ZVA Grenzwert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Di 26.11.2013 | | Autor: | CaNi |
| Aufgabe | | Sei [mm] X_{n} [/mm] n € N eine Folge von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten in (a,A), wobei 0 < a < A < [mm] \infty. [/mm] Weisen Sie nach, dass fast sicher [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\produkt_{k=1}^{N} X_{k})^{\bruch{1}{N}} [/mm] existiert. Berechnen Sie den Grenzwert. |
Ich nochmal.... Letzte Chance vor der Klausur :D
Konvergiert fast sicher, klingelt bei mir das Gesetz der großen Zahlen... Viel mehr auch nicht :D
Sooo nun müsste man also aus dem Produkt eine Summe machen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{N} (\summe_{k=1}^{N} X_{k}
[/mm]
dann würde es gegen den Erwartungswert [mm] E[X_{k}] [/mm] konvergieren.
Nun meine ich mich zu erinnern es gibt einen Trick um aus einem Produkt eine Summe zu machen... Finde es nur einfach nicht -.-
Kann mir da nochmal schnell einer auf die Sprünge helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
der "Trick" nennt sich logarithmieren.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Mi 27.11.2013 | | Autor: | CaNi |
Ahhh, genau so war das!
Dann wäre in diesem Falle
log [mm] (\produkt_{k=1}^{N} X_{k})^{\bruch{1}{N}} [/mm] = [mm] (\summe_{k=1}^{N} [/mm] log [mm] (X_{k}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{N})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{N} [/mm] * [mm] (\summe_{k=1}^{N} [/mm] log [mm] (X_{k})) [/mm] = (n [mm] \to \infty) [/mm] E[log [mm] X_{k}] [/mm] nach dem Gesetz der großen Zahlen?
Oder kann man den log noch rausziehen?
Grüße und danke,
CaNi
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Hiho,
> Ahhh, genau so war das!
>
> Dann wäre in diesem Falle
> log [mm](\produkt_{k=1}^{N} X_{k})^{\bruch{1}{N}}[/mm] =
> [mm](\summe_{k=1}^{N}[/mm] log [mm](X_{k})[/mm] * [mm]\bruch{1}{N})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{N}[/mm] * [mm](\summe_{k=1}^{N}[/mm] log [mm](X_{k}))[/mm] = (n [mm]\to \infty)[/mm]
> E[log [mm]X_{k}][/mm] nach dem Gesetz der großen Zahlen?
Sofern die Bedingungen des Gesetzes der großen Zahlen erfüllt sind.
Du solltest hier also nachweisen, dass das wirklich konvergiert!
> Oder kann man den log noch rausziehen?
Wie willst du ihn rausziehen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mi 27.11.2013 | | Autor: | CaNi |
War ja meine Frage ob das geht :D z.B. $ [mm] \bruch{1}{N} [/mm] $ * $ log [mm] (\summe_{k=1}^{N} [/mm] $ [mm] (X_{k})) [/mm] $ aber das macht wohl wenig Sinn wie ich sehe :D
Was meinst du genau mit nachweisen das es wirklich konvergiert? Gesetz der großen Zahlen ist ja anwendbar, da unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten in (a,A), wobei 0 < a < A < $ [mm] \infty. [/mm] $
Oder müsste man zeigen das Var(X) < [mm] \infty [/mm] ?
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Hiho,
> Was meinst du genau mit nachweisen das es wirklich
> konvergiert? Gesetz der großen Zahlen ist ja anwendbar, da
> unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit
> Werten in (a,A), wobei 0 < a < A < [mm]\infty.[/mm]
> Oder müsste man zeigen das Var(X) < [mm]\infty[/mm] ?
Na wie habt ihr das denn eingeführt?
Du musst halt nachweisen, dass eure Voraussetzungen dafür erfüllt sind.
Das hast du bisher noch nicht getan!
Es gibt eben auch iid ZV, die nicht dem starken Gesetz der großen Zahlen folgen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Mi 27.11.2013 | | Autor: | CaNi |
hm also da ist schon das erste Problem: Aufgeschrieben haben wir
die [mm] X_{1}, X_{2},... [/mm] müssen reelwertige, paarweise unkorrelierte ZVA auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit [mm] E[X_{k}²] [/mm] < [mm] \infty [/mm] sein.
