X²-Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | | Sei X ein k-dimensionaler, [mm] N(0,\Sigma)-verteilter [/mm] Zufallsvektor. Zeigen Sie, dass [mm] ||X||^2=X^T*X [/mm] wie [mm] \summe_{i=1}^{k}\lambda_iZ_i^2 [/mm] verteilt ist, wobei [mm] Z_1,...,Z_k [/mm] i.i.d. N(0,1)-verteilte ZV und [mm] \lambda_1,...,\lambda_k [/mm] die Eigentwerte der symmetrisch, positiv-definiten Matrix [mm] \Sigma [/mm] sind. |
Hi,
ich habe dazu folgende Hinweise aus der VL erhalten:
[mm] \exists [/mm] T [mm] \in [/mm] O(k) s.d. [mm] T\Sigma T^t [/mm] = [mm] diag(\lambda_i) [/mm] =D. Insbesondere, alle [mm] \lambda_i\ge0, [/mm] s.d. [mm] D=diag(\lambda_i)=diag(\wurzel{\lambda_i})diag(\wurzel{\lambda_i})=\wurzel{D}\wurzel{D}.
[/mm]
Ich kann das aber leider nicht mit der Aufgabe in einen sinnvollen Zusammenhang bringen, kann mir da vielleicht jemand helfen?
Also ich muss ja zeigen, dass [mm] X^T*X [/mm] gleich verteilt ist wie [mm] \summe_{i=1}^{k}\lambda_iZ_i^2. [/mm] Aber wie sieht [mm] X^T*X [/mm] denn aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Mi 30.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wie ist der Zufallsvektor [mm] $T^t\sqrt{D}Z$ [/mm] mit [mm] $Z=(Z_1,\dots,Z_k)'$ [/mm] verteilt?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Peon |
Ich weiß es nicht, wie kann ich das denn heraus finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mi 30.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ich weiß es nicht, wie kann ich das denn heraus finden?
Vielleicht hilft ja ![[]](/images/popup.gif) das hier auf die Spruenge.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Peon |
Ist der Zufallsvektor normalverteilt? Aber das wäre jetzt mehr geraten, als gewusst? Wie hilft mir das weiter, sofern es richtig sein sollte?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 30.12.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ist der Zufallsvektor normalverteilt?
$Z_$? Ja. Genauer: Multivariat normalverteilt mit Erwartungswertvektor Null und Varianz-Kovarianzmatrix $I_$.
> Aber das wäre jetzt
> mehr geraten, als gewusst? Wie hilft mir das weiter, sofern
> es richtig sein sollte?
> Danke
Mache dich kundig bezueglich des multivariaten Analogons, dass fuer normalverteiltes $U_$ gilt: $a U +b$ ist normalverteilt fuer [mm] $a\ne0$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:48 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Peon |
Habe mal ein bisschen rumgesucht, bin aber nicht viel schlauer geworden. Vielleicht würde es mir was bringen, wenn Du mir noch einen konkreten Ansatz nennen würdest.
DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Sa 02.01.2010 | | Autor: | luis52 |
> Habe mal ein bisschen rumgesucht, bin aber nicht viel
> schlauer geworden.
Wieso denn nicht? Wo hakt's denn?
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:27 So 03.01.2010 | | Autor: | Peon |
Ich verstehe den Zusammenhang nicht und ich weiß nicht wie ich das anwenden soll. Ich brauche oft ein konkretes Beispiel, damit ich verstehe, wie das geht, aber das fehlt mir hier. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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