild hast!
Du faengst mit $u' [mm] \in [/mm] U'$ an und suchst ein $x' [mm] \in [/mm] X'$ mit [mm] $x'|_U [/mm] = u'$.
Dazu brauchst du einen bekannten Satz der etwas fortsetzt...
> Linearität:
>
> [mm]\forall c\in[/mm] K und [mm]x',y'\in[/mm] X'
> [mm]:c(x'+U^\perp+y'+U^\perp)=c(x'+y')+U^\perp\mapsto c(x'+y')|_U=cx'|_U+cy'|_U[/mm]
>
> weil U' ein VR ist.
Das ist zwar nicht optimal aufgeschrieben, aber ok.
> [mm]||[x']||=||x'|_U||[/mm] :
>
> Aus [mm]||[x']||\le[/mm] ||x'|| folgt [mm]||[x']||\le ||x'|_U||[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Nein, daraus folgt das nicht. Es sei denn, du hast [mm] $||x'||_X \le ||x'||_U$ [/mm] schon gezeigt.
LG Felix
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> > Surj. : [mm]\exists[/mm] zu [mm]x'|_U\in[/mm] U' ein [mm]z+U^\perp\in X'/U^\perp[/mm]
> > mit z=x' da z alle [mm]x'\in[/mm] X' durchläuft
>
> Das ist Quark. Wenn du mit [mm]x'|_U[/mm] anfaengst, gehst du davon
> aus, dass du ein Element aus dem Bild hast!
>
> Du faengst mit [mm]u' \in U'[/mm] an und suchst ein [mm]x' \in X'[/mm] mit
> [mm]x'|_U = u'[/mm].
>
> Dazu brauchst du einen bekannten Satz der etwas
> fortsetzt...
>
Danke Felix,
ja ich sehe es ein...habe auf surj. im echten Bildbereich untersucht 
Nächster Versuch:
Sei [mm] u'\in [/mm] U' beliebig dann existiert laut dem Satz von Hahn Banach ein stetiges Funktional L:X->K mit [mm] x'|_U=u' [/mm] das sogar die gleiche Norm hat wie u'. Damit wäre die Surj. erledigt, da jedes u' im echten Bildbereich liegt.
>
> > [mm]||[x']||=||x'|_U||[/mm] :
> >
> > Aus [mm]||[x']||\le[/mm] ||x'|| folgt [mm]||[x']||\le ||x'|_U||[/mm]
> >
> > Stimmt das soweit?
>
> Nein, daraus folgt das nicht. Es sei denn, du hast [mm]||x'||_X \le ||x'||_U[/mm]
> schon gezeigt.
>
Laut dem Satz von Hahn-Banach existiert ja zu jedm [mm] u'\in [/mm] U' eine normgleiche Fortsetzung [mm] x'\in x'+U^\perp. [/mm] Wenn man jetzt zu jedem affinen Raum dieses x' als Aufpunkt wählt, gilt ja sogar [mm] ||x'||_X=||x|'|_U. [/mm] Das anzunehmen würde doch nix Einschränken oder?
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 24.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo!
Könnte mir noch jemand sagen, was ich hier falsch gemacht habe? Ganz kurze Tips nicht mehr....
Danke!
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 24.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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