Aber sind die hier überhaupt reelwertig?
Auf Wiki hingegen steht das sie unabhängig und identisch verteilt sind, unabhängig sind sie ja laut aufgabenstellung, genauso wie identisch verteilt.
Deshalb bin ich etwas verwirrt... Oder muss man tatsächlich noch zeigen das E[log $ [mm] X_{k}²] [/mm] $ < [mm] \infty [/mm] ist? Wüsste ich gar nicht wie das gehen soll
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Hiho,
vergiss mal Wikipedia.
Relevant ist nur eure Charakterisierung.
> hm also da ist schon das erste Problem: Aufgeschrieben haben wir
> die [mm]X_{1}, X_{2},...[/mm] müssen reelwertige, paarweise
> unkorrelierte ZVA auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit [mm]E[X_{k}^2][/mm] < [mm]\infty[/mm] sein.
Vergiss auch mal das Quadratzeichen auf deiner Tastatur, wie du siehst, wird das hier nicht angezeigt und mache "hoch zwei" mit "^2".
> Aber sind die hier überhaupt reelwertig?
Das wäre alles nachzuprüfen.
> Auf Wiki hingegen steht das sie unabhängig und identisch
> verteilt sind, unabhängig sind sie ja laut
> aufgabenstellung, genauso wie identisch verteilt.
Aufpassen!
Auf welche ZV wendest du das starke Gesetz an? Welche sind nach Aufgabenstellung iid?
> Deshalb bin ich etwas verwirrt... Oder muss man
> tatsächlich noch zeigen das E[log [mm]X_{k}^2][/mm] < [mm]\infty[/mm] ist?
Auch hier: Quadratzeichen beachten.
Natürlich musst du das zeigen, du behauptest ja schließlich, dass du das starke Gesetz anwenden kannst.
Das musst du auch nachweisen.
> Wüsste ich gar nicht wie das gehen soll
Abschätzen!
Also:
1.) Klar machen, über welche ZV du aussagen treffen musst.
2.) begründen, dass sie reellwertig sind
3.) begründen, dass sie paarweise unkorreliert sind
4.) Begründen, dass sie gleichgradig beschränkt sind in [mm] L^2
[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Mi 27.11.2013 | | Autor: | CaNi |
hm, ich versteh es echt nicht wie man das zeigen kann :( man hat ja eigentlich nichts gegeben. Ich weiss das die [mm] X_{n} [/mm] in (a,A) liegen mit 0 < a < A < [mm] \infty
[/mm]
Aber wie ich deine Punkte nun begründen soll verstehe ich leider nicht.
paarweise unkorreliert bedeutet das die Kovarianz zweier ZVA = 0 ist. aber wie man das hier zeigen kann?
könntest du mir nochmal helfen bei dem letzten schritt? Muss bald los zur Klausur und würde noch super gerne das Ergebnis wissen :D
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Hiho,
> hm, ich versteh es echt nicht wie man das zeigen kann :(
> man hat ja eigentlich nichts gegeben. Ich weiss das die
> [mm]X_{n}[/mm] in (a,A) liegen mit 0 < a < A < [mm]\infty[/mm]
Erstmal vorweg: Du willst das starke Gesetz der großen Zahlen ja nicht für die [mm] X_n [/mm] anwenden, sondern für die [mm] $\log(X_n)$.
[/mm]
Also gilt alles dafür zu zeigen.
1.) [mm] $X_n \in [/mm] (a,A) [mm] \Rightarrow \log(X_n) \in (\log(a),\log(A)) \subset \IR$ [/mm]
2.) [mm] $X_n [/mm] iid [mm] \Rightarrow \log(X_n) [/mm] iid$ (und damit insbesondere unkorrelliert!)
3.) $0 [mm] \le E\left[\log^2(X_n)\right] \le E[\log^2(A)] [/mm] = [mm] \log^2(A) [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Grundlagen nacharbeiten!!
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Mi 27.11.2013 | | Autor: | CaNi |
Hi,
hm... wenn man die Lösung ließt denkt man immer "ah ist ja klar", aber ich verstehe einfach meistens nicht wie man darauf kommt...
Vielen vielen Dank für deine rießen Hilfe! Das ist meine letzte Mathe Prüfung, studiere ja keine Mathe... :D PUH!
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