ZRD -> Differentialgleichung < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Mi 07.07.2010 | | Autor: | nilsd |
| Aufgabe | Drücken Sie den folgenden Satz von Differentialgleichungen
[mm]\dot x_1 = -x_1 + 2*x_2[/mm]
[mm]\dot x_2 = -2*x_1 + 3*x_2 + u[/mm]
[mm]\dot x_3 = x_1 - 3*x_2 - x_3 +u [/mm]
[mm]y = -3 * x_1 + 4 * x_3[/mm]
in der Form
[mm]\dot{\underline{x}}(t) = \underline{A} * \underline{x}(t) + \underline{b} * u(t)[/mm]
[mm] y(t) = \underline{c}^T * \underline{x}(t) [/mm]
aus
Geben Sie auch den Zusammenhang zwischen y(t) und u(t) durch eine Differentialgleichung 3. Ordnung an. |
Hallo,
ich habe die 3 Differentialgleichungen schon in die Form
[mm]
\begin{pmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 4\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} * u(t)
[/mm]
[mm]
y(t) = ( -3\quad 0 \quad4 )^T * \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}[/mm]
gebracht. Hoffe das ist so richtig? :)
Nun suche ich einen Ansatz um von dort aus zu einer Differentialgleichung 3. Ordnung zu kommen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank schon im vorraus.
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Hallo,
> Drücken Sie den folgenden Satz von Differentialgleichungen
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> [mm]\dot x_1 = -x_1 + 2*x_2[/mm]
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> [mm]\dot x_2 = -2*x_1 + 3*x_2 + u[/mm]
>
> [mm]\dot x_3 = x_1 - 3*x_2 - x_3 +u[/mm]
>
> [mm]y = -3 * x_1 + 4 * x_3[/mm]
>
> in der Form
>
> [mm]\dot{\underline{x}}(t) = \underline{A} * \underline{x}(t) + \underline{b} * u(t)[/mm]
>
> [mm]y(t) = \underline{c}^T * \underline{x}(t)[/mm]
>
> aus
>
> Geben Sie auch den Zusammenhang zwischen y(t) und u(t)
> durch eine Differentialgleichung 3. Ordnung an.
> Hallo,
>
> ich habe die 3 Differentialgleichungen schon in die Form
>
> [mm]
\begin{pmatrix} \dot{x_1} \\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ \red{1} & \red{-3} & \red{-1}\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} * u(t)
[/mm]
das Prinzip hast du erkannt, ich gehe von einem Flüchtigkeitsfehler aus?
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> [mm]
y(t) = ( -3\quad 0 \quad4 )^T * \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}[/mm]
>
> gebracht. Hoffe das ist so richtig? :)
>
> Nun suche ich einen Ansatz um von dort aus zu einer
> Differentialgleichung 3. Ordnung zu kommen.
von einer E/A Darstellung (u [mm] \rightarrow [/mm] y) kommt man auf die ZRD wenn man für y eine Ausgangsgleichung wählt. z.B. y = [mm] x_1
[/mm]
In diesem Fall ist [mm] y=f(x_1, x_2, x_3, [/mm] u) gegeben. Ableiten und ineinander einsetzen, mit der Tatsache: [mm] x_2 [/mm] = [mm] \dot{x_1} [/mm] und [mm] x_3 [/mm] = [mm] \dot{x_2}
[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank schon im vorraus.
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 07.07.2010 | | Autor: | nilsd |
Danke für deine schnelle Antwort.
Der Fehler war ein Flüchtigkeitsfehler, ja :)
Leider bringt mich dein Ansatz noch nicht wirklich weiter.
Wie herum muss ich was einsetzen?
Und was muss ich ableiten?
Muss ich so einsetzen, das ich nachher [mm]x_1, x_2[/mm] und [mm]x_3[/mm] herausbekomme? Und diese dann wiederrum in die
[mm]y = -3*x_1 + 4*x_3[/mm] einsetzen? Aber dann habe ich ja noch nicht abgeleitet.
Ich bin hier gerad ein wenig planlos :/
Grüße Nils
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Am Ende soll etwas in der Art stehen: [mm] a_0*y''' [/mm] + [mm] a_1*y'' [/mm] + [mm] a_2*y' [/mm] + [mm] a_3*y [/mm] = [mm] b_0*u [/mm]
das ist die sogenannte E/A-Darstellung. Das heisst, du musst deine [mm] x_i [/mm] ersetzen. Du hast schon die Ausgangsgleichung [mm] y=f(x_1,x_2,x_3,u) [/mm] die stellst du erstmal nach z.B. [mm] x_1 [/mm] um. Dann hast du zusätzlich: [mm] \dot{x_1} [/mm] = ... also musst du die umgestellte Gleichung einmal ableiten. Ebenso dann mit den anderen Gleichungen. Darüber hinaus gilt noch, das [mm] \dot{x_1} [/mm] = [mm] x_2 [/mm] und [mm] \dot{x_2} [/mm] = [mm] x_3 [/mm] jetzt alles verbasteln, dass am Ende keinerlei [mm] x_i [/mm] mehr drin sind...vorrechnen werde ich dir das aber nicht 
Gruß Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Do 08.07.2010 | | Autor: | nilsd |
Ich habe leider mit deinem Ansatz nicht viel anfangen können, habe aber einen anderen gefunden, der für mich persönlich einfacher ist, aber vermutliche auch etwas aufwändiger.
Ich habe es über die Übertragungsfunktion
[mm]G(s) = ( \underline{c}^T(s\underline{I}-\underline{A})^{-1}*\underline{b}+d)[/mm]
gelöst, da Y(s) = G(s) * U(s) ist.
Das ganze das wieder zurücktransformiert ergibt dann
[mm]y'''-y''-y'+y = 4u'' - 26u' - 6u[/mm]
Trotzdem vielen dank für deine Hilfe.
Grüße Nils
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Hallo,
E/A-Darstellung, Übertragungsfunktion und ZRD sind äquivalent, und von daher alle (direkt) ineinander umwandelbar. Der "Umweg" über die Übertragungsfunktion klappt aber natürlich auch, ist durch die Rücktransformation aber u.U. deutlich länger
Gruß Christian
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